用逐次逼近法近似三等分任意角.docx
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用逐次逼近法近似三等分任意角
用逐次逼近法近似三等分任意角
作者:
刘京
用尺规作图法三等分任意角,在数学上已经被证明是不可能的。
但这种不可能是针对将任意角精确地三等分而言的。
如果针对小于180°的任意角,限定仅用尺规作图的方法,在满足一定精度要求的前提下,对该角进行近似三等分,这还是可以实现的。
本文拟采用逐次逼近的方法,通过有限次的迭代,做到对上述任意角的近似三等分。
实际上,该方法可以进一步推广到对小于180°的任意角近似N等分的情况(N为正整数)。
1、画主圆
得到弦AB及短弧线AB弧
1、对于任意角∠AOB,以O为圆心,以OA为半径画圆,注意OA长度尽可能大。
该圆与角的另一边相交于B点。
2、连接A、B两点,做弦AB。
2、获得截弦长
将弦AB三等分,得线段AC。
设截弦长d=AC=AB/3;
1、从A点任意引一条直线AH;
2、任选一长度为r的线段,以A为圆心,以r为半径画圆,交AH于X1点;
3、以X1为圆心,以r为半径,画圆交AH于X2点;
4、以X2为圆心,以r为半径,画圆交AH于K点;
5、连接BK
6、将X1点改称为M点,并擦除辅助圆
7、过M点做BK的平行线,交AB弦于C点
由《几何原本》第六章“相似”的命题2可知,AM/AK=AC/AB=1/3,即AC是AB的三分之一。
将线段AC的长度定义为d。
即d=AC=AB/3;
实际上本章节的作图法完全来自于《几何原本》第六章“相似”的命题9。
8、擦除辅助线
3、获得剩余弦长
以d为基准长度,连续3次截取短弧线AB,最终得到剩余弦长y;
1、以A为圆心,以d为半径画圆,交短弧线AB于G
2、以G为圆心,以d为半径画圆,交短弧线AB于J
3、以J为圆心,以d为半径画圆,交短弧线AB于T
4、连接BT,BT为剩余弦长。
令y=BT;
5、擦除辅助圆
4、获得修正值
将剩余弦长y=BT三等分,找到D点。
设修正值x使得x=DT=BT/3。
1、从T点任引一条直线TH
2、以T为圆心,以任意长度r为半径画圆,交TH于点K
3、以K为圆心,以长度r为半径画圆,交TH于点M
4、以M为圆心,以长度r为半径画圆,交TH于点N
5、连接BN
6、过K点做BN的平行线,交BT于D
由《几何原本》第六章“相似”的命题2和命题9可知,DT/BT=TK/TN=1/3;故x=DT=BT/3;
7、擦除辅助线
5、更新截弦长
更新截弦长d的值,使d=d+x=AC+DT;
1、以C为圆心,以DT为半径画圆,交AB于点E
2、擦除线段BT及辅助圆
设AE的长度为d,d=AE;即原有的截弦长d的值获得更新。
6、更新剩余弦长
以d为基准长度连续截取短弧线AB
1、以A为圆心,以d为半径画圆,交短弧线AB于P
2、以P为圆心,以d为半径画圆,交短弧线AB于Q
3、以Q为圆心,以d为半径画圆,交短弧线AB于T
4、连接BT,BT为剩余弦长y,并擦除辅助圆
局部放大
7、更新修正值
将剩余弦长y=BT三等分,使修正值x=y/3;
1、从B点引任意直线BH
2、取任一长度为r的线段,在BH上连续截取三段r线段,最后交BH于点K
3、连接TK,并做TK的平行线,该平行线过r在直线BH上的第一个截点,平行线交BT于点Q
由《几何原本》第六章“相似”的命题2和命题9可知,BQ=BT/3,令x=BQ=BT/3=y/3;
4、擦除辅助线
8、更新截弦长
用x修正线段d=AE,即更新d的值为d=AF;
1、以E为圆心,以x=BQ为半径画圆,交线段AE于点F
即用AE-BQ=AF;令d=AF;
2、擦除辅助圆
9、更新剩余弦长
以d=AF为基准长度连续截取短弧线AB
1、以A为圆心,以d为半径画圆,交短弧线AB于M
2、以M为圆心,以d为半径画圆,交短弧线AB于N
3、以N为圆心,以d为半径画圆,交短弧线AB于P
4、连接BP,BP即为剩余弦长y;
5、当认为y足够小时,可以停止迭代,否则将y三等分,继续用于修正截弦长d的长度。
10、近似三等分
实现任意角的近似三等分
1、连接OM、ON
2、验证一下
因为最后一个角度还有一个BP的余项,所以最后一个角度是45.8°,略大于前两个角度,若继续将剩余弦长BP三等分并修正AF,还能够进一步提高精度。
3、进一步截弦长以提高精度的结果
进一步提高精度后,只在小数点后第二位有差值了,三等分角的误差已达到0.01度了。
该方法的基本思路来源于《几何原本》第三章“圆与角”的命题27和命题28。
命题Ⅲ.27为“在相等圆中,相等的弧所对的圆周角相等,所对的圆心角相等”。
命题Ⅲ.28为“在相等圆中,等弦截出相等的弧,优弧等于优弧,劣弧等于劣弧”。
所以,如果能将短弧线AB三等分,由命题Ⅲ.27也就能得到圆心角∠AOB的三等分角。
而为了将短弧线AB三等分,就要找到一个合适的截弦长,如果用这个弦长从A点开始,连续三次首尾相接的截取短弧线AB,其终点正好与B点重合,那么根据“等弦对等弧,等弧对等角(圆心角)”的思路,这些由同一个弦长截出的圆心角都相等,且由于始于A点而终于B点,这些弧线应正好将短弧线AB三等分,那么就可以实现任意角三等分的梦想了。
当然,它只是梦想。
从作图实践来看,要找到这个截弦长是不可能的,但用一截弦长连续三次首尾相接,通过逐次逼近的方法其终点可以无限接近于B点,当终点与B点足够近时,就可以认为这个截弦长能够近似三等分圆心角∠AOB了。
十一、流程图总结
该方法虽然是以三等分角为例,但从作图方法上并不限于三等分,只要将等分数3代换为正整数N,即可实现对任意角(小于180°)的近似N等分。
实际上,当N为大于等于3的奇数时,该方法更为实用一些,毕竟对任意角的无限次二等分是有标准的尺规作图法的。
十二、局限性
理论上讲,这种逐次逼近的迭代次数是可以无限循环下去的,但是实际上根本做不到。
当你真正拿起圆规、直尺和铅笔在一张白纸上绘图时,在你迭代到第三次或第四次的时候,你会发现你的铅笔头都会比剩余弦长还要粗些,更别说将剩余弦长做N等分了。
当然,还有一个补救的办法,就是把主圆画的最够大,换句话说,就是将半径OA取的足够大,但这对尺规作图来说,同样是一个考验。
所以说该方法能将等分角的误差控制在0.1°或者0.01°就已经是很不错的结果了。
不过有个好消息,就是当任意角很小时(比如只有3°),你只需一次迭代,就可以使三等分角达到这个精度了,这大概是因为小角度所对应的弧长与弦长近似相等的缘故吧。
花絮
其实现代数学早已很好的解决了此类问题,但这背后有着现代科技与现代工业的支撑,比如激光干涉仪可以在纳米级的精度上测量距离,电子计算机可以很精确的计算出N等分任意角上某点的极坐标或直角坐标等。
那么为什么我还要用如此古老的尺规作图法研究三等分任意角的问题呢?
其实,我是中了穿越小说的毒。
就我看的两本穿越小说,都是描述一群现代人携带着一堆的现代装备,包括手机、电脑、机器甚至武器穿越到古代去重建工业文明的,可见现代人对现代工具、现代装备的依赖之深。
如果是一群现代人,除了满脑子的现代科学知识,不携带任何现代装备、现代工具甚至现代的材料,一丝不挂地穿越到古代,比如欧几里得的时代,他们只能使用当时的古老工具作为起点,在那片古老的土地上,他们有能力建立起现代文明吗?
从《几何原本》的限定条件上看,一把没有刻度的直尺,一个古老的圆规,当时不可能有铅笔,但木炭肯定是有的,也可以当笔用了。
这就是当时所能提供的研究几何学的全部条件了。
同样的,从《几何原本》中还可以知道,当时人们已经可以画出等边三角形,也就是能得到60°角【1】;也能画出直角,即得到90°角【2】;他们还能画出72°角和36°角【3】,且他们还知道如何二等分小于180°的任意角【4】。
看上去好像还不错是吧,不过问题来了,72°-60°=12°,12°二等分得6°,6°再二等分得3°,3°就成了当时条件下能得到的最小整数角度了,那么怎么得到1°呢?
看到了吧,尺规作图三等分角的问题可是困扰了人类上千年呢。
当然,我承认,文中的插图都是用CAD软件绘制的,这也是人对现代工具依赖之深的一个旁证吧。
注:
【1】《几何原本》第1章命题1:
“已知一个线段可以做一个等边三角形”;
【2】《几何原本》第1章命题11:
“过一条直线上的点,可以作该直线的垂线”;
【3】《几何原本》第4章命题10:
“可以作一个等腰三角形,两个底角皆等于顶角的两倍”
【4】《几何原本》第1章命题9:
“一个角可以切分成两个相等的角”;
另:
本文所述《几何原本》为由邹忌编译,重庆出版社出版,2017年10月第25次印刷,ISBN:
978-7-229-07157-8
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- 关 键 词:
- 逐次 逼近 近似 三等分 任意