版高中数学人教B版必修一学案第三单元 312 指数函数一 Word版含答案.docx
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版高中数学人教B版必修一学案第三单元312指数函数一Word版含答案
3.1.2 指数函数
(一)
学习目标
1.理解指数函数的概念,了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求指数型函数的定义域、值域.
知识点一 指数函数
思考 细胞分裂时,第一次由1个分裂成2个,第2次由2个分裂成4个,第3次由4个分裂成8个,如此下去,如果第x次分裂得到y个细胞,那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么?
这个函数式与y=x2有什么不同?
梳理 一般地,________________叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是____.
特别提醒:
(1)规定y=ax中a>0,且a≠1的理由:
①当a≤0时,ax可能无意义;②当a>0时,x可以取任何实数;③当a=1时,ax=1(x∈R),无研究价值.因此规定y=ax中a>0,且a≠1.
(2)要注意指数函数的解析式:
①底数是大于0且不等于1的常数.②指数函数的自变量必须位于指数的位置上.③ax的系数必须为1.④指数函数等号右边不会是多项式,如y=2x+1不是指数函数.
知识点二 指数函数的图象和性质
思考 函数的性质包括哪些?
如何探索指数函数的性质?
梳理 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质
a>1
0 图象 定义域 R 值域 (0,+∞) 性质 过定点 过点______,即x=____时,y=____ 函数值的变化 当x>0时,______; 当x<0时,______ 当x>0时,______; 当x<0时,______ 单调性 是R上的________ 是R上的________ 类型一 求指数函数的解析式 例1 已知指数函数f(x)的图象过点(3,π),求函数f(x)的解析式. 反思与感悟 根据指数函数的定义,a是一个常数,ax的系数为1,且a>0,a≠1.指数位置是x,其系数也为1,凡是不符合这些要求的都不是指数函数. 要求指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的解析式,只需要求出a的值,要求a的值,只需一个已知条件即可. 跟踪训练1 已知指数函数y=(2b-3)ax经过点(1,2),求a,b的值. 类型二 指数型函数的定义域、值域问题 例2 求下列函数的定义域、值域. (1)y= ; (2)y=4x-2x+1. 反思与感悟 解此类题的要点是设ax=t,利用指数函数的性质求出t的范围.从而把问题转化为y=f(t)的问题. 跟踪训练2 求下列函数的定义域与值域. (1)y= ; (2)y= (a>0,且a≠1). 例3 求函数y= 的定义域、值域. 反思与感悟 y=af(x)的定义域即f(x)的定义域,求y=af(x)的值域可先求f(x)的值域,再利用y=at的单调性结合t=f(x)的范围求y=at的范围. 跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域: (1)y=0.3 ; (2)y=3 . 类型三 指数函数图象的应用 例4 在如图所示的图象中,二次函数y=ax2+bx+c与函数y= x的图象可能是( ) 反思与感悟 函数y=ax的图象主要取决于01.但前提是a>0且a≠1. 跟踪训练4 已知函数f(x)=4+ax+1的图象经过定点P,则点P的坐标是( ) A.(-1,5)B.(-1,4) C.(0,4)D.(4,0) 例5 若直线y=2a与函数y=|2x-1|图象有两个公共点,求实数a的取值范围. 反思与感悟 指数函数是一种基本函数,与其他函数一道可以衍生出很多函数,本例就体现了指数函数图象的“原料”作用. 跟踪训练5 函数y=a|x|(a>1)的图象是( ) 1.下列各函数中,是指数函数的是( ) A.y=(-3)xB.y=-3x C.y=3x-1D.y=( )x 2.若函数y=(2a-1)x(x是自变量)是指数函数,则a的取值范围是( ) A.a>0,且a≠1B.a≥0,且a≠1 C.a> ,且a≠1D.a≥ 3.函数y=3 的值域是( ) A.(0,+∞)B.(-∞,0] C.(0,1]D.[-1,0) 4.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b均为常数,则下列结论正确的是( ) A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.00 D.0 5.函数f(x)= + 的定义域为( ) A.(-3,0]B.(-3,1] C.(-∞,-3)∪(-3,0]D.(-∞,-3)∪(-3,1] 1.判断一个函数是不是指数函数,关键是看解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这一结构形式,即ax的系数是1,指数是x且系数为1. 2.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的性质分底数a>1,0<a<1两种情况,但不论哪种情况,指数函数都是单调的. 3.求函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的值域的方法如下: (1)换元,令t=f(x),并求出函数t=f(x)的定义域; (2)求t=f(x)的值域t∈M; (3)利用y=at的单调性求y=at在t∈M上的值域. 答案精析 问题导学 知识点一 思考 y=2x.它的底为常数,自变量为指数,而y=x2恰好反过来. 梳理 函数y=ax(a>0,且a≠1) R 知识点二 思考 函数性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性.可以通过描点作图,先研究具体的指数函数性质,再推广至一般. 梳理 (0,1) 0 1 y>1 0 题型探究 例1 解 设f(x)=ax,将点(3,π)代入,得到f(3)=π, 即a3=π,解得a= ,于是f(x)= . 跟踪训练1 a=b=2. 例2 解 (1)函数的定义域为R(∵对一切x∈R,3x≠-1). ∵y= =1- , 又∵3x>0,1+3x>1, ∴0< <1,∴-1<- <0, ∴0<1- <1,∴值域为(0,1). (2)定义域为R,y=(2x)2-2x+1 =(2x- )2+ , ∵2x>0,∴2x= ,即x=-1时,y取最小值 ,同时y可以取一切大于 的实数, ∴值域为[ ,+∞). 跟踪训练2 解 (1)∵1- x≥0,∴ x≤1,解得x≥0, ∴原函数的定义域为[0,+∞). 令t=1- x(x≥0),则0≤t<1, ∴0≤ <1, ∴原函数的值域为[0,1). (2)原函数的定义域为R. 由y= (a>0,且a≠1), 得ax=- . ∵ax>0,∴- >0,∴-1 ∴原函数的值域是(-1,1). 例3 解 要使函数有意义, 则x应满足32x-1- ≥0,即32x-1≥3-2. ∵y=3x在R上是增函数, ∴2x-1≥-2,解得x≥- . 故所求函数的定义域为 . 当x∈ 时, 32x-1∈ . ∴32x-1- ∈[0,+∞). ∴原函数的值域为[0,+∞). 跟踪训练3 解 (1)由x-1≠0得x≠1, 所以函数定义域为{x|x≠1}. 由 ≠0得y≠1, 所以函数值域为{y|y>0且y≠1}. (2)由5x-1≥0得x≥ , 所以函数定义域为{x|x≥ }. 由 ≥0得y≥1,所以函数值域为{y|y≥1}. 例4 A 跟踪训练4 A 例5 解 y=|2x-1|= 图象如下: 由图可知,要使直线y=2a与函数y=|2x-1|图象有两个公共点, 需0<2a<1,即0 . 跟踪训练5 B 当堂训练 1.D 2.C 3.C 4.D 5.A
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