全国高考数学冲刺复习专题32 不等式及答案.docx
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全国高考数学冲刺复习专题32不等式及答案
【知识络】
【考点聚焦】
内容
要求
A
B
C
不等式
基本不等式
√
一元二次不等式
√
线性规划
√
1.原题(必修5第75页习题3.1A组第2题)变式若
试比较
与
的大小.
【解析】平方作差可得:
.
2.原题(必修5第80页习题3.2A组第3题)变式已知方程
有两个不等正实根,求实
的取值范围.
【解析】依题意有:
,故
或
.
3.原题(必修5第81页习题3.2B组第二题)变式1若函
的定义域为
,则
的取值范围是.
【解析】要使
有意义,即
对
恒成立,则
,即
.
变式2若
恒成立,则
的取值范围是.
变式3若函
的定义域不是
,则
的取值范围是.
【解析】要使函
有意义,则存在
,使得
(*)
当
时,(*)等价于:
,即
,满足题意;当
时,
,即
;当
时,
,即
;综上,
.
变式4若函
的值域是
,则
的取值范围是.
4.原题(必修5第81页习题3.2B组第四题)变式如图,气象部门预报:
在海面上生成了一股较强台风,在距台风中心60千米的圆形区域内将会受严重破坏.台风中心正从海岸M点登陆,并以72千米/时的速度沿北偏西60°的方向移动.已知M点位于A城的南偏东15°方向,距A城
千米;M点位于B城的正东方向,距B城
千米.假设台风在移动过程中,其风力和方向保持不变,请回答下列问题:
(1)A城和B城是否会受到此次台风的侵袭?
并说明由;
(2)若受到此次台风侵袭,该城受到台风侵袭的持续时间有多少小时?
【解析】
(1)A城不会受到台风影响:
B城会受到台风影响;
(2)
小时;
5.原题(必修5第80页习题3.2A组第四题)变式已知不等式
的解集为A,不等式
的解集是B.
(1)求
;
(2)若不等式
的解集是
求
的解集.
6.原题(必修5第87页例题)变式横坐标、纵坐标都是整的点是整点坐标.若直线
(为正整),与坐标轴围成三角形内的整点坐标(含周界)的个是100,则等于()
A.9B.18C.11D.22
【解析】B.
7.原题(必修5第100页练习题第1题)变式求函
的值域.
8.原题(必修5第91页练习题第1
(2)题)
【解析】
目标函为
,可行域如图所示,
作出直线
可知,直线经过点
时,
取得最大值.直线经过点
时,
取得最小值.
解方程组
,和
可得点
和点
.
所以
,
变式1 (2014·广东)若变量x,y满足约束条件
且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=________.
【答案】 6
变式2 实x,y满足
(1)若z=
,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;
(2)若z=x2+y2,求z的最大值与最小值,并求z的取值范围.
【解析】
由
作出可行域,
如图中阴影部分所示.
(1)z=
表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,
因此
的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在,即zmax不存在).
由
得B(1,2),
∴kOB=
=2,即zmin=2,
∴z的取值范围是2,+∞).
(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方.
因此x2+y2的值最小为OA2(取不到),最大值为OB2.
由
得A(0,1),
∴OA2=(
)2=1,OB2=(
)2=5,
∴z的取值范围是(1,5].
引申探究
1.若z=
,求z的取值范围.
2.若z=x2+y2-2x-2y+3.求z的最大值、最小值.
【解析】
z=x2+y2-2x-2y+3
=(x-1)2+(y-1)2+1,
而(x-1)2+(y-1)2表示点P(1,1)与Q(x,y)的距离的平方,(PQ2)max=(0-1)2+(2-1)2=2,
(PQ2)min=(
)2=
,
∴zmax=2+1=3,zmin=
+1=
.
变式3已知a>0,x,y满足约束条件
若z=2x+y的最小值为1,则a=________.
【答案】
【思维升华】
(1)先准确作出可行域,再借助目标函的几何意义求目标函的最值.
(2)当目标函是非线性的函时,常利用目标函的几何意义解题,常见代式的几何意义有:
①
表示点(x,y)与原点(0,0)的距离,
表示点(x,y)与点(a,b)的距离;
②
表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,
表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.
(3)当目标函中含有参时,要根据临界位置确定参所满足条件.
9.原题(必修5第93页练习题第3题)
分析:
将所给信息下表表示:
每次播放时间/分
广告时间/分
收视观众/万
连续剧甲
80
1
60
连续剧乙
40
1
20
播放最长时间
320
最少广告时间
6
【解析】
设每周播放连续剧甲次,播放连续剧乙次,收视率为.
答:
电视台每周应播放连续剧甲2次,播放连续剧乙4次,才能获得最高的收视率.
变式(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为________万元.
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
【答案】 18
【解析】 设每天甲、乙的产量分别为x吨,y吨,由已知可得
目标函z=3x+4y,线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示:
可得目标函在点A处取到最大值.
由
得A(2,3).
则zmax=3×2+4×3=18(万元).
【感受高考】
1.【2016高考新课标1卷】若
则()
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】C
2.【2016年高考四川】设p:
实x,y满足
,q:
实x,y满足
则p是q的()
(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析:
画出可行域(如图所示),可知命题中不等式组表示的平面区域
在命题
中不等式表示的圆盘内,故选A.
3.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.
【答案】
【解析】
二元一次不等式组①等价于
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图),即可行域.
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