第二章 一元二次方程 10课时.docx
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第二章 一元二次方程 10课时.docx
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第二章一元二次方程10课时
【临泽三中九年级数学备课组第二章一元二次方程】
第11课时【花边有多宽
(1)】
主备人:
张之旭三备人:
审查人:
教学目标:
1.理解一元二次方程的定义,会判断满足一元二次方程的条件.
2.体验与他人合作的重要性及数学活动中的探索和创造性.
教学重点:
一元二次方程的定义,一元二次方程的一般形式.
教学难点:
一元二次方程的模型的建立.
教学过程:
一、复习引入:
1.什么是方程?
什么样的方程是一元一次方程?
2.多项式2x2-3x+1是几次几项式?
每项的系数和次数分别是几?
二、自学探究:
理解一元二次方程的概念并会把一元二次方程化为一般形式.
阅读教材46-47页,回答:
1.如果设花边的宽为xm,那么地毯中央长方形图案的长为m,宽为m,根据题意,可得方程.
2.试再找出其他的五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和:
;
如果设五个连续整数中的第一个数为x,那么后面四个数依次可表示为、、、,根据题意可得方程:
.
3.根据图2-2,由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙m,如果设梯子底端滑动xm,那么滑动后梯子底端距墙m,梯子顶端距地面的垂直距离为m,依题意可得方程:
.
三、合作交流:
1.观察上述三个方程,它们的共同点为:
①;②;象这样的方程叫做。
其中我们把称为一元二次方程的一般形式,ax2,bx,c分别称为、、,a、b分别称为、.
2.分别把上述三个方程化为ax2+bx+c=0的形式并说明每个方程的二次项系数、一次项系数和常数项:
(1)
(2)
(3)
3.一元二次方程几种不同的表示形式:
①ax2+bx+c=0(a≠0,b≠0,c≠0)
【临泽三中九年级数学备课组第二章一元二次方程】
②ax2+bx=0(a≠0,b≠0,c=0)
③ax2+c=0(a≠0,b=0,c≠0)
④ax2=0(a≠0,b=0,c=0)
四、归纳总结:
1.通过本节课的学习你学到了哪些知识?
与同学交流一下.
2.通过本节课你认为什么地方学得好?
不足又是什么?
五、课堂练习:
1.判一判,下列方程哪些是一元二次方程?
(1)7x2-6x=0
(2)2x2-5xy+6y=0(3)2x2-1/3x-1=0(4)y2/2=0(5)x2+2x-3=1+x2(6)ax2+bx+c=0
2.判断下列方程是否为一元二次方程,如果是说明二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项:
(1)2x2+3x+5
(2)(x+5)(x+2)=x2+3x+1
(3)(2x-1)(3x+5)=-5(4)(3x+1)(x-2)=-5x
3.把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
4.在教材随堂练习1中:
如果设竹竿长为x尺,则门框长为______尺,宽为尺.列出的方程是.
5.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项:
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
3x2=5x-1
(x+2)(x-1)=6
4-7x2=0
六、拓展延伸:
1.关于x的方程(k-3)x2+2x-1=0,当k时,是一元二次方程.
2.关于x的方程(k2-1)x2+2(k-1)x+2k+2=0
当k时是一元二次方程;当k时是一元一次方程.
3.关于x的方程(k-
)x2+(m-3)x-1=0,是一元二次方程.则k
和m的取值范围分别为什么?
4.当m取何值时,方程(m-1)x∣m∣+I+2mx+3=0是关于x的一元二次方程?
七、作业布置:
习题2.1—1、2、3.
八、课后反思:
【临泽三中九年级数学备课组第二章一元二次方程】
第12课时【花边有多宽
(2)】
主备人:
张之旭三备人:
审查人:
教学目标:
1.经历方程解的探索过程,增进对方程解的认识.
2.能根据实际问题建立一元二次方程的数学模型.
教学重点:
探究一元二次方程的解或近似解,发展估算意识和能力.
教学难点:
用估算方法求一元二次方程的近似解.
教学过程:
一、复习引入:
1.一元二次方程的一般形式是怎样的?
2.把下列方程化成一般形式,并写出它的二次项、一次项、常数项:
(1)9x2-4x=5
(2)(x-7)(4x+3)=(x-1)2
3.什么是方程的解?
二、自学探究:
通过估算地毯花边的宽,理解探索方程解的过程.
根据上节课的学习,如果设地毯花边的宽xm,则可得方程(8―2x)(5―2x)=18,化为一般形式为:
__________________________.
你能求出x吗?
根据本题实际情况,思考下列问题:
(1)x可能小于0吗?
说说你的理由;___________________.
(2)x可能大于4吗?
可能大于2.5吗?
为什么?
.
(3)完成下表
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2―13x+11
(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?
还有其他求解方法吗?
三、合作交流:
阅读课本50页“做一做”,设梯子底端滑动的距离x(m)则得(x+6)2+72=102..化为一般形式为:
___________________________.
(1)小明认为底端也滑动了1米,他的说法正确吗?
简述你的观点.
(2)滑动距离可能是2米、3米吗?
为什么?
(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
(4)x的整数部分是几?
十分位是几?
填写下表:
x
0
0.5
1
1.5
2
x2+12x-15
所以______ 进一步计算: x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x-15 【临泽三中九年级数学备课组第二章一元二次方程】 所以______ 因此x的整数部分是______,十分位是______. 四、课堂小结: 1.本节学到了哪些知识? 与同学交流. 2.还有哪些疑惑? 五、课堂练习: 1.若x=2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8=0的一个解. 则m的值是( ) A.6B.5C.2D.﹣6 2.已知1是关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+1=0的一个根,则m的值是( ) A.1B.﹣1C.0D.无法确定 3.某学校计划在一块长8米,宽6米的矩形草坪的中央划出面积为16平方米的矩形地块栽花,使矩形四周的草地的宽度都一样,求四周草地的宽度应为多少? 设矩形四周留下草地的宽为x米,根据题意下列方程不正确的是() A.48-(16x+12x-4x2)=16B.16x+2x(6-2x)=32 C.(8-x)(6-x)=16D.(8-2x)(6-2x)=16 4.方程x2-2x-1=0的近似解是__________________.(结果精确到十分位) 5.已知x=1是关于x的方程x2-ax+1=0的根,化简: =______________. 6.已知 是一元二次方程 的一个根,则 的值为__________. 7.方程 的根是,方程 的根是. 8. 是实数,且 ,则 的值是. 六、拓展延伸: 1.一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必须在距水面5m以前完成规定的动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误。 假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距水面的高度h(m)满足关系: h=10+2.5t-5t2,那么他最多有多长时间完成规定的动作? 2.已知两个数的和为10,积为9,求这两个数。 七、作业布置: 习题2.2—1、2、3. 八、课后反思: 【临泽三中九年级数学备课组第二章一元二次方程】 第13课时【配方法 (1)】 主备人: 张之旭三备人: 审查人: 教学目标: 1.用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程. 2.理解配方法,会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. 3.会用转化的数学思想解决有关问题. 教学重点: 能够灵活运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. 教学难点: 如何利用等式的性质进行配方. 教学过程: 一、回顾类比: 1.若x2=4,则x=. 2.若(x+1)2=4,则x=. 3.若x2+2x+1=4,则x=. 4.若x2+2x=3,则x=. 二、合作交流: 1.填上适当的数,使下列等式成立: x2+12x+=(x+6)2; x2-4x+=(x-)2; x2+8x+=(x+)2. 2.根据上述变形,与同学交流并尝试解下列方程: x2=5,(x+2)2=5,x2+12x+36=5 三、自学探究: 理解配方法解一元二次方程的变形依据. 1.讨论: 能否将方程x2+12x-15=0转化成上面方程的形式而进一步求得方程的解? 2.示范: 解: 移项得x2+12x=15, 两边同时加上62得,x2+12x+62=15+36,即(x+6)2=51. 两边开平方,得x+6=± . 所以: . 3.范例强化: 例1解方程x2+8x-9=0 解: 可以把常数项移到方程的右边,得x2+8x=9 两边都加上42(一次项系数8的一半的平方),得 x2+8x+42=9+42. (x+4)2=25 【临泽三中九年级数学备课组第二章一元二次方程】 开平方,得x+4=±5, 即x+4=5,或x+4=-5. 所以x1=1,x2=-9. 4.小结: 在这里,解一元二次方程的基本思路是将方程转化成______________的形式,它的一边是__,另一边是,当时,两边便可以求出它的根,这种通过配成完全平方式进一步求得一元二次方程根的方法称为配方法. 四、课堂练习: 1.如果二次三项式x2-6x+m2是一个完全平方式,m的值是() A.9B.3C.-3D.±3 2.一元二次方程x2-16=0的解为() A.x=4B.x1=4,x2=-4C.x=-4D.x1=2,x2=-2 3.用配方法解下列方程,正确的是(). A.x2-2x-99=0,化为(x-1)2=98 B.x2-2x-99=0,化为(x+1)2=98 C.x2-5x–4=0,化为(x- )2= D.x2-5x–4=0,化为(x- )2= 4.解方程: 25(x+1)2-49=0. 5.解下列方程: ①x2-10x+25=7②x2+6x=1 6.解下列方程: (1)x2+12x+25=0 (2)x2+4x=10 (3)x2-6x=11 (4)x2-2x-4=0 (5)x2-4x-12=0 五、拓展延伸: 如图,在一块长和宽分别是16米和12米的长方形耕地上挖两条宽度相等的水渠,使剩余的耕地面积等于原来长方形面积的一半,试求水渠的宽度. 六、作业布置: 习题2.3—1、2、3. 七、课后反思: 【临泽三中九年级数学备课组第二章一元二次方程】 第14课时【配方法 (2)】 主备人: 张之旭三备人: 审查人: 教学目标: 1.能够熟练地、灵活的应用配方法解一元二次方程. 2.进一步体会转化的数学思想方法来解决实际问题. 3.培养观察能力运用所学旧知识解决新问题. 教学重点: 学会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程. 教学难点: 能利用一元二次方程解决有关的实际问题. 教学过程: 一、复习回顾: 1.将下列各式填上适当的项,配成完全平方式: 1)x2+2x+________=(x+______)2 2)x2-4x+________=(x-______)2 3)x2+________+36=(x+______)2 4)x2+10x+________=(x+______)2 5)x2-x+________=(x-______)2 2.用配方法解下列方程: (1)x2-6x-40=0 (2)x2-6x+7=0 (3)x2+4x+3=0(4)x2-8x+9=0 二、合作探究: 1.比较下列两个一元二次方程: 1)x2+6x+8=02)3x2+18x+24=0 探讨方程2的应如何去求解. 2.自学例题: 例2解方程3x2+8x-3=0 解: 方程两边都除以3,得 移项,得 配方,得 【临泽三中九年级数学备课组第二章一元二次方程】 3.应用提高: 一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(S)满足关系: h=15t-5t2,小球何时能达到10米的高度? 解: 根据题意得: 15t-5t2=10 方程两边都除以-5,得 t2-3t=-2 配方,得 三、课堂练习: 1.方程x2-12x=9964经配方后得(x-)2=. 2.当x=-1满足方程x2-2(a+1)2x-9=0时,a=. 3.关于x的一元二次方程(a+1)x2+3x+a2-3a-4=0的一个根为0,则a的值为() A.-1B.4C.-1或4D.1 4.不论x、y为什么实数,代数式x2+y2+2x-4y+7的值() A.总不小于2B.总不小于7 C.可为任何实数D.可能为负数 5.解下列方程: ①2x2+5x-3=0②3x2-4x-7=0③5x2-6x+1=0 四、拓宽延伸: 1.当x取何值时,代数式10-6x+x2有最小值,是几? 2.配方法证明y2-12y+42的值恒大于0. 五、作业布置: 习题2.4—1、2、3. 六、课后反思: 【临泽三中九年级数学备课组第二章一元二次方程】 第15课时【配方法(3)】 主备人: 张之旭三备人: 审查人: 教学目标: 1.用一元二次方程解决现实情景中的问题. 2.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性. 3.体会数学模型的应用价值,进一步提高学习数学的兴趣. 教学重点: 将实际问题转化成一元二次方程的数学模型. 教学难点: 一元二次方程的实际应用 教学过程: 一、复习回顾: 1.将方程 左边变成完全平方式后,方程是() A. B. C. D. 2.如果 是一元二次方程,则() A. B. C. D. 3.解下列方程: ①2x2+4x+8=0②3x2-5x-3=0 二、合作探究: 1.情境: 在一块长为16m,宽为12m的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半。 你觉得这个方案能实现吗? 若可以实现,你能给出具体的设计方案吗? 2.学习教材60—61页内容,了解小明、小亮的方案,尝试回答下列问题: ①你认为小明的结果对吗? 为什么? ②你能帮小亮求出图中x的吗? 3.尝试: ①解: 设小路的宽为xm,由题意得: (16-2x)(12-2x)=16×12× 整理,得: x -14x+24=0 x -14x+49=-24+49 (x-7) =25 x1=12,x2=2 ②解: 设扇形的半径为xm,由题意得: 【临泽三中九年级数学备课组第二章一元二次方程】 πx =16×12× πx =96 x=±≈±5、5 x1≈5.5,x2≈-5.5(舍去) 3.合作交流,探究其他设计方案. 4.展示后归纳整理: 三、课堂小结: 本节有哪些收获? 又有哪些困惑? 四、课堂练习: 1.对于本课中花园的设计问题,小颍的设计方案如图所示,你能帮她求出图中x的吗? 2.从一块正方形木块上锯掉2厘米宽的长方形木条,剩余部分的面积是48平方厘米,求这块正方形木板原来的面积. 五、作业布置: 习题2.5—1、2、3. 六、课后反思: 【临泽三中九年级数学备课组第二章一元二次方程】 第16课时【公式法】 主备人: 张之旭三备人: 审查人: 教学目标: 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程. 3.通过用公式解一元二次方程的训练,体验成功的喜悦,建立学好数学的信心. 教学重点: 用求根公式解简单数字系数的一元二次方程. 教学难点: 对求根公式推导过程的理解. 教学过程: 一、复习回顾: 1.利用配方法快速解下列两个方程(指名板演): ①x2+2x-35=0②5x2-15x-10=0 2.利用配方法解一元二次方程的关键是什么? 有哪些步骤? 二、学习探究: 1.公式推导: 利用配方法推导一元二次方程的求根公式. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).如何利用配方法求解? (1)自学教材64-65页内容. (2)分小组合作交流尝试. (3)明确规范: ①ax2+bx+c=0(a≠0)方程的两边同时除以a化二次项系数为1.可得到: . 2把上式中的常数项移项可得: . 3如果对上式进行配方,方程两边应加上什么式子,这个式子是怎样得到的? ④配方后可得: . 当b2-4ac≥0时. . ⑤结论: 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当时,它的根是: x=.式子称为求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. (4)例题解析: 例1利用公式法解方程x2-7x-18=0 分析: 此方程中哪些数字相当于ax2+bx+c=0(a≠0)中的a、b、c? 试写出解方程的完整过程(指名尝试板演). 【临泽三中九年级数学备课组第二章一元二次方程】 三、归纳总结: 利用公式法解方程的一般步骤: 1.把方程化为一般形式,进而确定a、b、c的值(注意符号). 2.求出b2-4ac的值,(先判别方程是否有根). 3.在b2-4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入求根公式,求出 的值,最后写出方程的根. 四、课堂练习: 1.判断下列方程是否有解(口答): (1)2x2+3=7x (2)x2-7x=18(3)3x2+2x+1=0 (4)9x2+6x+1=0(5)16x2+8x=3(6)2x2-9x+8=0 2.用公式法解下列方程: (1)x2+2x-35=0 (2)5x2-15x-10=0 (3)9x2+6x+1=0(4)16x2+8x=3 3.若 、 为方程 的两根,则: 的值是____________, 的值是_____________. 4.一元二次方程x2+kx-3=0的一个根是x=1,则另一个根是 () A.3B.-1C.-3D.-2 5.用公式法解下列方程: (1)2x2-4x-1=0; (2)5x+2=3x2; (3)(x-2)(3x-5) 五、学习收获: 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么? 2.用公式法解方程应注意的问题是什么? 3.用公式法解方程的步骤有哪些? 六、作业布置: 习题2.6—1、3. 七、课后反思: 【临泽三中九年级数学备课组第二章一元二次方程】 第17课时【分解因式法】 主备人: 张之旭三备人: 审查人: 教学目标: 1.会用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程. 2.体验解决问题的方法的多样性,灵活选择方程的解法. 3.在学习活动中获得成功的体验,建立学好数学的信心. 教学重点: 会用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程. 教学难点: 会用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程. 教学过程: 一、复习引入: 1.对下列各式分解因式: (1)5x2-4x (2)x-2-x2+2x 2.有两个数a、b,如果它们之间满足a•b=0,则a,b的值会是怎样? 链接: 如果ab=0,那么a=0或b=0,“或”是“二者中至少有一个成立”的意思,包括两种情况: 二者同时成立、二者有一个成立. 3.如果(x+2)(x-3)=0.那么x的值可能是多少? 二、合作探究: 1.阅读教材67—69页内容,讨论: 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗? 2.观察、比较、交流小颖、小明、小亮的做法,哪些是正确的? 谁的做法还不全面? 3.小颖解题的依据是,小亮又是如何做的? 由小亮的做法可以得到: 如果,那么 4明确: 当一元二次方程的一边为0,而另一边容易时,我们就可以采用的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法. 三、例题解析: 例1.利用分解因式法解方程: (1)5x2=4x (2)x-2=x(x-2) 1.分小组合作完成. 2.指名尝试板演. 3.学生讲解交流. 4.集体评价. 【临泽三中九年级数学备课组第二章一元二次方程】 四、课堂小结: 利用分解因式法解一元二次方程的一般步骤: (1)把方程整理使其右边化为0; (2)把方程左边分解成两个一次因式的乘积; (3)设每个因式分别等于零,得到两个一元一次方程; (4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解. 五、课堂练习: 1.一元二次方程x2–2x=0的解是() A.0B.0或2C.2D.此方程无实数解 2.方程x(x+3)=(x+3)的根为() A.x1=0,x2=3B.x1=0,x2=-3C.x=0D.x=-3 3.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程 的根,则该三角形的周长为() A.14B.12C.12或14D.以上都不对. 4.一元二次方程(m-1)x2+3mx+(m+4)(m-1)=0有一个根为0,求m的值. 5.已知函数 ,当 时, 求 的值. 6.一个数平方的两倍等于这个数的7倍,求这个数? 7.解下列方程: ①(x-2)(x+3)=0②x ③(x ⑤ ⑥ 六、作业布置: 习题2.7—1、2. 七、课后反思: 【临泽三中九年级数学备课组第二章一元二次方程】 第18课时【为什么是0.618 (1)】 主备人: 张之旭三备人: 审查人: 教学目标: 1.能分析具体问题中的数量关系,建立方程模型并能解决现实情景中的实际问题. 2.提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力. 3.认识方程是刻画现实世界的有效模型,增强数学应用意识. 教学重点: 寻找等量关系,将实际问题转化成一元二次方程的数学模型,并根据实际问题检验解的合理性. 教学难点: 建立方程模型. 教学过程: 一、复习回顾: 1.什么叫黄金分割? 黄金比是多少? 2.解方程: x2+x-1=0 3.列一元一次方程解应用题的步骤是什么? 二、学习探究: 1.验证黄金分割中黄金比. 自学教材71页内容,解答下列问题: 如图,如果 =
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