离散数学第四章二元关系和函数知识点总结.docx
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离散数学第四章二元关系和函数知识点总结
集合论部分
第四章、二元关系和函数
4.1集合的笛卡儿积与二元关系有序对
定义由两个客体x和y,按照一定的顺序组成的
二元组称为有序对,记作
实例:
点的直角坐标(3,4)
有序对性质
有序性
例1<2,x+5>=<3y4,y>,求x,y.
解3y4=2,x+5=yy=2,x=3
定义一个有序n(n3)元组
有序对,其中第一个元素是一个有序n-1元组,即
当n=1时,
实例n维向量是有序n元组.
笛卡儿积及其性质
定义设A,B为集合,A与B的笛卡儿积记作AB,即AB={
例2A={1,2,3},B={a,b,c}
AB={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,
<3,a>,<3,b>,<3,c>}
A={},P(A)A={<,>,<{},>}
性质:
不适合交换律ABBA(AB,A,B)
不适合结合律(AB)CA(BC)(A,B)
对于并或交运算满足分配律
A(BC)=(AB)(AC)
(BC)A=(BA)(CA)
A(BC)=(AB)(AC)
(BC)A=(BA)(CA)
若A或B中有一个为空集,则AB就是空集.
A=B=
若|A|=m,|B|=n,则|AB|=mn
证明A(BC)=(AB)(AC)
证任取
x∈A∧y∈B∪C
x∈A∧(y∈B∨y∈C)
(x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)
所以有A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C).
例3
(1)证明A=BC=DAC=BD
(2)AC=BD是否推出A=BC=D?
为什么?
解
(1)任取
xByD
(2)不一定.反例如下:
A={1},B={2},C=D=,则AC=BD但是AB.
二元关系的定义
定义设A,B为集合,A×B的任何子集所定义的二元
关系叫做从A到B的二元关系,当A=B时则叫做A上
的二元关系.
例4A={0,1},B={1,2,3},R1={<0,2>},R2=A×B,R3=,R4={<0,1>}.那么R1,R2,R3,R4是从A到B
的二元关系,R3和R4同时也是A上的二元关系.
计数
|A|=n,|A×A|=n2,A×A的子集有个.所以A上有
个不同的二元关系.
例如|A|=3,则A上有=512个不同的二元关系.
设A为任意集合,
是A上的关系,称为空关系
EA,IA分别称为全域关系与恒等关系,定义如下:
EA={
IA={
例如,A={1,2},则
EA={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}
IA={<1,1>,<2,2>}
小于等于关系LA,整除关系DA,包含关系R定义:
LA={
DB={
BZ*,Z*为非0整数集
R={
类似的还可以定义大于等于关系,小于关系,大于关系,真包含关系等等.
例如A={1,2,3},B={a,b},则
LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}
DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
A=P(B)={,{a},{b},{a,b}},则A上的包含关系是
R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>,
<{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}
二元关系的表示
表示方式:
关系的集合表达式、关系矩阵、关系图
关系矩阵:
若A={a1,a2,…,am},B={b1,b2,…,bn},R是从A到B的关系,R的关系矩阵是布尔矩阵MR=[rij]mn,其中rij=1
关系图:
若A={x1,x2,…,xm},R是从A上的关系,R的关系图是GR=,其中A为结点集,R为边集.如果
注意:
A,B为有穷集,关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系,关系图适于表示A上的关系
A={1,2,3,4},
R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>},
R的关系矩阵MR和关系图GR如下:
4.2关系的运算
基本运算定义:
定义域、值域和域
domR={x|y(
ranR={y|x(
fldR=domRranR
例1R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>},则
domR={1,2,4}
ranR={2,3,4}
fldR={1,2,3,4}
逆与合成
R1={
R∘S=|
例2R={<1,2>,<2,3>,<1,4>,<2,2>}
S={<1,1>,<1,3>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}
R1={<2,1>,<3,2>,<4,1>,<2,2>}
R∘S={<1,3>,<2,2>,<2,3>}
S∘R={<1,2>,<1,4>,<3,2>,<3,3>}
定义F在A上的限制
F↾A={
A在F下的像
F[A]=ran(F↾A)
实例R={<1,2>,<2,3>,<1,4>,<2,2>}
R↾{1}={<1,2>,<1,4>}
R[{1}]={2,4}
R↾=
R[{1,2}]={2,3,4}
注意:
F↾AF,F[A]ranF
基本运算的性质
定理1设F是任意的关系,则
(1)(F1)1=F
(2)domF1=ranF,ranF1=domF
证
(1)任取
所以有(F1)1=F
(2)任取x,
x∈domF1y(
y(
所以有domF1=ranF.同理可证ranF1=domF.
定理2设F,G,H是任意的关系,则
(1)(F∘G)∘H=F∘(G∘H)
(2)(F∘G)1=G1∘F1
证
(1)任取
t(s(∈G)∧
ts(∈G∧
s(∈G∧
s(∈G∘H)
所以(F∘G)∘H=F∘(G∘H)
(2)任取
t(
t(
所以(F∘G)1=G1∘F1
幂运算
设R为A上的关系,n为自然数,则R的n次幂定义为:
(1)R0={
(2)Rn+1=Rn∘R
注意:
对于A上的任何关系R1和R2都有
R10=R20=IA
对于A上的任何关系R都有
R1=R
性质:
定理3设A为n元集,R是A上的关系,则存在自然数s和t,使得Rs=Rt.
证R为A上的关系,由于|A|=n,A上的不同关系只有个.
当列出R的各次幂
R0,R1,R2,…,,…,
必存在自然数s和t使得Rs=Rt.
定理4设R是A上的关系,m,n∈N,则
(1)Rm∘Rn=Rm+n
(2)(Rm)n=Rmn
证用归纳法
(1)对于任意给定的m∈N,施归纳于n.
若n=0,则有
Rm∘R0=Rm∘IA=Rm=Rm+0
假设Rm∘Rn=Rm+n,则有
Rm∘Rn+1=Rm∘(Rn∘R)=(Rm∘Rn)∘R=Rm+n+1,
所以对一切m,n∈N有Rm∘Rn=Rm+n.
(2)对于任意给定的m∈N,施归纳于n.
若n=0,则有
(Rm)0=IA=R0=Rm×0
假设(Rm)n=Rmn,则有
(Rm)n+1=(Rm)n∘Rm=(Rmn)∘Rm=Rmn+m=Rm(n+1)
所以对一切m,n∈N有(Rm)n=Rmn.
4.3关系的性质
自反性
反自反性
定义设R为A上的关系,
(1)若x(x∈A→
(2)若x(x∈A→
实例:
反关系:
A上的全域关系EA,恒等关系IA
小于等于关系LA,整除关系DA
反自反关系:
实数集上的小于关系
幂集上的真包含关系
例1A={1,2,3},R1,R2,R3是A上的关系,其中
R1={<1,1>,<2,2>}
R2={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
R3={<1,3>}
R2自反,
R3反自反,
R1既不是自反也不是反自反的
对称性
反对称性
定义设R为A上的关系,
(1)若xy(x,y∈A∧
(2)若xy(x,y∈A∧
实例:
对称关系:
A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系
反对称关系:
恒等关系IA,空关系是A上的反对称关系.
例2设A={1,2,3},R1,R2,R3和R4都是A上的关系,
其中
R1={<1,1>,<2,2>},R2={<1,1>,<1,2>,<2,1>}
R3={<1,2>,<1,3>},R4={<1,2>,<2,1>,<1,3>}
R1对称、反对称.
R2对称,不反对称.
R3反对称,不对称.
R4不对称、也不反对称.
传递性
定义设R为A上的关系,若xyz(x,y,z∈A∧
则称R是A上的传递关系.
实例:
A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系
小于等于关系,小于关系,整除关系,包含关系,
真包含关系
例3设A={1,2,3},R1,R2,R3是A上的关系,其中
R1={<1,1>,<2,2>}
R2={<1,2>,<2,3>}
R3={<1,3>}
R1和R3是A上的传递关系
R2不是A上的传递关系
关系性质的充要条件
设R为A上的关系,则
(1)R在A上自反当且仅当IAR
(2)R在A上反自反当且仅当R∩IA=
(3)R在A上对称当且仅当R=R1
(4)R在A上反对称当且仅当R∩R1IA
(5)R在A上传递当且仅当RRR
证明模式证明R在A上自反
任取x,
xA……………..….…….
前提推理过程结论
例4证明若IAR,则R在A上自反.
证任取x,
xA
因此R在A上是自反的.
证明模式证明R在A上对称
任取
前提推理过程结论
例5证明若R=R1,则R在A上对称.
证任取
因此R在A上是对称的.
证明模式证明R在A上反对称
任取
前提推理过程结论
例6证明若R∩R1IA,则R在A上反对称.
证任取
因此R在A上是反对称的.
证明模式证明R在A上传递
任取
前提推理过程结论
例7证明若RRR,则R在A上传递.
证任取
因此R在A上是传递的.
4.4关系的闭包
闭包定义
定义设R是非空集合A上的关系,R的自反(对称或传递)闭包是A上的关系R,使得R满足以下条件:
(1)R是自反的(对称的或传递的)
(2)RR
(3)对A上任何包含R的自反(对称或传递)关系R有RR.一般将R的自反闭包记作r(R),对称闭包记作s(R),传递闭包记作t(R).
闭包的构造方法
定理1设R为A上的关系,则有
(1)r(R)=R∪R0
(2)s(R)=R∪R1
(3)t(R)=R∪R2∪R3∪…
说明:
对于有穷集合A(|A|=n)上的关系,(3)中的并最多不超过Rn.若R是自反的,则r(R)=R;若R是对称的,则s(R)=R;若R是传递的,则t(R)=R.
设关系R,r(R),s(R),t(R)的关系矩阵分别为M,Mr,Ms和Mt,则
Mr=M+E
Ms=M+M’
Mt=M+M2+M3+…
E是和M同阶的单位矩阵,M’是M的转置矩阵.
注意在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.
设关系R,r(R),s(R),t(R)的关系图分别记为G,Gr,Gs,Gt,则Gr,Gs,Gt的顶点集与G的顶点集相等.除了G的边以外,以下述方法添加新边:
考察G的每个顶点,如果没有环就加上一个环,最终得到Gr.考察G的每条边,如果有一条xi到xj的单向边,i≠j,则在G中加一条xj到xi的反方向边,最终得到Gs.考察G的每个顶点xi,找从xi出发的每一条路径,如果从xi到路径中任何结点xj没有边,就加上这条边.当检查完所有的顶点后就得到图Gt.
4.5等价关系和偏序关系
定义设R为非空集合上的关系.如果R是自反的、对称的和传递的,则称R为A上的等价关系.设R是一个等价关系,若
实例设A={1,2,…,8},如下定义A上的关系R:
R={
验证模3相等关系R为A上的等价关系,因为
x∈A,有x≡x(mod3)
x,y∈A,若x≡y(mod3),则有y≡x(mod3)
x,y,z∈A,若x≡y(mod3),y≡z(mod3),
则有x≡z(mod3)
自反性、对称性、传递性得到验证
定义设R为非空集合A上的等价关系,x∈A,令
[x]R={y|y∈A∧xRy}
称[x]R为x关于R的等价类,简称为x的等价类,简
记为[x].
实例A={1,2,…,8}上模3等价关系的等价类:
[1]=[4]=[7]={1,4,7}
[2]=[5]=[8]={2,5,8}
[3]=[6]={3,6}
等价类的性质:
定理1设R是非空集合A上的等价关系,则
(1)x∈A,[x]是A的非空子集.
(2)x,y∈A,如果xRy,则[x]=[y].
(3)x,y∈A,如果xy,则[x]与[y]不交.
(4)∪{[x]|x∈A}=A,即所有等价类的并集就是A.
A={1,2,…,8}上模3等价关系的等价类:
[1]=[4]=[7]={1,4,7},
[2]=[5]=[8]={2,5,8},
[3]=[6]={3,6}
以上3类两两不交,
{1,4,7}{2,5,8}{3,6}={1,2,…,8}
定义设R为非空集合A上的等价关系,以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集,记做A/R,A/R={[x]R|x∈A}
实例A={1,2,…,8},A关于模3等价关系R的商集为
A/R={{1,4,7},{2,5,8},{3,6}}
A关于恒等关系和全域关系的商集为:
A/IA={{1},{2},…,{8}}
A/EA={{1,2,…,8}}
集合的划分:
定义设A为非空集合,若A的子集族π(πP(A))满足下面条件:
(1)π
(2)xy(x,y∈π∧x≠y→x∩y=)
(3)∪π=A
则称π是A的一个划分,称π中的元素为A的划分块.
例1设A={a,b,c,d},
给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下:
π1={{a,b,c},{d}},π2={{a,b},{c},{d}}
π3={{a},{a,b,c,d}},π4={{a,b},{c}}
π5={,{a,b},{c,d}},π6={{a,{a}},{b,c,d}}
则π1和π2是A的划分,其他都不是A的划分.
为什么?
等价关系与划分的一一对应
商集A/R就是A的一个划分
不同的商集对应于不同的划分
任给A的一个划分π,如下定义A上的关系R:
R={
则R为A上的等价关系,且该等价关系确定的商集就是π.
例2给出A={1,2,3}上所有的等价关系
求解思路:
先做出A的所有划分,然后根据划分写
出对应的等价关系.
例3设A={1,2,3,4},在AA上定义二元关系R:
<
求R导出的划分.
解AA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,1>,<2,2>,
<2,3>,<2,4>,<3,1>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,<4,1>,
<4,2>,<4,3>,<4,4>}
根据
等价类:
(AA)/R={{<1,1>},{<1,2>,<2,1>},
{<1,3>,<2,2>,<3,1>},
{<1,4>,<2,3>,<3,2>,<4,1>},
{<2,4>,<3,3>,<4,2>},
{<3,4>,<4,3>},{<4,4>}}
定义非空集合A上的自反、反对称和传递的关系,称为A上的偏序关系,记作≼.设≼为偏序关系,如果
实例
集合A上的恒等关系IA是A上的偏序关系.
小于或等于关系,整除关系和包含关系也是相应集合上的偏序关系.
x与y可比:
设R为非空集合A上的偏序关系,
x,yA,x与y可比x≼y∨y≼x.
结论:
任取两个元素x和y,可能有下述情况:
x≺y(或y≺x),x=y,x与y不是可比的.
全序关系:
R为非空集合A上的偏序,x,yA,x与y都是可比的,则称R为全序(或线序)
实例:
数集上的小于或等于关系是全序关系
整除关系不是正整数集合上的全序关系
覆盖:
设R为非空集合A上的偏序关系,x,y∈A,如果x≺y且不存在zA使得x≺z≺y,则称y覆盖x.
实例:
{1,2,4,6}集合上的整除关系,
2覆盖1,
4和6覆盖2.
4不覆盖1.
定义集合A和A上的偏序关系≼一起叫做偏序集,记作.
实例:
整数集和小于等于关系构成偏序集 . 哈斯图: 利用偏序自反、反对称、传递性简化的关系图 特点: 每个结点没有环,两个连通的结点之间的序关系通过结点位置的高低表示,位置低的元素的顺序在前,具有覆盖关系的两个结点之间连边 偏序集的特定元素 定义设为偏序集,BA,y∈B. (1)若x(x∈B→y≼x)成立,则称y为B的最小元. (2)若x(x∈B→x≼y)成立,则称y为B的最大元. (3)若x(x∈B∧x≺y)成立,则称y为B的极小元. (4)若x(x∈B∧y≺x)成立,则称y为B的极大元. 特殊元素的性质 对于有穷集,极小元和极大元必存在,可能存在多个. 最小元和最大元不一定存在,如果存在一定惟一. 最小元一定是极小元;最大
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