届高考数学二轮复习专题二第2讲解三角形学案.docx
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届高考数学二轮复习专题二第2讲解三角形学案
第2讲解三角形
正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.
正弦定理、余弦定理、三角形面积公式.
(1)正弦定理
在△ABC中,===2R(R为△ABC的外接圆半径);
变形:
a=2RsinA,sinA=,
a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC等.
(2)余弦定理
在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA;
变形:
b2+c2-a2=2bccosA,cosA=.
(3)三角形面积公式
S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB.
热点一 利用正(余)弦定理进行边角计算
【例1】(2018·株洲质检)在中,角、、的对边分别是、、,已知,,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若角为锐角,求的值及的面积.
解(Ⅰ)由得,
因为,∴,
由,,
由正弦定理得.
(Ⅱ)角为锐角,则,
由余弦定理得即,或(舍去),
所以的面积.
探究提高 1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算,或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.
2.关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破口.
【训练1】(2017·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.
(1)求cosB;
(2)若a+c=6,△ABC面积为2,求b.
解
(1)由题设及A+B+C=π,得sinB=8sin2,故sinB=4(1-cosB).
上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,
解得cosB=1(舍去),cosB=.
(2)由cosB=,得sinB=,
故S△ABC=acsinB=ac.
又S△ABC=2,则ac=.
由余弦定理及a+c=6得
b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2××=4.
所以b=2.
热点二 应用正、余弦定理解决实际问题
【例2】(2017·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:
在C处(点C在水平地面下方,O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC=15°,A地测得最高点H的仰角为∠HAO=30°,则该仪器的垂直弹射高度CH为()
A.210(+)米B.140米
C.210米D.20(-)米
解析 由题意,设AC=x米,则BC=(x-40)米,
在△ABC内,由余弦定理:
BC2=BA2+CA2-2BA·CA·cos∠BAC,
即(x-40)2=x2+10000-100x,解得x=420米.
在△ACH中,AC=420米,∠CAH=30°+15°=45°,∠CHA=90°-30°=60°,
由正弦定理:
=.
可得CH=AC·=140(米).
答案 B
探究提高 1.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.
2.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.
【训练2】(2018·衡水中学)如图,一山顶有一信号塔
(
所在的直线与地平面垂直),在山脚
处测得塔尖
的仰角为
,沿倾斜角为
的山坡向上前进
米后到达
处,测得
的仰角为
.
(1)求
的长;
(2)若
,
,
,
,求信号塔
的高度.
解
(1)在
中,
,
,
.由正弦定理,
.
(2)由
(1)及条件知,
,
,
,
.
由正弦定理得
.
热点三 解三角形与三角函数的交汇问题
【例3】(2017·长沙质检)已知函数f(x)=2sinxcosx-2cos2x-1,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值;
(2)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=,f(C)=0,sinB=2sinA,求a,b的值.
解
(1)f(x)=sin2x-2cos2x-1
=sin2x-(cos2x+1)-1=sin2x-cos2x-2=2sin-2,
所以函数f(x)的最小正周期T==π,最小值为-4.
(2)因为f(C)=2sin-2=0,
所以sin=1,又C∈(0,π),
知-<2C-<π,所以2C-=,得C=.
因为sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,
由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcosC=a2+4a2-2a2=3a2,又c=,所以a=1,b=2.
探究提高 1.解三角形与三角函数的综合题,其中,解决与三角恒等变换有关的问题,优先考虑角与角之间的关系;解决与三角形有关的问题,优先考虑正弦、余弦定理.
2.求解该类问题,易忽视C为三角形内角,未注明C的限制条件导致产生错解.
【训练3】(2018·聊城一中)已知,其中向量,().
(1)求的最小正周期和最小值;
(2)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为、、,若
,
,
,求边长的值.
解
(1)f(x)=(sin2x,2cosx)·(,cosx)-1=sin2x+cos2x=2sin(2x+),
∴f(x)的最小正周期为π,最小值为-2.
(2)f()=2sin(+)=∴sin(+)=,
∴+=∴A=或(舍去),
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即13=16+c2-4c,即c2-4c+3=0,
从而c=1或c=3.
1.(2018·全国II卷)在中,,BC=1,AC=5,则AB=()
A.B.C.D.
2.(2017·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=,则C=( )
A.B.C.D.
3.(2018·全国III卷)的内角的对边分别为,,,若的面积为,
则()
A.B.C.D.
4.(2018·全国I卷)△的内角的对边分别为,已知,,则△的面积为________.
5.(2018·全国I卷)在平面四边形中,,,,.
(1)求;
(2)若,求.
1.(2019·郴州质检)在中,三内角的对边分别为,且,,则角的大小是()
A.或B.C.D.
2.(2017·山东卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是()
A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A
3.(2017·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=________.
4.(2019·开封一模)在中,内角所对的边分别为,且.
(1)求角;
(2)若,的周长为6,求的面积.
1.(2019·昆明诊断)在平面四边形中,,,,,,则()
A.B.C.D.
2.(2017·郑州二模)在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,则角B=________.
3.(2018·重庆一中)已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间;
(2)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,求△ABC面积.
4.(2017·衡水中学调研)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若(a-c)sinA-bsinB+(a+b-c)sinC=0.
(1)求角A;
(2)当sinB+sinC取得最大值时,判断△ABC的形状.
参考答案
1.【解题思路】先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.
【答案】因为
所以,选A.
点睛:
解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.
2.【解题思路】由
消去角
,再化简即可得到
,再利用正弦定理求
.
【答案】 由题意得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,
则sinC(sinA+cosA)=sinCsin=0,
因为sinC≠0,所以sin=0,
又因为A∈(0,π),所以A+=π,所以A=.
由正弦定理=,得=,
则sinC=,得C=.故选B.
3.【解题思路】利用面积公式和余弦定理进行计算可得.
【答案】由题可知,所以,
由余弦定理,所以,
,,故选C.
点睛:
本题主要考查解三角形,考查了三角形的面积公式和余弦定理.
4.【解题思路】首先利用正弦定理将题中的式子化为,化简求得,利用余弦定理,结合题中的条件,可以得到,可以断定A为锐角,从而求得,进一步求得,利用三角形面积公式求得结果.
【答案】因为,
结合正弦定理可得,
可得,因为,
结合余弦定理,可得,
所以A为锐角,且,从而求得,
所以△的面积为,故答案是.
5.【解题思路】
(1)根据正弦定理可以得到,根据题设条件,求得,结合角的范围,利用同角三角函数关系式,求得;
(2)根据题设条件以及第一问的结论可以求得,之后在中,用余弦定理得到所满足的关系,从而求得结果.
【答案】
(1)在中,由正弦定理得.
由题设知,,所以.
由题设知,,所以.
(2)由题设及
(1)知,.
在中,由余弦定理得
.
所以.
1.【解题思路】由可得cosA,进而利用可得sinBsinC=结合内角和定理可得C值.
【答案】∵,
∴cosA,
由0<A<π,可得A,
∵,∴sinBsinC=,
∴,即,
解得tan2C=,又,
∴2C=或,即C=或,故选A.
2.【解题思路】注意等式两边的形式,利用和差角公式以及
朝能约的方向进行化简.
【答案】 等式右边=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin(A+C)=sinAcosC+sinB.
等式左边=2sinBcosC+sinB,
则2sinBcosC+sinB=sinAcosC+sinB,
因为角C为锐角三角形的内角,所以cosC不为0.
所以2sinB=sinA,根据正弦定理,得a=2b.故选A.
3.【解题思路】边化角再利用和差角公式即可.
【答案】由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB.
∴2sinBcosB=sinB,
又sinB≠0,∴cosB=,故B=.故填.
4.【解题思路】
(1)利用正弦定理将已知的边转化为角的形式,然后利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简,由此求得的大小.
(2)根据周长列出一个方程,利用余弦定理列出第二方程,解方程组求得的值,并求得三角形的面积.
【答案】
(1)由已知及正弦定理得:
,
∵,∴,
∵∴,∵∴.
(2)∵,的周长,∴,
由余弦定理得,∴,,
∴的面积.
1.【解题思路】在Rt中,由,,得,,所以,
由余弦定理得BC的长度.
【答案】在平面四边形中,如图.
在Rt中,,,,所以,,所以,
在中,,由余弦定理得,所以BC=.
故选C.
2.【解题思路】角化边即可得.
【答案】由=及正弦定理,
得=,则a2+c2-b2=ac,
∴cosB==,从而B=.故填.
3.【解题思路】
(1)利用二倍角公式和辅助角公式将函数f(x)进行化简,然后利用正弦函数图像的性质可得周期和单调区间;
(2)由f(C)=1,得角C,由正弦定理得b=2a,然后利用余弦定理可得a和b的值,代入面积公式即可得到答案.
【答案】=2sin(2x+)
(1)最小正周期为,
因为,
所以,
所以函数的单递减区间为.
(2)因为,所以,
所以,①
又因为sinB=2sinA,所以b=2a②
由①,②可得a=1,b=2,.
4.【解题思路】
(1)角化边.
(2)由B+C=π,消元留一个未知量,再化
形式,进而根据角度范围确定其值域.
【答案】解
(1)由正弦定理===2R,
可得sinA=,sinB=,sinC=.
代入(a-c)sinA-bsinB+(a+b-c)sinC=0化简整理得:
b2+c2-a2=bc,
则=,所以cosA=.
又因为A为三角形内角,所以A=.
(2)由
(1)得B+C=π,
所以sinB+sinC=sinB+sin=sinB+sinπcosB-cosπsinB
=sinB+cosB=sin.
因为0
所以当B=时,B+=,sinB+sinC取得最大值,
因此C=π-(A+B)=,所以△ABC为等边三角形.
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- 高考 数学 二轮 复习 专题 讲解 三角形