届高考数学全国通用二轮复习压轴大题精品讲义 第1讲 直线与圆锥曲线的位置关系.docx
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届高考数学全国通用二轮复习压轴大题精品讲义第1讲直线与圆锥曲线的位置关系
第1讲 直线与圆锥曲线的位置关系
[明考情]
直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题,难度为中高档,常作为压轴题出现,大致在第20题的位置.
[知考向]
1.直线与椭圆.
2.直线与抛物线.
考点一 直线与椭圆
方法技巧 对于直线与圆锥曲线的位置关系问题,一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立来处理.
(1)设直线方程,在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论,或者将直线方程设成x=my+b的形式.
(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程,利用方程根的判别式或根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系.
(3)一般涉及弦的问题,要用到弦长公式|AB|=|x1-x2|或|AB|=·|y1-y2|.
1.(2017·天津)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(点B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.
解
(1)设点F的坐标为(-c,0),依题意,得=,=a,a-c=,
解得a=1,c=,p=2,
于是b2=a2-c2=.
所以椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.
(2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P,
故点Q.
将x=my+1与x2+=1联立,消去x,
整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=.
由点B异于点A,可得点B.
由Q,可得直线BQ的方程为(x+1)-=0,
令y=0,解得x=,
故点D.
所以|AD|=1-=.
又因为△APD的面积为,
故××=,
整理得3m2-2|m|+2=0,
解得|m|=,所以m=±.
所以直线AP的方程为3x+y-3=0或3x-y-3=0.
2.(2016·全国Ⅱ)已知椭圆E:
+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
解
(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.
当t=4时,椭圆E的方程为+=1,A(-2,0).
由|AM|=|AN|及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.
因此直线AM的方程为y=x+2.
将x=y-2代入+=1,得7y2-12y=0,
解得y=0或y=,所以y1=.
因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.
(2)由题意t>3,k>0,A(-,0),
将直线AM的方程y=k(x+)代入+=1,
得(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=0.
由x1·(-)=,
得x1=,
故|AM|=|x1+|=.
由题设,直线AN的方程为y=-(x+),
故同理可得|AN|=.
由2|AM|=|AN|,得=,即(k3-2)t=3k(2k-1),
当k=时上式不成立,因此t=.
t>3等价于=<0,即<0.
由此得或解得 因此k的取值范围是(,2). 3.如图,椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1. (1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求椭圆的标准方程; (2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e. 解 (1)由椭圆的定义, 2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2. 设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2, 因此2c=|F1F2|===2, 即c=,从而b==1. 故所求椭圆的标准方程为+y2=1. (2)如图,由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a. 从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|. 又由PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|知,|QF1|=|PF1|, 因此,4a-2|PF1|=|PF1|, 解得|PF1|=2(2-)a, 从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-)a=2(-1)a. 由PF1⊥PF2知,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2, 因此e=====-. 4.已知椭圆H: +y2=1(a>1),原点O到直线MN的距离为,其中,点M(0,-1),点N(a,0). (1)求椭圆H的离心率e; (2)经过椭圆右焦点F2的直线l和该椭圆交于A,B两点,点C在椭圆上,若=+,求直线l的方程. 解 (1)由题意得直线MN的方程为x-ay-a=0, 则=⇒a=, 所以c=,所以离心率e==. (2)椭圆H的方程为+y2=1,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), ①当直线l的斜率为0时,其方程为y=0, 此时A(,0),B(-,0),不符合题意,舍去. ②当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为x=my+, 由 消去x得(m2+3)y2+2my-1=0, 所以Δ>0, 因为=+, 所以x3=x1+x2,y3=y1+y2. 因为点C在椭圆上, 所以+y=2+2 =++ =++=1, 所以x1x2+3y1y2=0. 又因为x1x2=(my1+)(my2+)=m2y1y2+m(y1+y2)+2=m2×+m×+2=, 所以x1x2+3y1y2=+3×=0, 化简得m2-1=0. 所以m=±1. 所以直线l的方程x=±y+. 综上,直线l的方程为x-y-=0或x+y-=0. 5.已知O为坐标原点,M(x1,y1),N(x2,y2)是椭圆+=1上的点,且x1x2+2y1y2=0,设动点P满足=+2. (1)求动点P的轨迹C的方程; (2)若直线l: y=x+m(m≠0)与曲线C交于A,B两点,求△OAB面积的最大值. 解 (1)设点P(x,y),则由=+2, 得(x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2),即x=x1+2x2,y=y1+2y2. 因为点M,N在椭圆+=1上, 所以x+2y=4,x+2y=4. 故x2+2y2=(x+4x+4x1x2)+2(y+4y+4y1y2) =(x+2y)+4(x+2y)+4(x1x2+2y1y2) =20+4(x1x2+2y1y2). 又因为x1x2+2y1y2=0,所以x2+2y2=20, 所以动点P的轨迹C的方程为x2+2y2=20. (2)将曲线C与直线l的方程联立,得 消去y得3x2+4mx+2m2-20=0. 因为直线l与曲线C交于A,B两点,设A(x3,y3),B(x4,y4),所以Δ=16m2-4×3×(2m2-20)>0. 又m≠0,所以0<m2<30, x3+x4=-,x3x4=. 又点O到直线AB: x-y+m=0的距离d=,|AB|=|x3-x4|= ==, 所以S△OAB=×=×≤×=5, 并且仅当m2=30-m2,即m2=15时取等号. 所以△OAB面积的最大值为5. 考点二 直线与抛物线 方法技巧 (1)判断直线与抛物线的位置关系时,可以借助数形结合法,当直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线只有一个交点,但并非相切. (2)涉及中点弦问题,可用“点差法”求解,但要注意对其存在性的检验. 6.(2017·全国Ⅰ)设A,B为曲线C: y=上两点,A与B的横坐标之和为4. (1)求直线AB的斜率; (2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程. 解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4, 于是直线AB的斜率k===1. (2)由y=,得y′=. 设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1). 设直线AB的方程为y=x+m, 故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|. 将y=x+m代入y=,得x2-4x-4m=0. 当Δ=16(m+1)>0, 即m>-1时,x1,2=2±2. 从而|AB|=|x1-x2|=4. 由题设知|AB|=2|MN|,即4=2|m+1|, 解得m=7. 所以直线AB的方程为y=x+7. 7.已知圆C过定点F,且与直线x=相切,圆心C的轨迹为E,曲线E与直线l: y=k(x+1)(k∈R)相交于A,B两点. (1)求曲线E的方程; (2)当△OAB的面积等于时,求k的值. 解 (1)由题意,点C到定点F和直线x=的距离相等, 故点C的轨迹E的方程为y2=-x. (2)由方程组 消去x后,整理得ky2+y-k=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由根与系数的关系,有y1+y2=-,y1y2=-1. 设直线l与x轴交于点N,则N(-1,0). ∴S△OAB=S△OAN+S△OBN=|ON||y1|+|ON||y2|=|ON||y1-y2| =×1×=. ∵S△OAB=,∴=, 解得k=±. 8.已知抛物线C: y2=2px(p>0)过点A(1,-2). (1)求抛物线C的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于? 若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由. 解 (1)将(1,-2)代入y2=2px, 得(-2)2=2p·1, 所以p=2. 故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1. (2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t. 由得y2+2y-2t=0. 因为直线l与抛物线C有公共点, 所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-. 又由直线OA与l的距离d=, 可得=,解得t=±1. 因为-1∉,1∈, 所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0. 例 (12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,且点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程; (2)设椭圆E: +=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q. ①求的值; ②求△ABQ面积的最大值. 审题路线图 (1)―→ (2)①―→ ②→ → 规范解答·评分标准 解 (1)由题意知+=1.又=, 解得a2=4,b2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1. ……………………………………………………………………………………………2分 (2)由 (1)知椭圆E的方程为+=1. ①设P(x0,y0),=λ(λ>0),由题意知Q(-λx0,-λy0). 因为+y=1,又+=1, 即=1, 所以λ=2,即=2.…………………………………………………………………5分 ②设A(x1,y1),B(x2,y2). 将y=kx+m代入椭圆E的方程, 可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0, 由Δ>0,可得m2<4+16k2,(*) 则有x1+x2=-,x1x2=. 所以|x1-x2|=.…………………………………………………………8分 因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m), 所以△OAB的面积S=|m||x1-x2|== =2.……………………………………………………………9分 设=t,将y=kx+m代入椭圆C的方程, 可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, 由Δ≥0,可得m2≤1+4k2.(**) 由(*)和(**)可知0<
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