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双曲线教学讲义
双曲线教学讲义
ZHISHISHULI
知识梳理
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)___的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的__焦点___,两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距___.注:
设集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且a>0,c>0;
(1)当a (2)当a=c时,P点的轨迹是__两条射线___; (3)当a>c时,集合P是__空集___ 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 22 x2-y2=1 a2-b2=1 (a>0,b>0) ya22-xb22=1 (a>0,b>0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称性 对称轴: 坐标轴对称中心: 原点 顶点 顶点坐标: A1__(-a,0)___, A2(a,0) 顶点坐标: A1__(0,-a)___, A2(0,a) 渐近线 by=__±x___ a a y=±bx 离心率 e=c,e∈(1,+∞),其中c=a2+b2a 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的__实轴___,它的长|A1A2|=__2a___;线段B1B2叫做双曲线的__虚轴___,它的长|B1B2|=__2b___;__a___叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c的关系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) ZHONGYAOJIELUN重要结论 双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b. (2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线. (3)双曲线为等轴双曲线? 双曲线的离心率e=2? 双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关 系). ) SHUANGJIZICE双基自测 B.2 D.3 ∴3c2=4b2=4(c2-a2).∴c2=4a2,e2=4,e=2. 三个顶点,则双曲线的离心率(B) A.32 C.52[解析]设F1(-c,0),F2(c,0). 4.(2019·天津模拟)已知双曲线ax2-yb2=1(a>0,b>0)的焦距为25,且双曲线的一条渐近线 与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为(A) 且|PF1|=5,则|PF2|=(D) A.5 B.3 C.7 D.3或7 [解析]∵||PF1|-|PF2||=2,∴|PF2|=7或3. 到一条渐近线的距离为23c,则其离心率的值是__2___ [解析]双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为 x2y2 例1 (1)(2019西·安模拟)设F1,F2分别是双曲线a2-b2=1的左、右焦点,若双曲线 (B) 上存在点A,使∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率为 (2)已知F是双曲线x4-1y2=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为__9___[解析] (1)因为∠F1AF2=90°,故|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=4c2,又|AF1|=3|AF2|,且|AF1|-|AF2|=2a,故10a2=4c2,即e=c=10.故选B. a2 (2)设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义,可知|PF|=4+|PF1|,所以当|PF1|+|PA|最小 时满足|PF|+|PA|最小.由双曲线的图像,可知当点A,P,F1共线时,满足|PF1|+|PA|最小, |AF1|即|PF1|+|PA|的最小值.又|AF1|=5,故所求的最小值为9. 名师点拨? 进而求出曲线方程;可在“焦 应用双曲线的定义,可判定平面内动点的轨迹是否为双曲线, 点三角形”中,利用正弦定理、余弦定理,并结合||PF1|-|PF2||=2a,运用配方法,建立与|PF1|·PF|2|的联系.应用双曲线的定义时,若去掉绝对值,则点的轨迹是双曲线的一支. 变式训练1〕 A.1 D.18 4 若|PF1|=3|PF2|,则△F1PF2的面积为(B A.48 C.12[解析]如图,取线段PF1的中点M, 则|OP+OF1|=|2OM|=8,所以|PF2|=8. 由|PF1|-|PF2|=10,得|PF1|=18,故选D. (2)由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=13|PF2|=2a=2, 解得|PF2|=6,故|PF1|=8,又|F1F2|=10,由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形, 自主练透 因此S△PF1F2=12|PF1|×|PF2|=24. 考点2求双曲线的方程 例2根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)与已知双曲线x2-4y2=4有共同渐近线且经过点(2,2); (2)渐近线方程为y=±12x,焦距为10; (3)经过两点P(-3,27)和Q(-62,-7); (4)双曲线中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为2,且过点(4,-10). [解析] (1)设所求双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0), 将(2,2)代入上述方程,得22-4·22=λ,∴λ=-12. y2x2 ∴所求双曲线方程为y3-1x2=1. x2 (2)设所求双曲线方程为4-y2=λ(λ≠0), x2y2 当λ>0时,双曲线标准方程为x-y=1, 4λλ ∴c=5λ.∴5λ=5,λ=5; y2x2 当λ<0时,双曲线标准方程为-=1, ∴所求双曲线方程为 -λ-4λ x2y2y2x2 -=1或-=1 20-5=或5-20= (3)设双曲线方程为mx2-ny2=1.(mn>0) ∴双曲线方程为2y5-7x5=1. 2575 1610x2y2 则1m6-1m0=1,解得m=6.∴x6-y6=1. 名师点拨? 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法: 由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定2a,2b或2c,从而求 出a2,b2,写出双曲线方程. (2)待定系数法: 先确定焦点在x轴还是y轴,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即 据条件求λ的值. x2y2 (2)(2018课·标Ⅱ卷)双曲线ax2-by2=1(a>0,b>0)的离心率为3,则其渐近线方程为(A) b1 [解析] (1)根据题意,令y=0,则x=5,即c=5.又a=2,所以a2=20,b2=5,所以双曲线的方程为2x0-y5=1. (2)∵e=3,∴ba=e2-1=3-1=2,∴双曲线的渐近线方程y=±bax=±2x.故选A. 角度2双曲线的离心率 -b2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双 x2y2 例4 (1)(2019湖·南模拟)若双曲线2a 曲线的离心率为(D) (2)(2019广·东江门模拟)F1,F2是双曲线C的焦点,过点F1且与双曲线实轴垂直的直线与双曲线相交于点A,B,且△F2AB为正三角形,则双曲线的离心率e=(B) A.2B.3 C.2D.5 bb4 [解析] (1)由已知可得双曲线的渐近线方程为y=±bax,点(3,-4)在渐近线上,∴ba=34,又a2+b2=c2,∴c2=a2+196a2=295a2,∴e=ac=53,选D. (2)由△ABF2是正三角形,则在Rt△AF1F2中,有∠AF2F1=30°,∴|AF1|=21|AF2|. 又|AF2|-|AF1|=2a,∴|AF2|=4a,|AF1|=2a. 又|F1F2|=2c,在Rt△AF1F2中,|AF1|2+|F1F2|2=|AF2|2, 得到4a2+4c2=16a2,∴a2=3,∴e=a=3.故选B. 名师点拨? xa22-yb22=1(a>0,b>0)中,离 与双曲线的几何性质有关的问题 1.双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线心率e与双曲线的渐近线的斜率k=±ab满足关系式e2=1+k2. a,b,c的 2.求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 c 方程或不等式,利用b2=c2-a2和e=ca转化为关于e的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围. 变式训练2〕 x2 a2- (1)(角度1)(2019四·川绵阳联考)已知双曲线C yb2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±34 B. D. x,且其右焦点为(5,0),则双曲线C的方程为(x2y2 A.-=1 .916 22 xy C.-=1 C.3-4=1 ) x2-y2=1 169 22x2-y2=1431(a>0,b>0)上存在一点P满足以|OP|为边长 的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点),则双曲线的离心率的取值范围是(C) 57 A.(1,2]B.(1,2] 57 C.[25,+∞)D.[27,+∞)[解析] (1)由题意得ba=43,c2=a2+b2=25,所以a=4,b=3,所以所求双曲线的方程为1x6-y9=1. (2)由条件得|OP|2=2ab.又∵P为双曲线上一点, ∴|OP|≥a,∴2ab≥a2,∴2b≥a. 例5(2019·承德模拟)已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22,记动点P的轨迹为W. (1)求W的方程; (2)若A和B是W上的不同两点,O是坐标原点,求O→A·O→B的最小值. [解析] M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=2. 又焦距2c=4,所以虚半轴长b=c2-a2=2. x2y2所以W的方程为x2-y2=1(x≥2). (2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).当AB⊥x轴时,x1=x2,y1=-y2,从而O→A·O→B=x1x2+y1y2=x12-y12=2. 当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m(k≠±1,)与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0, 2 则x1+x2=,x1x2= 1-k2k2-1 2kmm2+2所以OA·OB=x1x2+y1y2 =x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2 1+k2m2+22k2m22 =2+2+m2 k2-11-k2 又因为x1x2>0,所以k2-1>0. 所以O→A·O→B>2. 综上所述,当AB⊥x轴时,O→A·O→B取得最小值2. 名师点拨? x或y 这时直线平行于 研究直线与双曲线位置关系问题的通法: 将直线方程与双曲线方程联立,消元得关于的一元二次方程.当二次项系数等于0时,直线与双曲线某支相交于一点,一条渐近线;当二次项系数不等于0时,用判别式Δ来判定.对于中点弦问题常用“点差法”,但需要检验. 〔变式训练3〕 x2 设双曲线C: 2-y2=1(a>0)与直线l: x+y=1相交于两个不同点A,B.a (1)求双曲线C的离心率e的取值范围; (2)设直线l与y轴的交点为P,且P→A=12P→B,求a的值. x2 [解析] (1)将y=-x+1代入双曲线a2-y2=1(a>0)中,得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0. 1-a2≠0, 所以解得00, →5→5 因为PA=12PB,所以(x1,y1-1)=12(x2,y2-1), x1x2=152x22 2a2, 1-a2 2a228917消去x2得-1-a2=60,由a>0,解得a=13. x2y2 (2)(角度2)(2019广·桂林模拟)若双曲线x2-y2=ab 由于x1,x2是方程(1-a2)x2+2a2x-2a2=0的两根, 且1-a2≠0,所以x1+x2=1127x2=-12-aa2,
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