人教版九年级数学下册全册课时训练附解析.docx
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人教版九年级数学下册全册课时训练附解析
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
关键问答
①这个实际问题中的相等关系是什么?
②反比例函数的一般形式是什么?
③用待定系数法确定反比例函数的解析式,需要的条件是什么?
1.①某工厂现有原材料100吨,平均每天用去x吨,这批原材料能用y天,则y与x之间的函数解析式为( )
A.y=100x B.y=100x C.y=x2+100 D.y=100-x
2.②下列函数中,y是x的反比例函数的是( )
A.y=-x2 B.y=-12x C.y=1x-1 D.y=1x2
3.③已知反比例函数y=kx,当x=2时,y=-3,则k=________.
命题点1 用函数解析式表示实际问题中变量间的对应关系 [热度:
95%]
4.④已知甲、乙两地相距20千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车的行驶时间t(单位:
时)关于行驶速度v(单位:
千米/时)的函数解析式是( )
A.t=20v B.t=20v C.t=v20 D.t=10v
方法点拨
④利用“时间=路程速度”来构建函数解析式.
5.⑤在“2016年北京郁金香文化节”中,北京国际鲜花港的3×106株郁金香为京城增添了亮丽的色彩.若这些郁金香平均每平方米种植的数量为n株,总种植面积为S平方米,则n关于S的函数解析式为________.
易错警示
⑤求n关于S的函数解析式,即用含S的代数式表示n.
6.⑥把一个长、宽、高分别为3cm,2cm,1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块,则该圆柱体铜块的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数解析式为________.
解题突破
⑥
(1)长方体和圆柱体的体积公式分别是什么?
(2)铸造前后铜块的体积是否发生变化?
7.小明家离学校1.5km,小明步行上学需xmin,那么小明步行的平均速度y(m/min)可以表示为y=1500x;水平地面上重1500N的物体,与地面的接触面积为xm2,那么该物体对地面的压强y(N/m2)可以表示为y=1500x;…,函数解析式y=1500x还可以表示许多不同情境中变量之间的关系,请你再列举一例:
________________________________________________________________________
________________________________________.
命题点2 识别反比例函数 [热度:
98%]
8.⑦计划修建铁路l千米,铺轨天数为t(天),每日铺轨量为s(千米),则在下列三个结论中,正确的是( )
①当l一定时,t是s的反比例函数;
②当t一定时,l是s的反比例函数;
③当s一定时,l是t的反比例函数.
A.① B.② C.③ D.①②③
模型建立
⑦识别反比例函数的方法:
(1)看解析式是否满足y=kx(k为常数,k≠0)的形式;
(2)看两个变量的积是否确定.
9.设某矩形的面积为S,相邻的两条边长分别为x和y.那么当S一定时,给出以下四个结论:
①x是y的正比例函数;②y是x的正比例函数;③x是y的反比例函数;④y是x的反比例函数.其中正确的为( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
10.⑧若y是x的反比例函数,x是z的正比例函数,则y是z的________函数.
解题突破
⑧借助x这一中间量找到y与z的函数关系.
11.下列函数:
①y=2x-1;②y=-5x;③y=x2+8x-2;④y=3x3;⑤y=12x.其中y是x的反比例函数的有________.(填序号)
命题点3 确定函数解析式及其应用 [热度:
92%]
12.⑨根据下表中反比例函数的自变量x与函数y的对应值,可得p的值为( )
x -2 1
y 3 p
A.3 B.1 C.-2 D.-6
方法点拨
⑨反比例函数y=kx中的每对x,y的对应值的积都相等,都等于反比例函数的比例系数k.
13.⑩将x=23代入反比例函数y=-1x,所得函数值记为y1,又将x=y1+1代入原反比例函数,所得函数值记为y2,再将x=y2+1代入原反比例函数,所得函数值记为y3,…,如此继续下去,则y2019的值为( )
解题突破
⑩分别计算出y1,y2,y3,y4,…的值,你能发现函数值有什么规律吗?
14.已知y与x成反比例,当y=1时,x=4,则当x=2时,y=________.
15.⑪已知y-2与x成反比例,且当x=2时,y=4,求y与x之间的函数解析式.
方法点拨
⑪先利用待定系数法求出y-2与x之间的函数解析式,进而写出y与x之间的函数解析式.
16.⑫已知y=y1+y2,其中y1与x成反比例,y2与x-2成正比例.当x=1时,y=-1;当x=3时,y=3.
求:
(1)y与x之间的函数解析式;
(2)当x=-1时,y的值.
易错警示
⑫同一函数解析式中,两个不同的比例系数要用不同的字母表示.A.-23 B.2 C.-13 D.-32
命题点4 利用反比例函数的定义求未知字母的值 [热度:
92%]
17.若函数y=kxk2-3是反比例函数,则k的值是( )
A.-1 B.2 C.±2 D.±2
18.⑬若y=(m-1)x|m|-2是反比例函数,则m的值为( )
A.2 B.-1 C.1 D.0
易错警示
⑬不要忽视反比例函数解析式中比例系数k≠0这一隐含条件.
19.⑭已知函数y=(m-1)xm2+2m-4是反比例函数,则m的值为________.
模型建立
⑭对于形如y=axb的函数,若它是反比例函数,则需满足a≠0,b=-1;反之,若a≠0,b=-1,则它是反比例函数.
20.已知函数y=(2m2+m-1)x2m2+3m-3是反比例函数.
(1)求m的值;
(2)当函数值为4时,求对应的自变量的值.
21.⑮已知函数y=(m2+2m)xm2+m-1.
(1)当m为何值时,y是x的正比例函数?
(2)当m为何值时,y是x的二次函数?
(3)当m为何值时,y是x的反比例函数?
解题突破
⑮若函数为正比例函数,则自变量的指数是多少?
对自变量的系数有没有限制?
若函数为二次函数呢?
若函数为反比例函数呢?
详解详析
1.B [解析]由“平均每天用去的吨数×能用的天数=100吨”可得y=100x.
2.B [解析]形如y=kx(k≠0)的函数是反比例函数,只有选项B符合.
3.-6 [解析]由题意,得-3=k2,解得k=-6.
4.B [解析]依据“时间=路程速度”可得t=20v.
5.n=3×106S [解析]根据“每平方米种植的数量×总种植面积=3×106株”可得答案.
6.S=6h [解析]长方体铜块的体积为3×2×1=6(cm3),则铸成的圆柱体铜块的体积为6cm3,所以Sh=6,所以S=6h.
7.体积为1500cm3的圆柱的底面积为xcm2,那么该圆柱的高y(cm)可以表示为y=1500x(答案不唯一,其他例子正确均可)
8.A [解析]依题意,得l=ts,所以当l一定时,t是s的反比例函数.
9.C [解析]由题意得S=xy,所以x=Sy,y=Sx,所以当S一定时,x是y的反比例函数,y是x的反比例函数.
10.反比例 [解析]由题意可设y=k1x(k1是常数,k1≠0),x=k2z(k2是常数,k2≠0),所以有y=k1k2z,所以y是z的反比例函数.
11.②⑤ [解析]符合y=kx(k≠0)的形式的只有y=-5x和y=12x.
12.D [解析]设反比例函数的解析式为y=kx(k≠0),则有k=2×(-3)=1×p,解之得p=-6.
13.C [解析]由题意得y1=-32,y2=2,y3=-13,y4=-32,…,能看出函数值每三次一循环.因为2019÷3=673,所以y2019=y3=-13.
14.2 [解析]设y=kx(k≠0).因为当y=1时,x=4,所以k=2,所以当x=2时,y=22=2.
15.解:
设y-2=kx(k≠0),因为当x=2时,y=4,所以4-2=k2,解得k=4,所以y-2=4x,所以y=2+4x.
16.解:
(1)设y1=k1x(k1≠0),y2=k2(x-2)(k2≠0),所以y=k1x+k2(x-2).
因为当x=1时,y=-1;当x=3时,y=3,
所以-1=k1+k2×(-1),3=k13+k2,解得k1=32,k2=52,
所以y=32x+52(x-2).
(2)当x=-1时,y=32×(-1)+52×(-1-2)=-9.
17.D [解析]由题意可得k2-3=-1,解得k=±2.
18.B [解析]由题意可得|m|-2=-1,解得m=±1.因为m-1≠0,所以m≠1,所以m=-1.
19.-3 [解析]由题意得m2+2m-4=-1,且m-1≠0,解得m=-3.
20.解:
(1)当2m2+3m-3=-1,且2m2+m-1≠0时,函数y=(2m2+m-1)x2m2+3m-3是反比例函数.由2m2+3m-3=-1,可解得m1=-2,m2=12,而当m2=12时,2m2+m-1=0,所以当函数y=(2m2+m-1)x2m2+3m-3是反比例函数时,m的值为-2.
(2)当m的值为-2时,反比例函数为y=5x,
当函数值为4时,4=5x,所以x=54.
21.解:
(1)根据题意,得m2+m-1=1,m2+2m≠0,解得m=1,
即当m=1时,y是x的正比例函数.
(2)根据题意,得m2+m-1=2,m2+2m≠0,解得m1=-1+132,m2=-1-132,
即当m=-1+132或m=-1-132时,y是x的二次函数.
(3)根据题意,得m2+m-1=-1,m2+2m≠0,解得m=-1,
即当m=-1时,y是x的反比例函数.
【关键问答】
①平均每天用去的吨数×天数=总吨数.
②y=kx(k为常数,k≠0).
③需要自变量和函数的一对对应值.
27.1 图形的相似
关键问答
①判断图形是否相似的主要方法是什么?
②对于形状相同的两个图形,从数学角度怎么做阐述?
③判断四条线段是否成比例的方法是什么?
④由相似多边形的定义可以推出什么?
1.①下列图形中相似的有( )
(1)放大镜下的图片与原来的图片;
(2)放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象;(3)天空中两朵白云的照片;(4)卫星上拍摄的长城照片与用相机拍摄的长城照片.
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
2.②如果两个相似多边形的一组对应边的长分别为3cm,4.5cm,那么它们的相似比为( )
A.23 B.32 C.49 D.94
3.③下列各组中的四条线段成比例的是( )
A.a=1,b=3,c=2,d=4 B.a=4,b=6,c=5,d=10
C.a=5,b=10,c=7,d=14 D.a=2,b=3,c=4,d=1
4.④如图27-1-1所示,四边形ABCD和四边形A′B′C′D′相似,求未知边x的长度和未知角α的度数.
图27-1-1
命题点1 图形相似的判断 [热度:
98%]
5.下面各组图形中,不是相似图形的是( )
图27-1-2
6.⑤观察图27-1-3中的图形,指出图
(1)~(8)中的图形有没有与给出的图形(a)(b)(c)形状相同的?
图27-1-3
方法点拨
⑤可考虑图形之间的水平长与竖直宽是否同时扩大或缩小.
命题点2 识别成比例线段 [热度:
90%]
7.下列长度的线段成比例的是( )
A.2cm,5cm,6cm,8cm B.1cm,2cm,3cm,4cm
C.3cm,6cm,7cm,9cm D.3cm,6cm,9cm,18cm
8.⑥若线段a,b,c,d成比例,其中a=3cm,b=6cm,c=2cm,则d=________cm.
解题突破
⑥若线段a,b,c,d成比例,则有ab=cd.
9.⑦已知三条线段a=1cm,b=2cm,c=3cm,若第四条线段与它们成比例,则这样的线段共有几条?
它们分别为多长?
易错警示
⑦在没有明确成比例线段的顺序时,需分情况进行讨论.
命题点3 比例尺 [热度:
90%]
10.在比例尺为1∶5000的地图上,量得甲、乙两地的距离为25cm,则甲、乙两地的实际距离是( )
A.1250km B.125km C.12.5km D.1.25km
11.⑧如图27-1-4是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印,则他的跳远成绩约是________m(比例尺为1∶300).
图27-1-4
解题突破
⑧跳远成绩指落地时身体距起跳线最近的落点到起跳线的垂线段的长.
命题点4 识别相似多边形 [热度:
92%]
12.下列图形中一定相似的是( )
A.有一个角相等的两个平行四边形
B.有一个角相等的两个等腰三角形
C.有一个角相等的两个菱形
D.有一组邻边对应成比例的两个平行四边形
13.⑨如图27-1-5,矩形ABCD的长AB=30,宽BC=20.
(1)如图①,若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域,图中所形成的两个矩形,即矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似吗?
请说明理由;
(2)如图②,当x为多少时,图中的矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似?
图27-1-5
方法点拨
⑨判定相似多边形的条件是对应角相等,对应边成比例,欲说明两个多边形不相似,只需说明对应边不成比例或对应角不相等即可.
命题点5 相似多边形的性质 [热度:
95%]
14.如图27-1-6,已知六边形ABCDEF与六边形GHIJKL相似,点A,B,C,D,E,F的对应点分别是点G,H,I,J,K,L.若它们的相似比为2∶1,则下列结论中正确的是( )
图27-1-6
A.∠E=2∠K B.∠K=2∠E
C.BC=2HI D.六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长
15.如图27-1-7,在矩形ABCD中,AB=2,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠,使点B落在AD上的点F处.若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD的长为( )
图27-1-7
A.5 B.1+5 C.4 D.23
16.如图27-1-8,E是菱形ABCD的对角线CA的延长线上任意一点,以线段AE为边作一个菱形AEFG,且菱形AEFG∽菱形ABCD,连接EB,GD.
(1)求证:
EB=GD;
方法点拨
⑩添加辅助线,构造直角三角形,利用勾股定理求解.⑩
(2)若∠DAB=60°,AB=2,AG=3,求GD的长.
图27-1-8
17.平面图形相似的概念可以推广到空间立体图形.例如:
任意两个球体都是相似的;任意两个正方体都是相似的.立体相似图形也有与平面相似图形相类似的性质.
(1)猜想性质:
棱长为1的正方体的体积V1=1,棱长为2的正方体的体积V2=8,棱长为3的正方体的体积V3=27,…,可得V1V2=18=(12)3,V1V3=127=(13)3,V2V3=827=(23)3,…,由此猜想立体相似图形具有下列性质:
立体相似图形的体积之比等于对应线段之比的________;
解题突破
⑪买哪种鱼合算可以转化成比较单位体积的鱼的价格大小.⑪
(2)问题解决:
星期天,小强帮妈妈去超市买鱼,正赶上超市促销.超市里有一种“竹荚鱼”都长得非常相似,按大小有两种不同的价钱,如图27-1-9所示,鱼长10cm的每条10元,鱼长13cm的每条15元.买哪种鱼合算呢?
图27-1-9
详解详析
1.C 2.A 3.C
4.解:
由题意,得1612=24x,解得x=18.
∵∠C′=360°-(63°+129°+78°)=90°,
四边形ABCD和四边形A′B′C′D′相似,
∴∠C=∠C′=90°,即α=90°.
5.B
6.解:
(a)与(4)(8);(b)与(6);(c)与(5)形状相同.
7.D [解析]A项中,25≠68;B项中,12≠34;C项中,36≠79;D项中,36=918=12,所以选项D中的四条线段成比例.故选D.
8.4 [解析]由线段a,b,c,d成比例,可得ab=cd,即36=2d,解得d=4(cm).
9.解:
设第四条线段的长是xcm.
当x≥3时,有12=3x,解得x=6;
当2≤x<3时,有12=x3,解得x=32(不符合要求,舍去);
当1≤x<2时,有1x=23,解得x=32;
当x<1时,有x1=23,解得x=23.
所以这样的线段共有3条,它们的长分别为6cm,32cm和23cm.
10.D [解析]设甲、乙两地的实际距离为xkm,有15000=0.00025x,解之得x=1.25.
11.4.5 [解析]1.5×300=450(cm)=4.5m.
12.C [解析]由菱形的四条边都相等,结合已知条件可得有一个角相等的两个菱形是相似的.
13.解:
(1)不相似.理由:
由题意得AB=30,A′B′=28,BC=20,B′C′=18,而2830≠1820,故矩形ABCD与矩形A′B′C′D′不相似.
(2)若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似,则A′B′AB=B′C′BC或A′B′BC=B′C′AB,即30-2x30=20-220或30-2x20=20-230,解得x=1.5或x=9.
14.C [解析]根据相似多边形的对应角相等可得A,B错误.根据相似多边形对应边的比等于相似比可得C正确.根据相似多边形的对应边的比等于相似比,可知周长比也等于相似比,D选项也是错误的.
15.B [解析]∵沿AE将△ABE向上折叠,使点B落在AD上的点F处,∴四边形ABEF是正方形.
已知AB=2,设AD=x,则FD=x-2,EF=2.
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似,
∴EFFD=ADAB,即2x-2=x2,
解得x1=1+5,x2=1-5(舍去),
经检验,x1=1+5是原方程的解且符合题意.
∴AD的长为1+5.
16.解:
(1)证明:
∵菱形AEFG∽菱形ABCD,
∴∠EAG=∠BAD,
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB,
即∠EAB=∠GAD.
∵四边形AEFG与四边形ABCD都是菱形,
∴AE=AG,AB=AD,
∴△AEB≌△AGD,∴EB=GD.
(2)如图,连接BD交AC于点P,则BP⊥AC.
∵∠DAB=60°,
∴∠PAB=30°,
∴BP=12AB=1,AP=AB2-BP2=3.
∵AE=AG=3,∴EP=23,
∴EB=EP2+BP2=13,
∴GD=13.
17.解:
(1)立方
(2)设长度为13cm和10cm的鱼的体积分别是V1cm3,V2cm3.
∵两种鱼相似,∴V1V2=(1310)3=2.197.
∵101>152.197,∴购买13cm长的鱼更合算.
【关键问答】
①主要看图形的形状是否相同,即将一个图形放大或缩小后得到的图形和原图形是相似的.
②形状相同的两个图形,指的是对应角相等,对应边成比例的两个图形,即相似的两个图形.
③答案不唯一,如:
将四条线段中长度最小的与最大的相乘,另外两条相乘,看它们的积是否相等,若相等,则是成比例线段,若不相等,则不是成比例线段.
④相似多边形的对应角相等,对应边成比例.
28.1 锐角三角函数
第1课时 正弦
关键问答
①在直角三角形中,一个锐角的正弦是哪两条边的比?
若三角形的三边都扩大为原来的k倍(或缩小为原来的1k),则这个比值会发生变化吗?
②求锐角正弦值的方法是什么?
1.①在Rt△ABC中,∠C=90°,如果各边的长度都扩大为原来的2倍,那么锐角A的正弦值( )
A.扩大为原来的2倍 B.缩小为原来的12
C.不变 D.扩大为原来的4倍
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,则sinA的值为( )
A.45 B.35 C.34 D.43
3.②如图28-1-1所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinB的值为( )
图28-1-1
A.12 B.22
C.32 D.1
命题点1 利用正弦函数的定义求值 [热度:
97%]
4.③如图28-1-2,已知∠α的一边在x轴上,另一边经过点A(2,4),顶点为B(-1,0),则sinα的值是( )
图28-1-2
A.25 B.55 C.35 D.45
解题突破
③点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值.
5.④对于锐角α,sinα的值不可能为( )
A.22 B.33 C.25 D.2
易错警示
④锐角α的正弦值的范围可以通过定义,由直角三角形三边的大小关系来确定.
6.⑤如图28-1-3,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠A≠45°,则下列比值中不等于sinA的是( )
图28-1-3
A.CDAC B.BDCB C.CBAB D.CDCB
方法点拨
⑤求锐角的正弦值还可以用等角代换的方法
7.⑥如图28-1-4,△ABC的顶点都是正方形网格的格点,则sinA的值为( )
图28-1-4
A.2 B.12 C.23 D.55
方法点拨
⑥在网格图中求锐角的正弦值时,先看所求角所在的格点三角形是不是直角三角形,若不是,则需要作出包含所求角的直角三角形.
8.⑦如图28-1-5,△ABC的各个顶点都在正方形网格的格点上,则sinA的值为( )
图28-1-5
A.55 B.255 C.225 D.105
方法点拨
⑦求格点三角形某条边上的高常用的方法是等积法.
9.⑧如图28-1-6,已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,那么sinα的值为( )
图28-1-6
A.12 B.55 C.52 D.255
解题突破
⑧过点D作这一组平行线的垂线,利用全等的知识把已知条件集中到同一个直角三角形中,进而利用正弦的定义求值.
10.已知AE,CF是锐角三角形ABC的两条高,若AE∶CF=3∶2,则sin∠BAC∶sin∠ACB的结果是( )
A.3∶2 B.2∶3 C.9∶4 D.4∶9
11.⑨在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的角平分线,将△BCD沿着直线BD折叠,点C落在点C1处,如果AB=5,AC=4,那么sin∠ADC1的值是________.
方法点拨
⑨求锐角的正弦值,需要构造这个角所在的直角三角形,或者将其转移到某个直角三角形中.
12.如图28-1-7,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,3)和点B(7,0),则sin∠ABO的值为________.
图28-1-7
13.⑩如图28-1-8,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,E为AB上一点,且AE∶EB=4∶1,EF⊥AC于点F,连接FB,则sin∠BFC的值为________.
图28-1-8
方
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