二进制十进制算法.docx
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二进制十进制算法.docx
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二进制十进制算法
在一种数制中,只能使用一组固定的数字符号来表示数目的大小,具体使用多少个数字符号来表示数目的大小,就称为该数制的基数。
例如:
1.十进制(Decimal)
基数是10,它有10个数字符号,即0,l,2,3,4,5,6,7,8,9。
其中最大数码是基数减1,即9,最小数码是0。
2.二进制(Binary)
基数是2,它只有两个数字符号,即0和1。
这就是说,如果在给定的数中,除0和1外还有其它数,例如1012,它就决不会是一个二进制数。
3.八进制(Octal)
基数是8,它有8个数字符号,即0,l,2,3,4,5,6,7。
最大的也是基数减1,即7,最小的是0。
4.十六进制(Hexadecilnal)
基数是16,它有16个数字符号,除了十进制中的10个数可用外,还使用了6个英文字母。
它的16个数字依次是0,l,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F。
其中A至F分别代表十进制数的10至15,最大的数字也是基数减1。
既然有不同的进制,那么在给出一个数时,需指明是什么数制里的数。
例如:
(1010)2,(1010)8,(1010)10,(1010)16所代表的数值就不同。
除了用下标表示外,还可用后缀字母来表示数制。
例如ZA4EH,FEEDH,BADH(最后的字母H表示是十六进制数),与(ZA4E)16,(FEED)16,(BAD)16的意义相同。
进制和位权
在数制中,还有一个规则,这就是,N进制必须是逢N进一。
对于多位数,处在某一位上的“l”所表示的数值的大小,称为该位的位权。
例如十进制第2位的位权为10,第3位的位权为100;而二进制第2位的位权为2,第3位的位权为4,对于N进制数,整数部分第i位的位权为Ni-1,而小数部分第j位的位权为N-j。
l.十进制数的特点是逢十进一。
例如:
(1010)10=1×103+0×102+1×101+0×100
2.二进制数的特点是逢二进一。
例如:
(1010)2=l×23+0×22+l×21+0×20=(10)10
3.八进制数的特点是逢八进一。
例如:
(1010)8=l×83+0×82+l×81+0×80=(520)10
4.十六进制数的特点是逢十六进一。
例如:
(BAD)16=11×162+10×l61+13×160=(2989)10
一、二进制的算术运算
1.运算法则
(1)、加法法则
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10进位为1
1+1+1=10+1=11进位为1
实例 将两个二进制数1011和1010相加
解:
相加过程如下
被加数
1
0
1
1
加 数
1
0
1
0
进 位
1
1
─────
1
0
1
0
1
(2)、二进制减法法则
0-0=0
1-0=1
1-1=0
0-1=1 有借位,借1当(10)2
0-1-1=0 有借位
1-1-1=1 有借位
注:
(10)2表示为二进制中的2
实例:
从(110000)2中减去(10111)2
解释分析:
①我们用在某位上方有标记1表示该位被借位。
具体过程为从被减数的右边第一位开始减去减数,在本例中,由于0减1而向右数第二位借位,第二位为0不够借转而向右数第三位,以此类推,最后从右数第五位借得1
相减过程如下:
借 位 11111
②该1拿到右数第四位上做为(10)2(联想在十进制中从千位借位拿到百位上做10用),而右数第四位上借得的(10)2又须借给右数第三位一个1(记住,该位上还剩一个1),以此类推,最后右数第五位上值为0(由于被借位),右数第四位、第三位、第二位均借得1
被减数 110000
减 数 10111
───────────
③右数第一位借得(10)2,用(10)减1得1,右数第二位上已借得1,用该1减去减数1则得数的右数第二位为0,同理可得其它各位的值分别为0,0,1(从右往左)。
结 果 11001
④最后还剩两位,由于右数第五位的数已被借去,则需从高位借1,(高位为1,借位后为0),借位后当(10)2用,(10)2减1为1。
因此得结果为(11001)2
(2)、二进制乘法法则
实例:
1110X0110
0
X
0
=
0
被乘数
1
1
1
0
乘 数
X
0
1
1
0
1
X
0
=
0
─────────────
0
0
0
0
1
X
1
=
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
X
1
=
0
+
0
0
0
0
─────────────
积
1
0
1
0
1
0
0
(3)、二进制除法法则
实例:
(1001110)2÷(110)
商
1
1
0
1
被除数
1
1
0
√
1
0
0
1
1
1
0
-
1
1
0
--------
0
1
1
1
-
1
1
0
--------
1
1
0
-
1
1
0
--------
0
结果为:
1101
二、数制转换
1.十进制数到二进制数的转换
(1)、整数部分 除2取余法(余数为0为止),最后将所取余数按逆序排列。
实例:
将十进制数23转换为二进制数
2| 23
2| 11
余数 1
2| 5
余数 1
2|2
余数 1
2|1
余数 0
0
余数 1
结果为(23)10=(10111)2
(2)、小数部分 乘2取整法(如果小数部分是5的倍数,则以最后小数部分为0为止,否则以约定的精确度为准,最后将所取整数按顺序排列。
实例1:
将十进制数0.25转换为二进制数
0.25
X 2
──────
0.50
...取整数位0
X 2
──────
1.00
...取整数位1
结果为(0.25)10=(0.01)2
实例2:
将十进制数125.24转换为二进制数(取四位小数)
整数部分转换
小数部分转换
2| 125
0.24
2| 62
...1
X 2
2| 31
...0
──────
2| 15
...1
0.48
...0
2| 7
...1
X 2
2|3
...1
──────
2|1
...1
0.96
...0
0
...1
X 2
──────
1.92
...1
X 2
──────
1.84
...1
结果为(125.24)10=(1111101.0011)2
2.二进制数到十进制数的转换
基本原理:
将二进制数从小数点开始,往左从0开始对各位进行正序编号,往右序号则分别为-1,-2,-3,...直到最末位,然后分别将各位上的数乘以2的k次幂所得的值进行求和,其中k的值为各个位所对应的上述编号。
实例:
将二进制数1101.101转换为十进制数
编号:
3210 -1-2-3
1101.1 0 1=1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3=8+4+1+0.5+0.125=13.625
结果为(1101.101)2=(13.625)10
3.二进制数到十六进制数的转换
基本原理:
由于十六进制数基数是2的四次幂,所以一个二进制转换为十六进制,如果是整数,只要从它的低位到高位每4位组成一组,然后将每组二进制数所对应的数用十六进制表示出来。
如果有小数部分,则从小数点开始,分别向左右两边按照述方法进行分组计算。
实例:
将二进制数111010111100010111转换为十六进制数
二进制数
11
1010
1111
0001
0111
十六进制数
3
A
F
1
7
结果为(111010111100010111)2=(3AF17)16
3.十六进制转换为二进制
基本原理:
十六进制数转换为二进制,只要从它的低位开始将每位上的数用二进制表示出来。
如果有小数部分,则从小数点开始,分别向左右两边按照述方法进行转换。
实例:
将二进制数6FBE4转换为十六进制数
十六进制数
6
F
B
E
4
二进制数
110
1111
1011
1110
0100
结果为(6FBE4)16=(1101111101111100100)2
4.十进制转换为十六进制
仿照十进制转换为二进制,可采用“除16取余法,乘16取整法”。
5.十六进制转换为十进制
仿照二进制转换为十进制将其按权展开求和即可,例如:
(32CF.4B)16=3×163+2×162+12×161+15×160+4×16-1+11×16-2=12288+512+192+15+0.25+0.04296875=(13007.29296875)10
三.基本逻辑运算
1."与"运算(AND)
"与"运算又称逻辑乘,用符号"."或"∧"来表示。
运算规则如下:
0∧0=0 0∧1=0 1∧0=0 1∧1=1
即当两个参与运算的数中有一个数为0,则运算结果为0,都为1结果为1
2."或"运算(OR)
"或"运算又称逻辑加,用符号"+"或"∨"表示。
运算规则如下:
0∨0=0 0∨1=1 1∨0=1 1∨1=1
即当两个参与运算的数中有一个数为1,则运算结果为1,都为0结果为0
3."非"运算(NOT)
如果变量为A,则它的非运算结果用A表示。
运算规则如下:
0=1 1=0
4."异或"运算(XOR)
"异或"运算用符号"-∨"来表示。
其运算规则如下:
-0∨0=0 -0∨1=1 -1∨0=1 -1∨1=0
即当两个参与运算的数取值相异时,运算结果为1,否则为0.
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