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高等数学漫谈之二极限
高等数学漫谈之二——极限
同学们,军训结束啦,放假了,终于可以放飞自我啦。
但是闲暇之余,也可以与老师聊聊天,谈谈人生理想啥的哈。
今天老师先跟同学们聊聊奠定高等数学基础的——极限(大咖终于登场了)。
一、极限成长史(学习方法之——依照数学史的轨迹去学习、再创造)
我们先快速看看“他”的来历,极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期(比如公元前770——前221年,在《庄子》“天下篇”中记录:
“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。
这句话充分体现出了古人对极限的一种思考,也形象的描述出了“无穷小量”的实际范例。
),但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中,牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。
但迟至18世纪下半叶,达朗贝尔等人才认识到,把微积分建立在极限概念的基础之上,微积分才是完善的,柯西(1789-1857)最先给出了极限的描述性定义:
假如一个变量依次取得的值无限趋近于一个定值,到后来这个变量与定值之间的差值要多小就多小,那么这个定值就是这所有取得的无限接近定值的变量的极限值。
可是,柯西的极限定义还是存在着一些问题,比如他所谓的“无限接近”、“要多小有多小”这些概念都只能在头脑中想象,不能摆脱在头脑中的几何直观想象来建立数学概念的方法。
为摆脱极限定义的几何直观思维方法,19世纪后半期,卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔斯特拉斯(德国数学家,被誉为“现代分析之父”)给出了极限的严格定义(ε-δ和ε-N定义)。
二、历史背景(学习方法之——倒着学)
微积分一诞生,就在力学、天文学中大显身手,能够轻而易举地解决许多本来认为束手无策的难题。
后来,微积分又在更多的领域取得了丰硕的成果。
人们公认微积分是17、18世纪数学所达到的最高成就,然而它的创始人牛顿和莱布尼茨对之所作的论证却并不清楚、很不严谨。
无论是牛顿的瞬(无穷小)和流数(正流数术——微分和反流数术——积分),还是莱布尼茨的dy和dx,都涉及到“无穷小量”,而在他们各自的论述中都没有给出确定的、一贯的定义。
在微积分的推导和运算过程中,常常是先用无穷小量作为分母进行除法,然后又把无穷小量当作0,以消除那些包含有它的项。
那么“无穷小量”究竟是0还是非0呢?
如果它是0,怎么能用它去作除数呢?
如果它不是0,又怎么能把包含它的那些项消除掉呢?
这种逻辑上的矛盾,牛顿和莱布尼茨都意识到了。
牛顿曾用有限差值的最初比和最终比(一种萌芽状态的极限概念)来说明流数的意义,但是当差值还未达到0时,其比值不是最终的,而当差值达到0时,它们的比就成为0,怎样理解这样的最终比呢?
实在令人困惑。
牛顿承认他对自己的方法只作出"简略的说明,而不是正确的论证。
"莱布尼茨曾把无穷小量形容为一种"理想的量",但正如一些数学家所说:
"与其说是一种说明,还不如说是一个谜。
"
奇怪的是,微积分自身存在着明显的逻辑混乱,然而在实际应用中则是卓有成效的得力工具。
这样,微积分就具有了。
起初,“神秘性”集中表现在对于“无穷小量”这个概念的理解上,并因而受到了各种人的攻击。
数学家们不能容忍这一新方法的理论本身是如此的含糊不清乃至荒谬绝伦。
法国数学家洛尔称微积分为“巧妙的谬论的汇集”;著名思想家伏尔泰说微积分是“精确的计算和度量某种无从想象其存在的东西的艺术”。
在一片疑难和责问声中,以英国主教兼哲学家贝克莱的谴责最为强烈,他讥讽无穷小量是“逝去的量的鬼魂”,说微积分包含“大量的空虚、黑暗和混乱”,是“分明的诡辩”。
马克思曾对微积分作过一番历史考察,他把这一时期称为"神秘的微积分"时期,并有这样的评论:
“于是,人们自己相信了新发现的算法的神秘性。
这种算法肯定是通过不正确的数学途径得出了正确的(而且在几何应用上是惊人的)结果。
人们就这样把自己神秘化了,对这新发现的评价更高了,……”
微积分的逻辑缺陷和人们的猛烈攻击,激厉数学家们为消除微积分的神秘性,亦即为微积分建立合理的理论基础而努力。
18世纪,在这方面作出贡献的主要代表人物是达朗贝尔、欧拉和拉格朗日。
可是"无穷小量"的本质尚未弄明白,无穷级数的“和”的问题又日渐突出了。
在微积分里,一个典型的基本算法就是把无穷多项相加,叫做求无穷级数之和。
在初等数学中,有限多项相加总有确定的和。
而无穷多项相加,是加不完的,什么是无穷级数的“和”是不清楚的。
在很长一段时间里,人们习惯地把有限多项相加的运算规则照搬到无穷级数中,虽然也解决过许多问题,但有时竟出现了像1/2=0这样的荒谬结果。
进入19世纪以后,随着微积分应用的更加广泛和深入,遇到的数量关系也更加复杂,很多问题,例如,对于热传导现象的研究,就已超出了早年力学那样的直观性。
在这种情况下,要求有明确的概念、合乎逻辑的推理和运算法则,就显得更加重要和迫切了。
事实上,微积分作为变量数学,是运用“无穷”来描画和研究运动和变化过程,获得了成功的,却长期没有对有关“无穷”的概念给出正确的阐述,甚至导致逻辑上的混乱,微积分的神秘性正是由此而来,而这也正是微积分的理论基础所要解决的问题。
数学家们经过一百多年的艰苦探索历程,终于在前人所积累的大量成果(包括许多失败的尝试)的基础上,建立起微积分的理论基础。
柯西(1789―1857)于1821年出版的《分析教程》中,开始有了极限概念的基本明确的叙述,并以极限概念为基础,对“无穷小量”、无穷级数的和等概念给出了比较明确的定义。
例如,从极限的观点看,“无穷小量”就是极限为零的变量,在变化过程中,它可以是“非零”,但它的变化趋向是“0”,无限地接近于“0”。
极限论正是从变化趋向上说明了“无穷小量”与“0”的内在联系,从而澄清了逻辑上的混乱,撕下了早期微积分的神秘面纱。
后来,经过波尔察诺、魏尔斯特拉斯、戴德金、康托等人的卓越工作,又进一步把极限论建立在严格的实数理论基础上,并且形成了描述极限过程的ε-δ语言。
微积分理论基础的严密化,使微积分跃进和扩展为现代数学的重要领域。
微积分的发展历史告诉我们,一门学科不能只停留在感性阶段,如果不上升到理性,不具备坚实的理论基础,不但其应用受到限制,学科本身也难以继续发展。
三、极限的概念
1.极限
(1)柯西的极限“直观”定义
直观的理解“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
19世纪,法国数学家柯西在前人工作的基础上,比较完整地阐述了“极限概念”及其理论,他在《分析教程》中指出:
“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值,最终使变量的值和该定值之差要多小就多小,这个定值就叫做所有其他值的极限值,特别地,当一个变量的数值(绝对值)无限地减小使之收敛到极限0,就说这个变量成为无穷小”。
柯西把无穷小视为“以0为极限的变量”,这就正确地确立了“无穷小”概念为“似0不是0却可以人为用等于0处理”的办法,这就是说,在变量的变化过程中,它的值实际上不等于0,但它变化的趋向是向0,可以无限地接近于0。
那么人们就可以用“等于0”来处理,是不会产生错误结果的。
高等数学教材中的“极限”直观定义:
某一个函数中在自变量某一(变大、变小或者无限接近某一常数)永远变化的过程中,因变量逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”(永远不能够等于A,当然,常函数例外)的过程中,此变量永远趋近的值A叫做此过程中的“极限值”。
此变量的变化,被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
因此,极限是一种“变化状态”的描述。
可以看出,柯西试图消除极限概念中的几何直观,(但是“几何直观”不是消极的东西,我们研究函数时也可以发挥想像力——动态趋势的变量图像,假设被放大到巨大的天文倍数以后,我们也会永远不能看到变量值‘重合于0’,所以用不等式表示会更加“明确”)作出极限的明确定义,然后去完成牛顿的愿望。
但柯西的叙述中还存在描述性的词语,如“无限趋近”、“要多小就多小”比较通俗易懂的描述,对于概念的理解比较容易,因此其定义还保留着几何和物理的直观痕迹,一分为二,直观痕迹比较多也会有好处,但是结合下面的抽象定义可更加容易理解“极限”的概念。
(2)维尔斯特拉斯严格的极限定义
为了排除极限概念中的直观痕迹,维尔斯特拉斯提出了极限的的抽象定义,给微积分提供了严格的理论基础。
1对于数列
,所谓
→A,就是指:
“如果对任何ε>0,总存在自然数N,使得当n>N时,不等式|
-A|<ε恒成立”。
记作
或
2对于函数
自变量趋近有限值时函数的极限:
定义:
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义,如果存在常数a,对于任意给定的正数ε,都
,使不等式
在
时恒成立,那么常数
就叫做函数
当
时的极限,记作
如果函数
当
时不以a为极限,则存在某个正数ε,对于任何正数δ,当
时,
。
(解释:
当
时
收敛于
,我们一定能证明x足够接近x0时,
与极限
的差距小于任意小的指定误差。
而当
时
不收敛于
,我们就能证明无论x与x0的距离有多近,f(x)与a的差距都无法小于指定的某个误差。
)
自变量趋近无穷值时函数的极限:
定义:
设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义,如果存在常数a,对于任意给定的正数ε,总存在正数M,使得当x满足不等式
时,
都满足
,那么常数
就叫做函数
当
时的极限,记作
。
(解释:
当
时
收敛于
,我们一定能证明当
足够大时,f(x)与极限a的差距小于任意小的指定误差。
)
以上定义,借助不等式,通过ε和N(
或M)之间的关系,定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。
因此,这样的定义应该是目前比较严格的定义,可作为科学论证的基础,至今仍在数学分析书籍中使用。
在该定义中,涉及到的仅仅是“数及其大小关系”,此外只是用给定、存在、任何等词语,已经摆脱了“趋近”一词,不再求助于运动的直观。
(但是理解“极限”概念不能够抛弃“运动趋势”去理解,否则容易导致把常量概念不科学地进入到微积分领域里)
四、极限思想
1.极限思想的思维功能
极限思想在现代数学乃至物理学等学科中,有着广泛的应用,这是由它本身固有的思维功能所决定的。
极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。
借助极限思想,人们可以从有限认识无限,从“不变”认识“变”,从“直线构成形”认识“曲线构成形”,从量变去认识质变,从近似认识精确。
常量可理解为“不变化的量”。
微积分问世以前,人们习惯于用静态图像研究数学对象,自从解析几何和微积分问世以后,考虑“变化量”的运动思维方式进入了数学领域,人们就有数学工具对物理量等等事物变化过程进行动态研究。
之后,维尔斯特拉斯,建立的ε-N语言,则用静态的定义描述变量的变化趋势。
这种“静态——动态——静态”的螺旋式的上升演变,反映了数学发展的辩证规律。
“无限”与“有限”概念本质不同,但是二者又有联系,“无限”是大脑抽象思维的概念,存在于大脑里。
“有限”是客观实际存在的千变万化的事物的“量”的映射,符合客观实际规律的“无限”属于整体,按公理,整体大于局部思维。
“变”与“不变”反映了事物运动变化,与相对静止,两种不同状态,但它们在一定条件下又可相互转化,这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”。
例如,物理学,求变速直线运动的瞬时速度,用初等方法无法解决,困难在于变速直线运动的瞬时速度是变量不是常量。
为此,人们先在小的时间间隔范围内用“匀速”计算方法代替“变速”状态的计算,求其平均速度,把较小的时间内的瞬时速度定义为求“速度的极限”,是借助了极限的思想方法,从“不变”形式来寻找“某一时刻变”的“极限”的精密结果。
曲线形与直线形图像有着本质的差异,但在一定条件下也可相互转化,正如恩格斯所说:
“直线和曲线在微分中终于等同起来了”。
善于利用这种对立统一关系,是处理数学问题的重要手段之一。
用直线构成的图形的面积易求;但是求曲线组成的图形的面积,用初等数学是不能准确地解决的。
古人刘徽用“圆内接多边形逼近圆面积”;人们用“变形为矩形的面积”来逼近曲边梯形的面积,等等,都是借助于极限的思想方法,从直线形来起步认识曲线形问题的解答。
无限逼近“真实值”(结论完全没有误差)思想,在数学研究工作中起着重要作用。
例如对任何一个圆内接正多边形来说,当它边数加倍后,得到圆面积的近似答案还是圆内接正多边形的面积。
人们不断地让其边数加倍增加,经过无限过程之后,多边形就“变”成一个与真实的圆面积相差不大的“假圆”,每一步“边数增加的变化”都可以使用原来的常量公式累计,得到越来越靠近真实值的“圆面积”,圆的边上的越来越多的新的小的三角形底边,变形中的数不清的三角形正反互补得到的矩形,其长边的总和的极限等于“圆周长的一半”与半径的乘积计算得到圆面积(就是极限概念的应用),趋势极限,愈来愈逼近圆面积。
这就是借助于极限的思想方法,化繁为简解决求圆面积问题,其他问题思维方法一样。
用极限概念解决问题时,首先用传统思维,用低等数学思维的常量思维建立某一个函数(计算公式),再想办法进行图像总的面积不变的变形,然后把某一个对应的变量的极限求出,就可以解决问题了。
这种“恒等”转化中寻找极限数值,是数学应用于实际变量计算的重要诀窍。
前面所讲到的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积方法”,分别是相应的“无穷级数之趋近数值”、“瞬时速度”、“求圆面积”的最为精确的近似值的办法,用极限思想,可得到相应的无比精确的结论值。
这都是借助于极限的思想方法,人们用“无限地逼近”也可以实现精密计算结果,用此新方法——微积分的极限思维,可满意地解决“直接用常量办法计算有变化量的函数但无现成公式可用,所以计算结果误差大”的问题。
2.建立概念,支撑整个微积分的极限思想
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。
可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。
在几乎所有的数学分析著作中,都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。
如:
(1)函数在点连续的定义,是当自变量的增量趋于零时,函数值的增量趋于零的极限。
(2)函数在点导数的定义,是函数值的增量与自变量的增量之比,当时的极限。
(3)函数在点上的定积分的定义,是当分割的细度趋于零时,积分和式的极限。
(4)数项级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的。
(5)广义积分是定积分其中为,任意大于的实数当时的极限,等等。
3.解决问题的极限思想
极限思想方法,是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法,也是数学分析与在初等数学的基础上有承前启后连贯性的、进一步的思维的发展。
数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题(例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体的体积等问题),正是由于其采用了‘极限’的‘无限逼近’的思想方法,才能够得到无比精确的计算答案。
人们通过考察某些函数的一连串数不清的越来越精密的近似值的趋向,趋势,可以科学地把那个量的极准确值确定下来,这需要运用极限的概念和以上的极限思想方法。
要相信,用极限的思想方法是有科学性的,因为可以通过极限的函数计算方法得到极为准确的结论。
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