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带电粒子在复合场中的运动
专题七 带电粒子在复合场中的运动
1.复合场与组合场
(1)复合场:
电场、磁场、重力场共存,或其中某两场共存.
(2)组合场:
电场与磁场各位于一定的区域内,并不重叠,或在同一区域,电场、磁场分时间段或分区域交替出现.
2.三种场的比较
名称
力的特点
功和能的特点
重力场
大小:
G=mg方向:
竖直向下
重力做功与路径无关重力做功改变物体的重力势能
静电场
大小:
F=qE方向:
正电荷受力方向与场强方向相同;负电荷受力方向与场强方向相反
电场力做功与路径无关W=qU电场力做功改变电势能
磁场
洛伦兹力F=qvB方向可用左手定则判断
洛伦兹力不做功,不改变带电粒子的动能
3.带电粒子在复合场中的运动分类
(1)静止或匀速直线运动:
当带电粒子在复合场中所受合外力为零时,将处于静止状态或做匀速直线运动.
(2)匀速圆周运动:
当带电粒子所受的重力与电场力大小相等,方向相反时,带电粒子在洛伦兹力的作用下,在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动.
(3)一般的曲线运动:
当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化,且与初速度方向不在同一条直线上,粒子做非匀变速曲线运动,这时粒子运动轨迹既不是圆弧,也不是抛物线.
(4)分阶段运动:
带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域,其运动情况随区域发生变化,其运动过程由几种不同的运动阶段组成.
热点题型一 带电粒子在组合场中的运动问题
题型特点:
带电粒子在组合场中的运动是力电综合的重点和高考热点.这类问题的特点是电场、磁场或重力场依次出现,包含空间上先后出现和时间上先后出现,磁场或电场与无场区交替出现相组合的场等.其运动形式包含匀速直线运动、匀变速直线运动、类平抛运动、圆周运动等,涉及牛顿运动定律、功能关系等知识的应用.
【典例1】(2013·山东卷,23)如图1所示,在坐标系xOy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场,磁场方向垂直于xOy平面向里;第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场,电场强度大小为E.一带电量为+q、质量为m的粒子,自y轴上的P点沿x轴正方向射入第四象限,经x轴上的Q点进入第一象限,随即撤去电场,以后仅保留磁场.已知OP=d,OQ=2d.不计粒子重力.
(1)求粒子过Q点时速度的大小和方向.
(2)若磁感应强度的大小为一确定值B0,粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限,求B0.
(3)若磁感应强度的大小为另一确定值,经过一段时间后粒子将再次经过Q点,且速度与第一次过Q点时相同,求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间.
图1
反思总结 求解带电粒子在组合复合场中运动问题的分析方法
(1)正确受力分析,除重力、弹力、摩擦力外要特别注意静电力和磁场力的分析.
(2)确定带电粒子的运动状态,注意运动情况和受力情况的结合.
(3)对于粒子连续通过几个不同区域、不同种类的场时,要分阶段进行处理.
(4)画出粒子运动轨迹,灵活选择不同的运动规律.
(5)多过程现象中的“子过程”与“子过程”的衔接点.如一定要把握“衔接点”处速度的连续性.
(6)圆周与圆周运动的衔接点一要注意在“衔接点”处两圆有公切线,它们的半径重合.
即学即练1 如图2所示装置中,区域Ⅰ和Ⅲ中分别有竖直向上和水平向右的匀强电场,电场强度分别为E和
;Ⅱ区域内有垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度为B.一质量为m、带电荷量为q的带负电粒子(不计重力)从左边界O点正上方的M点以速度v0水平射入电场,经水平分界线OP上的A点与OP成60°角射入Ⅱ区域的磁场,并垂直竖直边界CD进入Ⅲ区域的匀强电场中.求:
(1)粒子在Ⅱ区域匀强磁场中运动的轨迹半径;
(2)O、M间的距离;
(3)粒子从M点出发到第二次通过CD边界所经历的时间.
图2
热点题型二 带电粒子在复合场中的运动问题
题型特点:
带电粒子在叠加场中的运动问题是典型的力电综合问题.在同一区域内同时有电场和磁场、电场和重力场或同时存在电场、磁场和重力场等称为叠加场.带电粒子在叠加场中的运动问题有很明显的力学特征,一般要从受力、运动、功能的角度来分析.这类问题涉及的力的种类多,含重力、电场力、磁场力、弹力、摩擦力等;包含的运动种类多,含匀速直线运动、匀变速直线运动、类平抛运动、圆周运动以及其他曲线运动,综合性强,数学能力要求高.
【典例2】如图3所示的平行板之间,存在着相互垂直的匀强磁场和匀强电场,磁场的磁感应强度B1=0.20T,方向垂直纸面向里,电场强度E1=1.0×105V/m,PQ为板间中线.紧靠平行板右侧边缘xOy坐标系的第一象限内,有一边界线AO,与y轴的夹角∠AOy=45°,边界线的上方有垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度B2=0.25T,边界线的下方有水平向右的匀强电场,电场强度E2=5.0×105V/m,在x轴上固定一水平的荧光屏.一束带电荷量q=8.0×10-19C、质量m=8.0×10-26kg的正离子从P点射入平行板间,沿中线PQ做直线运动,穿出平行板后从y轴上坐标为(0,0.4m)的Q点垂直y轴射入磁场区,最后打到水平的荧光屏上的位置C.求:
(1)离子在平行板间运动的速度大小;
(2)离子打到荧光屏上的位置C的坐标;
(3)现只改变AOy区域内磁场的磁感应强度大小,使离子都不能打到x轴上,磁感应强度大小B2′应满足什么条件?
图3
1.带电体在复合场中运动的归类分析
(1)磁场力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动.
②若重力和洛伦兹力不平衡,则带电体将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功,故机械能守恒.
(2)电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动.
②若电场力和洛伦兹力不平衡,则带电体做复杂的曲线运动,可用动能定理求解.
(3)电场力、磁场力、重力并存
①若三力平衡,带电体做匀速直线运动.
②若重力与电场力平衡,带电体做匀速圆周运动.
③若合力不为零,带电体可能做复杂的曲线运动,可用能量守恒定律或动能定理求解.
2.带电粒子在复合场中运动的分析方法
即学即练2 如图4所示,在竖直平面xOy内,y轴左侧有一水平向右的电场强度为E1的匀强电场和磁感应强度为B1的匀强磁场,y轴右侧有一竖直向上的电场强度为E2的匀强电场,第一象限内有一匀强磁场,一带电荷量为+q、质量为m的粒子从x轴上的A点以初速度v与水平方向成θ=30°沿直线运动到y轴上的P点,OP=d.粒子进入y轴右侧后在竖直面内做匀速圆周运动,然后垂直x轴沿半径方向从M点进入第四象限内、半径为d的圆形磁场区域,粒子在圆形磁场中偏转60°后从N点射出磁场,求:
(1)电场强度E1与E2大小之比.
(2)第一象限内磁场的磁感应强度B的大小和方向.
(3)粒子从A到N运动的时间.
图4
热点题型三 带电粒子在交变复合场中的运动
【典例3】如图5甲所示,宽度为d的竖直狭长区域内(边界为L1、L2),存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场(如图乙所示),电场强度的大小为E0,E>0表示电场方向竖直向上.t=0时,一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域,沿直线运动到Q点后,做一次完整的圆周运动,再沿直线运动到右边界上的N2点.Q为线段N1N2的中点,重力加速度为g.上述d、E0、m、v、g为已知量.
(1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小.
(2)求电场变化的周期T.
(3)改变宽度d,使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域,求T的最小值.
图5
反思总结 本题涉及交变电场,要使电场反向前后出现直线运动和圆周运动,则匀速圆周运动时重力mg与电场力E0q平衡,做直线运动时必有mg+E0q=qvB.结合运动分析受力是解题的关键.
即学即练3 如图6甲所示,在以O为坐标原点的xOy平面内,存在着范围足够大的电场和磁场.一个质量m=2×10-2kg,带电荷量q=+5×10-3C的小球在0时刻以v0=40m/s的速度从O点沿+x方向(水平向右)射入该空间,在该空间同时加上如图乙所示的电场和磁场,其中电场沿-y方向(竖直向上),场强大小E0=40V/m.磁场垂直于xOy平面向外,磁感应强度大小B0=4πT.取当地的重力加速度g=10m/s2,计算结果中可以保留根式或π.
(1)求12s末小球速度的大小.
(2)在给定的xOy坐标系中,大致画出小球在24s内的运动轨迹示意图.
(3)求26s末小球的位置坐标.
图6
高考再现
1.(2012·海南卷,2)如图所示,在两水平极板间存在匀强电场和匀强磁场,电场方向竖直向下,磁场方向垂直于纸面向里.一带电粒子以某一速度沿水平直线通过两极板.若不计重力,下列四个物理量中哪一个改变时,粒子运动轨迹不会改变( ).
A.粒子速度的大小 B.粒子所带的电荷量
C.电场强度 D.磁感应强度
2.(2012·课标全国卷,25)如图所示,一半径为R的圆表示一柱形区域的横截面(纸面).在柱形区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场,一质量为m、电荷量为q的粒子沿图中直线在圆上的a点射入柱形区域,在圆上的b点离开该区域,离开时速度方向与直线垂直.圆心O到直线的距离为
R.现将磁场换为平行于纸面且垂直于直线的匀强电场,同一粒子以同样速度沿直线在a点射入柱形区域,也在b点离开该区域.若磁感应强度大小为B,不计重力,求电场强度的大小.
3.(2012·重庆卷,24)有人设计了一种带电颗粒的速率分选装置,其原理如图所示.两带电金属板间有匀强电场,方向竖直向上,其中PQNM矩形区域内还有方向垂直纸面向外的匀强磁场.一束比荷(电荷量与质量之比)均为
的带正电颗粒,以不同的速率沿着磁场区域的水平中心线O′O进入两金属板之间,其中速率为v0的颗粒刚好从Q点处离开磁场,然后做匀速直线运动到达收集板.重力加速度为g,PQ=3d,NQ=2d,收集板与NQ的距离为l,不计颗粒间相互作用.
求:
(1)电场强度E的大小;
(2)磁感应强度B的大小;
(3)速率为λv0(λ>1)的颗粒打在收集板上的位置到O点的距离.
4.(2012·浙江卷,24)如图所示,两块水平放置、相距为d的长金属板接在电压可调的电源上.两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场.将喷墨打印机的喷口靠近上板下表面,从喷口连续不断喷出质量均为m、水平速度均为v0、带相等电荷量的墨滴.调节电源电压至U,墨滴在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动;进入电场、磁场共存区域后,最终垂直打在下板的M点.
(1)判断墨滴所带电荷的种类,并求其电荷量;
(2)求磁感应强度B的值;
(3)现保持喷口方向不变,使其竖直下移到两板中间的位置.为了使墨滴仍能到达下板M点,应将磁感应强度调至B′,则B′的大小为多少?
5.(2013·江苏卷,15)在科学研究中,可以通过施加适当的电场和磁场来实现对带电粒子运动的控制.如图(a)所示的xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中,电场强度E和磁感应强度B随时间t作周期性变化的图象如图(b)所示.x轴正方向为E的正方向,垂直纸面向里为B的正方向.在坐标原点O有一粒子P,其质量和电荷量分别为m和+q.不计重力.在t=
时刻释放P,它恰能沿一定轨道做往复运动.
(1)求P在磁场中运动时速度的大小v0;
(2)求B0应满足的关系;
(3)在t0
时刻释放P,求P速度为零时的坐标.
专题强化练
1.(多选)某空间存在水平方向的匀强电场(图中未画出),带电小球沿如图7所示的直线斜向下由A点沿直线向B点运动,此空间同时存在由A指向B的匀强磁场,则下列说法正确的是( ).
图7
A.小球一定带正电
B.小球可能做匀速直线运动
C.带电小球一定做匀加速直线运动
D.运动过程中,小球的机械能增大
2.(多选)在空间某一区域里,有竖直向下的匀强电场E和垂直纸面向里的匀强磁场B,且两者正交.有两个带电油滴,都能在竖直平面内做匀速圆周运动,如图8所示,则两油滴一定相同的是( ).
图8
A.带电性质 B.运动周期
C.运动半径 D.运动速率
3.(多选)如图9所示,在一竖直平面内,y轴左侧有一水平向右的匀强电场E1和一垂直纸面向里的匀强磁场B,y轴右侧有一竖直方向的匀强电场E2,一电荷量为q(电性未知)、质量为m的微粒从x轴上A点以一定初速度与水平方向成θ=37°角沿直线经P点运动到图中C点,其中m、q、B均已知,重力加速度为g,则( ).
图9
A.微粒一定带负电
B.电场强度E2一定竖直向上
C.两电场强度之比
=
D.微粒的初速度为v=
4.(多选)如图10所示,空间内有一磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场,一个正点电荷Q固定于磁场中的某一点.另有一带电粒子-q从a处、以初速度v0射出,射出方向与a、Q连线垂直,a、Q之间的距离为r.若不计重力,则粒子-q的运动轨迹可能为( ).
图10
A.以点电荷Q为圆心、以r为半径,在纸面内的圆周
B.开始阶段为纸面内偏向v0右侧的曲线
C.开始阶段为纸面内偏向v0左侧的曲线
D.沿初速度v0方向的直线
5.如图11所示,M、N是竖直正对放置的两个平行金属板,S1、S2是M、N板上的两个小孔;N板的右侧有一个在竖直面内,以O为圆心的圆形区域,该区域内存在垂直圆面向外的匀强磁场,另有一个同样以O为圆心的半圆形荧光屏AO′C;已知S1、S2、O和荧光屏的中间位置O′在同一直线上,且AC⊥S1O′.当在M、N板间加恒定电压U时,一带正电离子在S1处由静止开始加速向S2孔运动,最后打在图示的荧光屏下的P处,∠COP=30°.若要让上述带电离子仍在S1处由静止开始加速,最后打在图示的荧光屏下边缘C处,求M、N板间所加电压的大小.(不计离子重力)
图11
6.(2013·安徽卷,23)如图12所示的平面直角坐标系xOy,在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场,方向沿y轴正方向;在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场,方向垂直于xOy平面向里,正三角形边长为L,且ab边与y轴平行.一质量为m、电荷量为q的粒子,从y轴上的P(0,h)点,以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场,通过电场后从x轴上的a(2h,0)点进入第Ⅳ象限,又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限,且速度与y轴负方向成45°角,不计粒子所受的重力.求:
(1)电场强度E的大小;
(2)粒子到达a点时速度的大小和方向;
(3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值.
图12
7.如图13所示,在两个水平放置的平行金属板PQ和MN之间有场强大小为E、竖直向下的匀强电场,在平行板之间以及右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁场的磁感应强度大小为B.在平行板左侧有水平向右的匀强电场,场强大小为E.现在有两个带电粒子
H和
He在同一个竖直平面内,从匀强电场中垂直电场方向的同一直线上相距为L=
的位置由静止开始运动,进入两板之间恰好做直线运动,已知e为元电荷的电荷量,m为质子的质量,
H和
He的质量分别为2m和4m,不计粒子的重力和它们之间的作用力,要使两粒子在离开平行板之间的区域后能够相遇,求
(1)粒子的加速位移;
(2)释放两粒子的时间差.
图13
8.如图14所示,竖直平面坐标系xOy中的第一象限,有垂直xOy平面向外的匀强磁场和竖直向上的匀强电场,大小分别为B和E;第四象限有垂直xOy平面向里的匀强电场,且大小E′=E.第三象限内有一绝缘光滑竖直放置的半径为R的半圆轨道,轨道最高点与坐标原点O相切,最低点与光滑绝缘水平面相切于N.一质量为m的带电小球从y轴上(y>0)的P点沿x轴正方向进入第一象限后做圆周运动,恰好能通过坐标原点O,且水平切入半圆轨道内侧运动,过N点水平进入第四象限,并在电场中运动.(已知重力加速度为g)
(1)判断小球的带电性质并求出其所带电荷量.
(2)P点距坐标原点O至少多高?
(3)若该小球以满足
(2)中OP的最小值的位置和对应速度进入第一象限,通过N点时开始计时,经时间t=2
小球距坐标原点O的距离s为多远?
图14
章末定时练八(时间:
60分钟)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中第1~5题只有一项符合题目要求,第6~9题有多项符合题目要求).
1.一直导线平行于通电螺线管的轴线放置在螺线管的上方,如图1所示,如果直导线可以自由地运动且通以由a到b的电流,则关于导线ab受磁场力后的运动情况,下列说法正确的是( ).
图1
A.从上向下看顺时针转动并靠近螺线管
B.从上向下看顺时针转动并远离螺线管
C.从上向下看逆时针转动并远离螺线管
D.从上向下看逆时针转动并靠近螺线管
2.欧姆在探索导体的导电规律的时候,没有电流表,他利用小磁针的偏转检测电流,具体的做法是:
在地磁场的作用下,处于水平静止的小磁针上方,平行于小磁针水平放置一直导线,当该导线中通有电流的时候,小磁针就会发生偏转;当通过该导线的电流为I时,发现小磁针偏转了30°,由于直导线在某点产生的磁场与通过直导线的电流成正比,当他发现小磁针偏转了60°时,通过该导线的电流为( ).
A.3I B.2I C.
I D.I
3.(2013·苏北四市二模)如图2所示是医用回旋加速器示意图,其核心部分是两个D形金属盒,两金属盒置于匀强磁场中,并分别与高频电源相连.现分别加速氘核(
H)和氦核(
He).下列说法中正确的是( ).
图2
A.它们的最大速度相同B.它们的最大动能相同
C.它们在D形盒内运动的周期不同D.仅增大高频电源的频率可增大粒子的最大动能
4.带电粒子以初速度v0从a点进入匀强磁场,如图3所示.运动中经过b点,Oa=Ob,若撤去磁场加一个与y轴平行的匀强电场,仍以v0从a点进入电场,粒子仍能通过b点,那么电场强度E与磁感应强度B之比为( ).
图3
A.v0 B.1 C.2v0 D.
5.如图4所示,圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场,P为磁场边界上的一点.有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以相同的速率通过P点进入磁场.这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段圆弧上,这段圆弧的弧长是圆周长的
.将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2,结果相应的弧长变为原来的一半,则B2/B1等于( ).
图4
A.
B.
C.2 D.3
6.如图5所示,在竖直向下的匀强磁场中有两根竖直放置的平行粗糙导轨CD、EF,导轨上放有一金属棒MN.现从t=0时刻起,给金属棒通以图示方向的电流且电流强度与时间成正比,即I=kt,其中k为常量,金属棒与导轨始终垂直且接触良好,下列关于金属棒的速度v、加速度a随时间t变化的图象,可能正确的是( ).
图5
7.如图6所示,两根长直导线竖直插入光滑绝缘水平桌面上的M、N两小孔中,O为M、N连线的中点,连线上a、b两点关于O点对称.导线中均通有大小相等、方向向上的电流.已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度B=k
,式中k是常数、I是导线中的电流、r为点到导线的距离.一带正电的小球以初速度v0从a点出发沿连线运动到b点.关于上述过程,下列说法正确的是( ).
图6
A.小球先做加速运动后做减速运动
B.小球一直做匀速直线运动
C.小球对桌面的压力先减小后增大
D.小球对桌面的压力一直增大
8.如图7所示,虚线MN将平面分成Ⅰ和Ⅱ两个区域,两个区域都存在与纸面垂直的匀强磁场.一带电粒子仅在磁场力作用下由Ⅰ区运动到Ⅱ区,弧线aPb为运动过程中的一段轨迹,其中弧aP与弧Pb的弧长之比为2∶1,下列判断一定正确的是( ).
图7
A.两个磁场的磁感应强度方向相反,大小之比为2∶1
B.粒子在两个磁场中的运动速度大小之比为1∶1
C.粒子通过aP、Pb两段弧的时间之比为2∶1
D.弧aP与弧Pb对应的圆心角之比为2∶1
9.如图8所示,竖直直线MN右侧存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场,现有一质量m=0.01kg、电荷量q=+0.01C的小球从MN左侧水平距离为L=0.4m的A点水平抛出,当下落距离是水平距离的一半时从MN上的D点进入电磁场,并恰好能做匀速圆周运动,图中C点是圆周的最低点且C到MN的水平距离为2L,不计空气阻力,g=10m/s2,则( ).
图8
A.小球的初速度为2
m/s
B.匀强电场的电场强度为10V/m
C.匀强磁场的磁感应强度为B=2T
D.小球从D到C运动的时间为0.1πs
二、非选择题
10.有一直角三角形OAC,OC水平且长为12cm,其下方存在垂直OC向上的匀强电场,∠C=30°,AC上方存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B1=1T,OA左侧也存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度B2未知,一质量为m=8×10-10kg、电荷量q=1×10-4C的带正电粒子从M点由静止释放,MC=8cm,MC⊥OC,粒子经电场加速后进入磁场,恰好经A点到达O点,不计粒子重力,求:
(1)匀强电场的电场强度E的大小;
(2)未知匀强磁场的磁感应强度B2的大小;
(3)粒子在磁场中运动的总时间t.
图9
11.如图10所示,在空间内有一直角坐标系xOy,直线OP与x轴正方向夹角为30°,第一象限内有两个方向均垂直纸面向外的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ,直线OP是它们的理想边界,OP上方区域Ⅰ中磁场的磁感应强度为B,在第四象限内有一沿x轴负方向的匀强电场,一质量为m、电荷量为q的质子(不计重力及质子对磁场、电场的影响)以速度v从O点沿与OP成30°角方向垂直磁场进入区域Ⅰ,质子先后通过磁场区域Ⅰ和Ⅱ后,恰好垂直通过x轴上的Q点(未画出)进入第四象限内的匀强电场中,最后从y轴上的A点与y轴负方向成60°角射出,求:
(1)区域Ⅱ中磁场的磁感应强度大小;
(2)Q点到O点的距离;
(3)匀强电场的电场强度E的大小.
图10
12.如图11甲所示,在xOy平面内有足够大的匀强电场,电场方向竖直向上,电场强度E=40N/C,在y轴左侧平面内有足够大的瞬时磁场,磁感应强度B1随时间t变化的规律如图乙所示,15πs后磁场消失,选定磁场垂直纸面向里为正方向.在y轴右侧平面内还有方向垂直纸面向外的恒定的匀强磁场,分布在一个半径为r=0.3m的圆形区域(图中未画出),且圆的左侧与y轴相切,磁感应强度B2=0.8T.t=0时刻,一质量m=8×10-4kg、电荷量q=2×10-4C的微粒从x轴上xP=-0.8m处的P点以速度v=0.12m/s向x轴正方向入射.(g取10m/s2,计算结果保留两位有效数字)
(1)求微粒在第二象限运动过程中离y轴、x轴的最大距离;
(2)若微粒穿过y轴右侧圆形磁场时,速度方向的偏转角度最大,求此圆形磁场的圆心坐标(x,y).
甲 乙
图11
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