二次函数知识点总结题型分类总结.docx

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二次函数知识点总结题型分类总结

二次函数知识点总结——题型分类总结

一、二次函数的定义

（考点：

二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）

1、下列函数中，是二次函数的是.

①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x；

⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y=错误！

未定义书签。

；⑧y=－5x。

2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4秒时，该物体所经过的路程为。

3、若函数y=（m2+2m－7）x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。

4、若函数y=（m－2）xm－2+5x+1是关于

的二次函数，则m的值为。

6、已知函数y=（m－1）xm2+1+5x－3是二次函数，求m的值。

二、二次函数的对称轴、顶点、最值

记忆：

如果解析式为顶点式：

y=a（x－h）2+k，则对称轴为：

，最值为：

；

如果解析式为一般式：

y=ax2+bx+c，则对称轴为：

，最值为：

；

如果解析式为交点式：

y=（x-x1）（x-x2）,则对称轴为：

，最值为：

。

1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。

2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝.

3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4．若抛物线y＝ax2－6x经过点（2，0），则抛物线顶点到坐标原点的距离为（）

A.

B.

C.

D.

5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c（）

A.开口向上，对称轴是y轴B.开口向下，对称轴是y轴

C.开口向下，对称轴平行于y轴D.开口向上，对称轴平行于y轴

6．已知抛物线y＝x2＋（m－1）x－

的顶点的横坐标是2，则m的值是_.

7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。

8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。

9．当n＝______，m＝______时，函数y＝（m＋n）xn＋（m－n）x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.

10．已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a=时，该函数y的最小值为0.

11．已知二次函数y=mx2+（m－1）x+m－1有最小值为0，则m＝______。

12．已知二次函数y=x2－4x+m－3的最小值为3，则m＝。

三、函数y=ax2+bx+c的图象和性质

1．抛物线y=x2+4x+9的对称轴是。

2．抛物线y=2x2－12x+25的开口方向是，顶点坐标是。

3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x＝－2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式。

4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

（1）y=

x2－2x+1；

（2）y=－3x2+8x－2；（3）y=－

x2+x－4

5．把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2－3x+5，试求b、c的值。

6．把抛物线y=－2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

7．某商场以每台2500元进口一批彩电。

如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？

最大利润是多少元？

四、函数y=a（x－h）2的图象与性质

1．填表：

抛物线

开口方向

对称轴

顶点坐标

2．已知函数y=2x2,y=2（x－4）2，和y=2（x+1）2。

（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。

（2）分析分别通过怎样的平移。

可以由抛物线y=2x2得到抛物线y=2（x－4）2和y=2（x+1）2？

3．试写出抛物线y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

（1）右移2个单位；

（2）左移

个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

4．试说明函数y=

（x－3）2的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）。

5．二次函数y=a（x－h）2的图象如图：

已知a=

，OA＝OC，试求该抛物线的解析式。

五、二次函数的增减性

1.二次函数y=3x2－6x+5，当x>1时，y随x的增大而；当x<1时，y随x的增大而；

当x=1时，函数有最值是。

2.已知函数y=4x2－mx+5，当x>－2时,y随x的增大而增大；当x<－2时，y随x的增大而减少；

则当x＝1时,y的值为。

3.已知二次函数y=x2－（m+1）x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是.

4.已知二次函数y=－

x2+3x+

的图象上有三点A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,y3）且3

则y1,y2,y3的大小关系为.

六、二次函数的平移

记法：

只要两个函数的a相同，就可以通过平移重合。

将二次函数一般式化为顶点式y=a（x－h）2+k，

平移规律：

左加右减，对x；上加下减，直接加减，对y。

6.抛物线y=－

x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为。

7.抛物线y=2x2，，可以得到y=2（x+4}2－3。

8.将抛物线y=x2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为。

9.如果将抛物线y=2x2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为。

10.将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x2－4x－1则a＝，b＝，c＝.

11.将抛物线y＝ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点（3，－1），那么移动后的抛物线的关系式为_.

七、函数的交点

11.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。

12.直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有个交点。

八、函数的的对称

13.抛物线y=2x2－4x关于y轴对称的抛物线的关系式为。

14.抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线为y=2x2－4x+3，则a=b=c=

九、函数的图象特征与a、b、c的关系

1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c的符号为（　　　）

A.a>0,b>0,c>0B.a>0,b>0,c=0

C.a>0,b<0,c=0D.a>0,b<0,c<0

2.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则下列结论正确的是（）

A．a+b+c>0B．b>-2a

C．a-b+c>0D．c<0

3.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如右图，有以下结论：

①c>0；②a+b+c>0③a-b+c>0④b2-4ac<0⑤abc<0；其中正确的为（）

A．①②B．①④C．①②③D．①③⑤

4.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（）

5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图所示的（）

6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac，2a＋b，a＋b＋c

四个代数式中，值为正数的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

7.在同一坐标系中，函数y=ax2+c与y=

（a

ABCD

8.反比例函数y=

的图象在一、三象限，则二次函数y＝kx2-k2x-1c的图象大致为图中的（）

ABCD

9.反比例函数y=

中，当x>0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝kx2+2kx的图象大致为图中的（）

ABCD

10.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中：

正确的个数是（）

①a，b同号；②当x＝1和x＝3时，函数值相同；③4a＋b＝0;④当y＝－2时，x的值只能取0；

A．1B．2C．3D．4

11.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线y＝ax＋bc不经过（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

十、二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）

1.如果二次函数y＝x2＋4x＋c图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝（写一个即可）

2.二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为　

3.抛物线y＝－3x2＋2x－1的图象与x轴交点的个数是（）

A.没有交点B.只有一个交点C.有两个交点D.有三个交点

4.如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，

则△ABC的面积为（）

A.6B.4C.3D.1

5.已知抛物线y＝5x2＋（m－1）x＋m与x轴的两个交点在y轴同侧，它们的距离平方等于为

，则m的值为（）

A.－2B.12C.24D.48

6.若二次函数y＝（m+5）x2+2（m+1）x+m的图象全部在x轴的上方，则m的取值范围是

7.已知抛物线y＝x2-2x-8，

（1）求证：

该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。

十一、函数解析式的求法

（一）、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；

1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

2．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。

（二）、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式：

y=a（x－h）2+k求解。

3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。

（三）、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a（x－x1）（x－x2）。

5．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

6．已知x＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式。

7．抛物线y=2x2+bx+c与x轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式。

8．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，3），且与y=2x2的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式。

9．抛物线y=2x2+bx+c与x轴交于（－1,0）、（3,0），则b＝，c＝.

10．若抛物线与x轴交于（2，0）、（3，0），与y轴交于（0，－4），则该二次函数的解析式。

11．根据下列条件求关于x的二次函数的解析式

（1）当x=3时，y最小值=－1，且图象过（0，7）

（2）图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x=

（3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）

（4）当x=1时，y=0;x=0时,y=－2，x=2时，y=3

（5）抛物线顶点坐标为（－1，－2）且通过点（1，10）

11．当二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是x1=－3，x2=1时，且与y轴交点为（0，－2），求这个二次函数的解析式

12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（2，0）、（4，0），顶点到x轴的距离为3，求函数的解析式。

13．知二次函数图象顶点坐标（－3，

）且图象过点（2，

），求二次函数解析式及图象与y轴的交点坐标。

14．已知二次函数图象与x轴交点（2,0），（－1,0）与y轴交点是（0,－1）求解析式及顶点坐标。

15．若二次函数y=ax2+bx+c经过（1，0）且图象关于直线x=

对称，那么图象还必定经过哪一点？

16．y=－x2+2（k－1）x+2k－k2，它的图象经过原点，求①解析式②与x轴交点O、A及顶点C组成的△OAC面积。

17．抛物线y=（k2－2）x2+m－4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y=－

x+2上，求函数解析式。

十二、二次函数应用

（一）经济策略性

1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。

经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。

假定每月销售件数y（件）是价格X的一次函数.

（1）试求y与x的之间的关系式.

（2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？

（总利润=总收入－总成本）

2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。

（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。

（2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式。

（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少？

3.某商场批单价为25元的旅游鞋。

为确定一个最佳的销售价格，在试销期采用多种价格进性销售，经试验发现：

按每双30元的价格销售时，每天能卖出60双；按每双32元的价格销售时，每天能卖出52双，假定每天售出鞋的数量Y（双）是销售单位X的一次函数。

（1）求Y与X之间的函数关系式；

（2）在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润W（元）与销售单价X之间的函数关系式；

（3）销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？

是多少？