人教版八年级数学上册第11章 《三角形》同步单元检测卷.docx
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人教版八年级数学上册第11章《三角形》同步单元检测卷
《三角形》同步单元检测卷
班级:
_______姓名:
________得分:
_______
一.选择题(每题4分,共40分)
1.下列每组数分别是三根小木棒的长度,用它们能摆成三角形的是( )
A.3cm,4cm,8cmB.8cm,7cm,15cm
C.13cm,12cm,20cmD.5cm,5cm,11cm
2.如图,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是四条边上的中点,为了使它稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条不应钉在( )
A.A,C两点之间B.G,H两点之间
C.B,F两点之间D.E,G两点之间
3.若n边形的内角和等于外角和的3倍,则边数n为( )
A.n=6B.n=7C.n=8D.n=9
4.如果三角形的两边长分别为3和5,那么第三边l的取值范围是( )
A.2<l<15B.l<8C.2<l<8D.10<l<16
5.如图,在△ABC中,∠B=32°,将△ABC沿直线m翻折,点B落在点D的位置,则∠1﹣∠2的度数是( )
A.32°B.45°C.60°D.64°
6.一个三角形三个内角的度数之比为4:
5:
6,这个三角形一定是( )
A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形
7.将一副直角三角板如图放置,使两直角边重合,则∠α的度数为( )
A.75°B.105°C.135°D.165°
8.在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C,点E在边AB上,∠AED=60°,则下列结论一定正确的是( )
A.∠ADE=20°B.∠ADE=
∠ADC
C.∠ADE=30°D.∠ADE=
∠ADC
9.如果三角形的两边长分别为7和9.那么第三边的长可能是下列数据中的( )
A.2B.13C.16D.18
10.如图,△ABC中BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB,∠BDC=120°,则∠A的度数为( )
A.40°B.50°C.60°D.75°
二.填空题(每题4分,共20分)
11.如图,BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是∠ACB的外角的平分线,如果∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠P= °.
12.如图,在四边形ABCD中,点E在AD的延长线上,若∠A=∠EDC,∠C=2∠B,则∠C= 度.
13.如图,已知BD为△ABC中∠ABC的平分线,CD为△ABC的外角∠ACE的平分线,与BD交于点D,若∠D=28°,则∠A= .
14.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”,则图中以BC为公共边的“共边三角形”有 对.
15.如图,在△ABC中,EF∥BC,∠ACG是△ABC的外角,∠BAC的平分线交BC于点D,记∠ADC=α,∠ACG=β,∠AEF=γ,则:
(1)α β(填“>”、“=”或“<”号);
(2)α、β、γ三者间的数量关系式是 .
三.解答题(每题10分,共60分)
16.在△ABC中,点D为边BC上一点,请回答下列问题:
(1)如图1,若∠DAC=∠B,△ABC的角平分线CE交AD于点F,试说明∠AEF=∠AFE
(2)在
(1)的条件下,如图2,△ABC的外角∠ACQ的角平分线CP交BA的延长线于点P,若∠P=26°,猜想∠CFD的度数,并说明理由.
17.如图①,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P.
(1)如果∠A=80°,求∠BPC的度数;
(2)如图②,作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q,试探索∠Q、∠A之间的数量关系.
(3)如图③,延长线段BP、QC交于点E,△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的3倍,请直接写出∠A的度数.
18.数学概念
XX百科这样定义凹四边形:
把四边形的某些边向两方延长,其他各边有不在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凹四边形.
如图①,在四边形ABCD中,画出DC所在直线MN,边BC、AD分别在直线MN的两旁,则四边形ABCD就是凹四边形.
性质初探
(1)在图①所示的凹四边形ABCD中,求证:
∠BCD=∠A+∠B+∠D.
深入研究
(2)如图②,在凹四边形ABCD中,AB与CD所在直线垂直,AD与BC所在直线垂直,∠B、∠D的角平分线相交于点E.
①求证:
∠A+∠BCD=180°;
②随着∠A的变化,∠BED的大小会发生变化吗?
如果有变化,请探索∠BED与∠A的数量关系;如果没有变化,请求出∠BED的度数.
19.如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D.点E在BC上,EF⊥AB,垂足为F,∠1=∠2.
(1)试说明DG∥BC的理由;
(2)如果∠B=34°,∠A=40°,求∠3的度数.
20.已知:
如图,AM,CM分别平分∠BAD和∠BCD.
①若∠B=32°,∠D=38°,求∠M的度数;
②探索∠M与∠B、∠D的关系并证明你的结论.
21.在小学时,我们已经了解过“三角形的内角和是180°”,那为什么三角形的内角和一定是180°呢?
小红在学习完平行线一节后,想到可以利用平行线的知识证明这个结论.如图1,是小红为证明三角形内角和是180°所采取的构图方法:
延长△ABC的边BC至点E,过点C作CD平行于AB.
(1)请你利用小红的构图,说明∠A+∠B+∠ACB=180°的理由.
(2)如图2,BC和AD相交于点O,BA⊥AD,DC⊥BC,BE平分∠CBA,延长AD至点G,作∠CDG的角平分线DF.请结合
(1)中已经证明的结论:
三角形内角和是180°,解决下列问题.
①写出证明∠OBA=∠ODC的推理过程.
②通过说理判断BE和DF是否平行.
参考答案
一.选择题
1.解:
A、3+4<8,不能组成三角形;
B、8+7=15,不能组成三角形;
C、13+12>20,能够组成三角形;
D、5+5<11,不能组成三角形.
故选:
C.
2.解:
工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,工人师傅为了使它稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条不应钉在E、G两点之间(没有构成三角形),这种做法根据的是四边形没有稳定性.
故选:
D.
3.解:
由题意得:
180(n﹣2)=360×3,
解得:
n=8,
故选:
C.
4.解:
∵三角形的两边长分别为3和5,
∴第三边l的取值范围是:
2<l<8.
故选:
C.
5.解:
如图所示:
由折叠的性质得:
∠D=∠B=32°,
根据外角性质得:
∠1=∠3+∠B,∠3=∠2+∠D,
∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B=∠2+64°,
∴∠1﹣∠2=64°.
故选:
D.
6.解:
∵三角形三个内角的度数之比为4:
5:
6,
∴这个三角形的内角分别为180°×
=48°,180°×
=60°,180°×
=72°,
∴这个三角形是锐角三角形,
故选:
C.
7.解:
∠AOC=∠DAB﹣∠C=15°,
∴∠α=180°﹣15°=165°,
故选:
D.
8.解:
如图,
在△AED中,∠AED=60°,
∴∠A=180°﹣∠AED﹣∠ADE=120°﹣∠ADE,
在四边形DEBC中,∠DEB=180°﹣∠AED=180°﹣60°=120°,
∴∠B=∠C=(360°﹣∠DEB﹣∠EDC)÷2=120°﹣
∠EDC,
∵∠A=∠B=∠C,
∴120°﹣∠ADE=120°﹣
∠EDC,
∴∠ADE=
∠EDC,
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=
∠EDC+∠EDC=
∠EDC,
∴∠ADE=
∠ADC,
故选:
D.
9.解:
∵三角形的两边长分别为7和9,
∴9﹣7<第三边的长<9+7,即2<第三边的长<16,
选项中只有,13符合题意.
故选:
B.
10.解:
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB,
∴∠ABC+∠ACB=2(∠DBC+∠DCB),
∵∠BDC=120°,
∴∠DBC+∠DCB=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°
∴∠A=180°﹣(∠ABC+ACB)=180°﹣120°=60°,
故选:
C.
二.填空题(共5小题)
11.解:
∵BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是∠ACB的外角的平分线,
∴∠ABP=∠CBP=20°,∠ACP=∠MCP=50°,
∵∠PCM是△BCP的外角,
∴∠P=∠PCM﹣∠CBP=50°﹣20°=30°,
故答案为:
30°.
12.解:
∵∠A=∠EDC,
∴AB∥DC,
∴∠B+∠C=180°,
∵∠C=2∠B,
∴∠B+2∠B=180°,即3∠B=180°,
∴∠B=60°,
则∠C=2∠B=120°,
故答案为:
120.
13.解:
∵BD为∠ABC的平分线,CD为∠ACE的平分线,
∴∠DBC=
∠ABC,∠DCE=
∠ACE,
∵∠DCE=∠DBC+∠D,∠ACE=∠ABC+∠A,
∴∠DBC+∠D=
(∠ABC+∠A),
∴∠D=
∠A,
∴∠A=2∠D=2×28°=56°.
故答案为56°.
14.解:
△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC共三对.
故答案为:
3.
15.解:
(1)α<β;
(2)∵EF∥BC,
∴∠B=γ,
由三角形的外角性质得,∠BAD=α﹣∠B=α﹣γ,
∠CAD=β﹣α,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠CAD,
∴α﹣γ=β﹣α,
∴β+γ=2α.
故答案为:
<,β+γ=2α.
三.解答题(共6小题)
16.解:
(1)∵CE平分∠ACB,
∴∠ECB=∠ACE,
∵∠B=∠FAC,
∴∠B+∠ECB=∠FAC+∠ACE.
又∵∠AEF=∠B+∠ECB,∠AFE=∠FAC+∠ACE,
∴∠AEF=∠AFE.
(2)∠CFD=64°,理由如下:
∵∠ACE=
∠ACB,∠ACP=
∠ACQ,
∴∠ECP=∠ACE+∠ACP=
(∠ACB+∠ACQ)=90°,
∴∠P+∠AEC=90°.
∵∠AEF=∠AFE=∠CFD,
∴∠P+∠CFD=90°.
∵∠P=26°,
∴∠CFD=64°.
17.
(1)解:
∵∠A=80°.
∴∠ABC+∠ACB=100°,
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点,
∴∠P=180°﹣
(∠ABC+∠ACB)=180°﹣
×100°=130°,
(2)∵外角∠MBC,∠NCB的角平分线交于点Q,
∴∠QBC+∠QCB=
(∠MBC+∠NCB)
=
(360°﹣∠ABC﹣∠ACB)
=
(180°+∠A)
=90°+
∠A
∴∠Q=180°﹣(90°+
∠A)=90°﹣
∠A;
(3)延长BC至F,
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线,
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线,
∴∠ACF=2∠ECF,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠EBC,
∵∠ECF=∠EBC+∠E,
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E,
即∠ACF=∠ABC+2∠E,
又∵∠ACF=∠ABC+∠A,
∴∠A=2∠E,即∠E=
∠A;
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ
=
∠ABC+
∠MBC
=
(∠ABC+∠A+∠ACB)=90°.
如果△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的3倍,那么分四种情况:
①∠EBQ=3∠E=90°,则∠E=30°,∠A=2∠E=60°;
②∠EBQ=3∠Q=90°,则∠Q=30°,∠E=60°,∠A=2∠E=120°;
③∠Q=3∠E,则∠E=22.5°,解得∠A=45°;
④∠E=3∠Q,则∠E=67.5°,解得∠A=135°.
综上所述,∠A的度数是60°或120°或45°或135°.
18.
(1)证明:
如图①,延长DC交AB于点E,
∵∠BEC是△AED的一个外角,
∴∠A+∠D=∠BEC,
同理,∠B+∠BEC=∠BCD,
∴BCD=∠A+∠B+∠D.
(2)①证明:
如图②,延长BC、DC分别交AD、BC于点F、G,
由题意可知,∠AFC=∠AGC=90°,
∵在四边形AFCG中,∠AFC+∠AGC+∠A+∠FCG=360°,
∴∠A+∠FCG=180°,
∵∠FCG=∠BCD,
∴∠A+∠BCD=180°;
②解:
由
(1)可知,在凹四边形ABED中,
∠A+∠ABE+∠ADE=∠BED①,
同理,在凹四边形EBCD中,
∠BED+∠EBC+∠EDC=∠BCD②,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC,
同理,∠ADE=∠EDC,
①﹣②得∠A+∠BCD=2∠BED,
由
(2)①可知,在凹四边形ABCD中,∠A+∠BCD=180°,
∴2∠BED=180°,
∴∠BED=90°.
19.
(1)证明:
∵CD⊥AB,EF⊥AB,
∴CD∥EF,
∴∠1=∠BCD,
∵∠1=∠2,
∴∠2=∠BCD,
∴DG∥BC.
(2)解:
∵∠B=34°,∠A=40°,
∴∠ACB=180°﹣34°﹣40°=106°,
∵DG∥BC,
∴∠3=∠ACB=106°
20.解:
①根据三角形内角和定理,∠B+∠BAM=∠M+∠BCM,
∴∠BAM﹣∠BCM=∠M﹣∠B,
同理,∠MAD﹣∠MCD=∠D﹣∠M,
∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD,
∴∠BAM=∠MAD,∠BCM=∠MCD,
∴∠M﹣∠B=∠D﹣∠M,
∴∠M=
(∠B+∠D)=
(32°+38°)=35°;
②根据三角形内角和定理,∠B+∠BAM=∠M+∠BCM,
∴∠BAM﹣∠BCM=∠M﹣∠B,
同理,∠MAD﹣∠MCD=∠D﹣∠M,
∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD,
∴∠BAM=∠MAD,∠BCM=∠MCD,
∴∠M﹣∠B=∠D﹣∠M,
∴∠M=
(∠B+∠D).
21.解:
(1)因为CD∥AB,
所以∠A=∠ACD,
∠B=∠DCE,
又因为∠ACB+∠ACD+∠DCE=∠BCE=180°,
所以∠A+∠B+∠ACB=180°;
(2)因为BA⊥AD,DC⊥BC,
所以∠A=∠C=90°,
因为∠BOA=∠DOC(对顶角相等),
在△ABO中,∠OBA+∠A+∠BOA=180°,
在△DOC中,∠ODC+∠C+∠DOC=180°,
所以∠OBA=∠ODC;
(3)因为∠OME=∠BMA=90°﹣∠ABE=90°﹣
∠OBA,
因为∠GDF=
∠GDC=
(180°﹣∠ODC)=90°﹣
∠ODC,
因为∠OBA=∠ODC,
所以∠OME=∠GDF,
所以BE∥DF.
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