二元一次方程组的解法加减法.docx

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二元一次方程组的解法加减法

8.2消元

●教学目标

（一）教学知识点

1．用加减消元法解二元一次方程组．

2．进一步了解解二元一次方程组时的“消元”思想，“化未知为已知”化归思路．

（二）能力训练要求

1．会用加减消元法解二元一次方程组．

2．根据不同方程的特点，进一步体会解二元一次方程组的基本思路——消元．

（三）情感与价值观要求

1．进一步体会解二元一次方程组的消元思想，在化“未知为已知”的过程中，体验学习的快乐．

2．根据方程组的特点，培养学生学习教学的创新、开拓的意识．

●教学重点

1．掌握加减消元法解二元一次方程组的原理及一般步骤．

2．能熟练地运用加减消元法解二元一次方程组．

●教学难点

1．解二元一次方程组的基本思路消元即化“二元”为“一元”的思想．

2．数学研究的“化未知为已知”的化归思想．

●教学方法

启发——比较——自主探索相结合．

由一个引例启发学生除可以利用代入消元法可以消去一个未知数，获得问题的解答．通过观察比较可以发现如果某个未知数的系数相反或相同，这时我们就可以依据等式的性质将方程两边相加或相减，从而消去一个未知数，从而更进一步引导学生自主探索解二元一次方程组的加减消元法直至熟练掌握．

●教具准备

投影片

●教学过程

Ⅰ．提出疑问，创设问题情景，引入新课

［师］怎样解下面的二元一次方程组呢？

［生1］解：

把②变形，得x=

　③

把③代入①，得

3×

+5y=21，

解得y=－3．

把y=3代入②，得

x=2．

所以方程组的解为

［生2］解：

由②得5y=2x+11　③

把5y当做整体将③代入①，得

3x+（2x+11）=21

解得x=2

把x=2代入③，得

5y=2×2+11

y=3

所以原方程的解为

［师］我们可以发现第二种解法比第一种解法简单．有没有更好的解法呢？

也就是说，我们上一节课学习了用代入的方法可以消元，从而使“二元”变为“一元”．那么有没有别的消元办法也可以使“二元”变为“一元”．

［生］我发现了方程①和②中的5y和－5y互为相反数，根据互为相反数的和为零，如果能将方程①和②的左右两边相加，根据等式的性质我们可以得到一个含有x的等式，即一元一次方程，而5y+（－5y）=0消去了y．

［师］很好．这正是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法．

Ⅱ．讲授新课

［师］下面我们就用刚才这位同学的方法解上面的二元一次方程组．

解：

由①+②，得

（3x+5y）+（2x－5y）=21+（－11），

即3x+2x=10，

x=2，

把x=2代入②中，得

y=3．

所以原方程组的解为

［师生共析］一个方程组我们用了三种方法，从中可以发现，恰当地选择解法可以起到事半功倍的效果．回忆上一节的练习和习题，看哪些题用代入消元法解起来比较简单？

哪些题我们用加减消元法简单？

我们分组讨论，并派一个代表阐述自己的意见．

［师］下面，我们讲评一下刚才这几位同学解方程组的方程．

（1）

（2）

这两个方程组中，y的系数都是互为相反数，因此这两位同学都用了用方程组中的两个方程相加，从而把y消去，将二元转化为一元，最后解出了方程的解，很好．（3）

　　　　我们观察此方程y的系数都是1，因此这位同学想到了用②－①，得x=3，代入①就解出y=2．

这位同学将方程组整理，得

由②－③得8n=－16，n=－2，把n=－2代入②便得m=5．这几位同学的解法很好，同学们已经发现了方程组中如果一个未知数的系数相反或相同，我们就可以用加减消元法来解方程组．

［生］老师，我有一个问题：

习题8．2的3（3）小题，用代入消元法解，较麻烦．用加减消元法解，x、y的系数不相同也不相反，没有办法用加减消元法．是不是还有别的方法．

［师］这个同学提的问题太好了．能发现问题是我们学习很重要的一个方面，同学们应该向他学习．接下来，同学们分组讨论，方程组

不用代入消元法如何解？

［生］老师，我们组想出了一个办法，能不能用等式的性质将这个方程组中的x或y的系数化成相等（或相反）呢？

［生］可以．我只要在方程①和方程②的两边分别除以3和4，x的系数不就变成“1”了吗？

这样就可以用加减消元法了．

［生］我不同意．这样做，y的系数和常数项都变成了分数，比代入消元法还麻烦．我觉得应该找到y的系数－2的绝对值和3的最小公倍数6，在方程①两边同乘以3，得9x－6y=－12③，在方程②两边同乘以2，得8x+6y=－22④，然后③+④，就可以将y消去，得17x=　　－34，x=－2．把x=－2代入①得，y=－1．所以方程组的解为

［师］同学们为他鼓掌，他的想法太精彩了，我们祝贺他．其实在我们学习数学的过程中，不一定二元一次方程组中未知数的系数刚好是1，或同一个未知数的系数刚好相同或相反．我们遇到的往往就是象习题8．23（3）题这样的方程组，我们要想比较简捷地把它解出来，就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形，从而用加减消元法，达到消元的目的．下面我们看一个例子．

解方程组

分析：

未知数的系数没有绝对值是1的，也没有哪一个未知数的系数相同或相反．我们观察可以发现，x的系数绝对值较小，因此我们找到2和3的最小公倍数6，然后①×3，②×2，便可将①②的x的系数化为相同．

解：

①×3得6x+9y=36　③

②×2，得6x+8y=34　④

③－④，得y=2．

将y=2代入①，得x=3．

所以原方程组的解是

［师］我们根据上面几个方程组的解法，接下来讨论下面两个问题：

出示投影片

（1）加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么？

（2）用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？

（由学生分组讨论、总结）

［师生共析］

（1）用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”．

（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤．

第一步：

在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边分别相减，消去这个未知数．

第二步：

如果方程组中不存在某个未知数的系数的绝对值相等，那么应选出一组系数（选最小公倍数较小的一组系数），求出它们的最小公倍数（如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数），然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等（都等于原系数的最小公倍数），再加减消元．

第三步：

对于较复杂的二元一次方程组，应先化简（去分母，去括号，合并同类项等）．通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程右边的形式，再作如上加减消元的考虑．

Ⅲ．随堂练习

用加减消元法解下列方程组：

1．解：

①+②，得16x=－16

x=－1

把x=－1代入①，得

y=－5

所以原方程的解为

②－①，得6y=－18

y=－3

把y=－3代入①，得

x=－2

所以原方程组的解为

①－②×2得5t=15

t=3

把t=3代入②，得

s=－1

所以原方程组的解为

①×2－②×3，得－11x=33

x=－3

把x=－3代入①得y=－4

所以原方程组的解为

注：

在随堂练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，不必强调解答过程统一．

Ⅳ．课时小结

关于二元一次方程组的解法：

代入消元法和加减消元法我们全部学完了．比较这两种解法我们会发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”．

Ⅴ．课后作业

1．课本习题8.23

2．阅读

Ⅵ．活动与探究

解三元一次方程组：

过程：

解二元一次方程组的实质是消元，即通过消去一个未知数，由“二元”变为“一元”，于是我们联想，能否借助解二元一次方程组消元的思路，将三元一次方程组消元，由“三元”消为“二元”，不就是我们刚学过的二元一次方程组吗．我们观察这个方程组②中不含未知数z，如果能利用①和②消去z，不就又得到一个和②一样只含x，y的二元一次方程④，将②和④联立成二元一次方程组．也就将三元一次方程组消元，由“三元”变为“二元”．

结果：

解：

由①－③得

－x+2y=8　④

联立②、④得

由②+④得y=9

把y=9代入②，得x=10

把x=10、y=9代入①得z=7

所以三元一次方程组的解为：

●板书设计

解二元一次方程组

（二）

一、学生板演

解法一：

代入消元法

解法二：

（加减消元法）

解法三：

（整体代入法）

二、加减消元法的思路和步骤

三、例题（用加减消元法求解）

四、课时小结

●备课资料

一、参考例题

［例1］解方程组：

分析：

这个方程组比较复杂，应先化简，然后再观察系数的特点，利用加减消元法或代入消元法求解．

解：

化简方程组，得

③×2+④×3，得19x=38

x=2

把x=2代入③，得y=2

所以原方程组的解为

评注：

当方程组比较复杂时，应通过去分母，去括号，移项，合并同类项等，使之化为

的形式（同类项对齐），为消元创造条件．

［例2］解方程组

分析：

可以仿例1将方程化简，也可根据方程组的特点考虑把（x+y）、（x－y）看成一个整体，这样会给计算带来方便．

解法一：

原方程化简为：

②×3－④，得32y=－64，y=－2

把y=－2代入④，得x=5

所以原方程组的解为

解法二：

把（x+y）、（x－y）看成整体

①－②×3得x+y=3　③

把③代入②，得2（x－y）－5×3=－1

即x－y=7　④

由③、④联立方程组，得

解得

评注：

在解法二中突出了方程的特点，体现了数学中的“整体”思想．

［例3］已知方程组

的解适合x+y=8，求a的值．

分析一：

把方程组成的解用含a的代数式表示出来，再代入x+y=8，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a．

分析二；将方程2x+3y=a代入3x+5y=a+2，即用2x+3y代替方程3x+5y=a+2中的a，可得到3x+5y=2x+3y+2，整理得x+2y=2，将新得到的方程与x+y=8组成方程组

解方程组即可求出x、y的值，然后把x、y的值代入2x+3y=a，便可求出a的值．

解法一：

①×2，得6x+10y=2a+4　③

②×3，得6x+9y=3a　④

③－④，得y=4－a，

把y=4－a代入②，得

2x+3（4－a）=a

解得x=2a－6

所以

代入x+y=8，得

（2a+6）+（4－a）=8

解得a=10

解法二：

把②代入①，得3x+5y=2x+3y+2，

整理，得x+2y=2　③

把方程③与x+y=8组成方程组，

③－④，得y=－6

把y=－6代入④，得x=14

所以

把

代入②中

a=2×14+3×（－6）=10

所以a=10

评注：

顺利解决此题的关键是理解二元一次方程组的解和二元一次方程的解的概念；二是灵活运用加减法或代入法解二元一次方程组．

二、参考练习

1．填空题

（1）已知3ay+4b3x－1与－3a2x－2b1－2y是同类项，则x=_________，y=_________．

（2）若（5x+2y－12）2+｜3x+2y－6｜=0，则2x+4y=_________．

（3）若3x3m+5n+9+9y4m－2n+3=5是二元一次方程，则

=_________．

（4）在代数式mx+n中，当x=3时，它的值是4，当x=4时，它的值是7，则m=_________，n=_________．

答案：

（1）2　－2　

（2）0　（3）1　（4）3　－5

2．选择题

（1）用加减消元法解方程组

时，有以下四种结果，其中正确变形是

①

②

③

　④

A．只有①和②　

B．只有③和④

C．只有①和③

D．只有②和④

（2）已知

则x－y的值是

A．1

B．0

C．－1

D．不能确定

（3）方程组

的解x和y的值相等，则k的值等于

A．9

B．10

C．11

D．12

答案：

（1）B　

（2）A　（3）C

3．用加减消元法解方程组：

（1）

（2）

（3）x+2y=

（4）

答案：

（1）

（2）

（3）

（4）