完整版三角形全等之倍长中线讲义.docx
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完整版三角形全等之倍长中线讲义
三角形全等之倍长中线(讲义)
Ø课前预习
1.填空
(1)三角形全等的判定有:
三边分别___________的两个三角形全等,即(____);
两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等,即(____);两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等,即(____);两角和其中一个角的______分别相等的两个三角形全等,即(____);
斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等,即(____).
(2)要证明两条边相等或者两个角相等,可以考虑放在两个三角形中证________;要证明两个三角形全等需要准备______组条件,这三组条件里面必须有______;然后依据判定进行证明.其中AAA,SSA不能证明两个三角形全等,请举出对应的反例.
2.想一想,证一证
已知:
如图,AB与CD相交于点O,且O是AB的中点.
(1)当OC=OD时,求证:
△AOC≌△BOD;
(2)当AC∥BD时,求证:
△AOC≌△BOD.
Ø知识点睛
1.“三角形全等”辅助线:
见中线,要__________,________之后______________.
2.中点的思考方向:
①(类)倍长中线
延长AD到E,使DE=AD,延长MD到E,使DE=MD,
连接BE连接CE
②平行夹中点
延长FE交BC的延长线于点G
Ø精讲精练
1.如图,AD为△ABC的中线.
(1)求证:
AB+AC>2AD.
(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.
2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD.
求证:
AB=AC.
3.如图,CB是△AEC的中线,CD是△ABC的中线,且AB=AC.
求证:
①CE=2CD;②CB平分∠DCE.
4.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD上一点,BE=AC,BE的延长线交AC于点F.
求证:
∠AEF=∠EAF.
5.如图,在△ABC中,AD交BC于点D,点E是BC的中点,EF∥AD交CA的延长线于点F,交AB于点G,BG=CF.
求证:
AD为△ABC的角平分线.
6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,点F是CD的中点,且AF⊥AB,已知AD=2.7,AE=BE=5,求CE的长.
7.如图,在正方形ABCD中,CD=BC,∠DCB=90°,点E在CB的延长线上,过点E作EF⊥BE,且EF=BE.连接BF,FD,取FD的中点G,连接EG,CG.
求证:
EG=CG且EG⊥CG.
【参考答案】
Ø课前预习
1.
(1)相等,SSS;夹角,SAS;夹边,ASA;对边,AAS;
直角,HL
(2)全等,三,边
2.
(1)证明:
如图
∵O是AB的中点
∴AO=BO
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD(SAS)
(2)证明:
如图
∵O是AB的中点
∴AO=BO
∵AC∥BD
∴∠A=∠B
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD(ASA)
Ø精讲精练
1.
(1)证明:
如图,
延长AD至E,使DE=AD,连接BE
∴AE=2AD
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD
在△BDE和△CDA中
∴△BDE≌△CDA(SAS)
∴BE=AC
在△ABE中,AB+BE>AE
∴AB+AC>2AD
(2)解:
由
(1)可知
AE=2AD,BE=AC
在△ABE中,
AB-BE ∵AC=3,AB=5 ∴5-3 ∴2<2AD<8 ∴1 2. 证明: 如图,延长AD到E,使DE=AD,连接BE 在△ADC和△EDB中 ∴△ADC≌△EDB(SAS) ∴AC=EB,∠2=∠E ∵AD平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB=BE ∴AB=AC 3. 证明: 如图,延长CD到F,使DF=CD,连接BF ∴CF=2CD ∵CD是△ABC的中线 ∴BD=AD 在△BDF和△ADC中 ∴△BDF≌△ADC(SAS) ∴BF=AC,∠1=∠F ∵CB是△AEC的中线 ∴BE=AB ∵AC=AB ∴BE=BF ∵∠1=∠F ∴BF∥AC ∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC=AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE=∠CBF 在△CBE和△CBF中 ∴△CBE≌△CBF(SAS) ∴CE=CF,∠2=∠3 ∴CE=2CD CB平分∠DCE 4. 证明: 如图,延长AD到M,使DM=AD,连接BM ∵D是BC边的中点 ∴BD=CD 在△ADC和△MDB中 ∴△ADC≌△MDB(SAS) ∴∠1=∠M,AC=MB ∵BE=AC ∴BE=MB ∴∠M=∠3 ∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2 ∴∠1=∠2 即∠AEF=∠EAF 5. 证明: 如图,延长FE到M,使EM=EF,连接BM ∵点E是BC的中点 ∴BE=CE 在△CFE和△BME中 ∴△CFE≌△BME(SAS) ∴CF=BM,∠F=∠M ∵BG=CF ∴BG=BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD∥EF ∴∠3=∠F,∠1=∠2 ∴∠2=∠3 即AD为△ABC的角平分线 6. 解: 如图,延长AF交BC的延长线于点G ∵AD∥BC ∴∠3=∠G ∵点F是CD的中点 ∴DF=CF 在△ADF和△GCF中 ∴△ADF≌△GCF(AAS) ∴AD=CG ∵AD=2.7 ∴CG=2.7 ∵AE=BE ∴∠1=∠B ∵AB⊥AF ∴∠1+∠2=90° ∠B+∠G=90° ∴∠2=∠G ∴EG=AE=5 ∴CE=EG-CG =5-2.7 =2.3 7.证明: 如图,延长EG交CD的延长线于点M 由题意,∠FEB=90°,∠DCB=90° ∴∠DCB+∠FEB=180° ∴EF∥CD ∴∠FEG=∠M ∵点G为FD的中点 ∴FG=DG 在△FGE和△DGM中 ∴△FGE≌△DGM(AAS) ∴EF=MD,EG=MG ∵△FEB是等腰直角三角形 ∴EF=EB ∴BE=MD 在正方形ABCD中,BC=CD ∴BE+BC=MD+CD 即EC=MC ∴△ECM是等腰直角三角形 ∵EG=MG ∴EG⊥CG,∠3=∠4=45° ∴∠2=∠3=45° ∴EG=CG
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