《数值分析简明教程》第二版王能超编著课后习题答案高等教育出版社.docx
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《数值分析简明教程》第二版王能超编著课后习题答案高等教育出版社
0.1算法
1、(p.11,题1)用二分法求方程x3x10在[1,2]内的近似根,要求误差不
超过10-3.
【解】
由二分法的误差估计式|xxk|
iba
k1
1
k1
103,得到
2傀
2k1
2k11000.
•两端取自然对数得k3ln101
8.96,
因此取k
9,即至少需
ln2
二分9次.求解过程见下表。
k
ak
bk
Xk
f(xQ符号
0
1
2
1.5
+
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2、(p.11,题2)证明方程f(x)ex10x2在区间[0,1]内有唯一个实根;使用
二分法求这一实根,要求误差不超过-102。
2
【解】由于f(x)ex10x2,则f(x)在区间[0,1]上连续,且
f(0)e0100210,f
(1)e11012e80,即卩f(0)f
(1)0,
由连续函数的介值定理知,f(x)在区间[0,1]上至少有一个零点.
又f'(x)ex100,即f(x)在区间[0,1]上是单调的,故f(x)在区间[0,1]内
有唯一实根.
由二分法的误差估计式|x*Xk|齐十j102,得到2k100.
两端取自然对数得k如023.32196.6438,因此取k7,即至少需二分
In2
7次.求解过程见下表。
k
ak
bk
Xk
f(Xk)符号
0
0
1
0.5
1
2
3
4
5
6
7
0.2误差
1.(p.12,题8)已知e=2.71828…;试问其近似值
X12.7,x22.71,X2=2.71,X32.718
各有几位有效数字?
并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字:
因为|e
X11
0.01828
因为|e
X21
0.00828
因为|e
X31
0.00028
|e
X11
0.05
r1
X1
2.7
|e
X2|
0.05
r2
X2
2.71
|e
X3|
0.0005
r3
X3
2.718
1.85%;
1.85%;
0.0184%。
0.0005
2
0.05-
2
1
0.05-
2
10
1
,所以X12.7有两位有效数字;
1
10,所以X22.71亦有两位有效数字;
103,所以X32.718有四位有效数字;
评
(1)
经四舍五入得到的近似数,其所有数字均为有效数字;
(2)
近似数的所有数字并非都是有效数字
2.(p.12,
题9)设x12.72,x22.71828,x3
0.0718均为经过四舍五入得出的近
似值,试指明它们的绝对误差
(限)与相对误差(限)。
【解】1
0.005,r1
X1
遊1.8410
2.72
0.000005;
r2
X2
0.000005
1.84
2.71828
106;
0.00005;
r3
X3
皿56.96104;
0.0718
评经四舍五入得到的近似数,其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位
3.(p.12,题10)已知x11.42,x20.0184,x3184104的绝对误差限均为
2
0.510,问它们各有几位有效数字?
【解】由绝对误差限均为0.5102知有效数字应从小数点后两位算起,故X,1.42,有
三位;x20.0184有一位;而x31841040.0184,也是有一位。
1.1泰勒插值和拉格朗日插值
1、(p.54,习题1)求作f(x)sinx在节点X00的5次泰勒插值多项式p5(x),并计算
P5(0.3367)和估计插值误差,最后将P5(0.5)有效数值与精确解进行比较。
【解】由f(x)f⑷(x)sinx
sinx,求得f⑴(x)
f(5)(x)cosx;f(6)(x)
cosx;
(6)/
P5(X)
f(x。
)
⑴(X°)(XX0)
:
;f⑵(x)sinx;sinx,所以
f⑺(x°)
f(3)(x)cosx;
f(0)f
(1)(0)x
2!
f
(2)(0)2
x
2!
(xx。
)2
f⑸(X。
)
5!
(x
\5
X。
)
5!
插值误差:
R5(x)
1315
—X—X3!
5!
\严()\
6!
(xX0)6
|sin(
p5(0.3367)
R5(0.3367)
3
0.336730.3367
3!
0.33676
2.02
)\
6!
5
0.3367
5!
(XX0)6
1
x
6!
6
,右X
0.5,
0.3303742887,而
6!
故取p5(0.3367)0.33037,与精确值
较,在插值误差的精度内完全吻合!
100.5
f(0.3367)
5
10,精度到小数点后
5位,
sin(0.3367)0.330374191
相比
2、(p.55,题12)给定节点X01,X11,X2
3,X3
4,试分别对下列函数导出拉格朗
日余项:
(1)f(x)
4x3
3x2;
(2)f(x)
4X
2x3
【解】依题意,
n
3,拉格朗日余项公式为
R3(X)
f(4")3
(xXi)
4!
i0
(1)f(4)(x)
0
TR3(x)0;
(2)因为f⑷(X)
4!
,所以
R3(X)
4!
)(x1)(x1)(x3)(x4)
(x1)(x1)(x3)(x4)
i
0
1
2
Xi
0.32
0.34
0.36
sin(xi)
0.314567
0.333487
0.352274
3、(p.55,题13)依据下列数据表,试用线性插值和抛物线插值分别计算sin(0.3367)的近
似值并估计误差。
(4)()3
【解】依题意,n3,拉格朗日余项公式为R3(x)
(1)线性插值
4!
(x
i0
Xi)
因为x0.3367在节点X。
和X1之间,先估计误差
R(x)
f''()(x
2!
Xo)(XXj
sin()
2
max(xx0)(x1x)
(xX°)(X1x)'0八1丿
R(x)
R(x)
0.012
2
XX1
X0X1
104;须保留到小数点后4为,计算过程多余两位。
ty
(X1-Xo)2/4
/\y=(X-Xo)(X-X1)
X
X1
sin(X。
)
XX0
sin(xj
X1X0
1
(xx0)sin(xj(x1x)sin(x0)
X1X0
1
(0.33670.02
1
—0.0167
0.02
0.32)sin(0.34)
(0.340.3367)sin(0.32)
sin(0.34)0.0033sin(0.32)
0.3304
(2)抛物线插值插值误差:
Rz(x)
f'''(
3!
(xXo)(xXi)(Xx2)
cos()
(xxo)(Xix)(xX2)
6
max(xx0)(x1x)(x2x)
30.013
6
10
yy=(x-xo)(x-xi)(x-x2)
Max=3(xi-Xo)3/8
X0XiX2
抛物线插值公式为:
P2(X)
(XXi)(XX2)
(X0Xi)(X0
X2)
sin(x°)
(xx°)(xX2)
(XiX°)(XiX2)
(xxj(xx°)
(X2Xi)(X2X0)
1
0.022
(XiX)(X2x)
sin(x°)
(xX°)(X2
x)sin(xj
(Xix)(xX0)
sin(x2)
P2(0.3367)
卫43.8445
0.022
sin(0.32)38.9ii
sin(0.34)
2.7555sin(0.36)
笙3.8445
0.02
sin(0.32)38.911
sin(0.34)
2.7555sin(0.36)0.33037439
经四舍五入后得:
P2(0.3367)0.330374,与sin(0.3367)0.330374191精确值相比较,在插值误差范围内完全吻合!
1.3分段插值与样条函数
1、(p.56,习题33)设分段多项式S(x)
2x3bx2
cx1
b,c的值.
是以0,1,2为节点的三次样条函数,试确定系数
【解】依题意,要求S(x)在x=1节点
函数值连续:
S
(1)
1312
即:
b
c1
(1)
一阶导数连续:
S'
(1)
312
即:
2b
c
1
(2)
解方程组
(1)和(
V,得
b2,
3
2
X
X
S(x)
—2
2x3
2x
3x1
由于S"
(1)
32
12
62
导数亦连续。
213
b12
c11
S
(1),
216
122
b1c
s'
(1),
c
3,即
0
x1
1
x2
122
S"
(1),
所以S(x)
在x=1节点的二阶
1
2、已知函数y2的一组数据,X。
0,Xi1,x22和y1,yi0.5,y20.2,
1x
(1)求其分段线性插值函数;
(2)计算f(1.5)的近似值,并根据余项表达式估计误差。
【解】
(1)依题意,将
x分为[0,1]和[1,2]
两段,对应的插值函数为
Sdx)和S2(x),利用
拉格朗日线性插值公式,求得
S1(x)丄旦y。
X。
洛
x
X1
X。
y1
X。
□10.5
0110
0.5x1;
S2(x)丄虽力
X1X2
X
X2
X1
X1
y2
0.5
0.2
0.3x0.8
(2)f(1.5)
1
11.52
0.30769230769,而S2(1.5)
0.31.50.80.35,
实际误差为:
|f(1.5)S2(1.5)|0.04230.05。
由f
(1)(x)
2x
(1
f⑵(x)
2(13x2)
2、3(1X)
f(3)(x)
24x(1x2)
2、4(1X)
知M2f
(2)
(1)0.5,则余项表达式
R(x)
If
(2)(
2!
〃|(x1)(x2)|
M2
2!
0.52
0.54
0.06250.5
1.4曲线拟合
1、(p.57,习题35)用最小二乘法解下列超定方程组:
2x4y11
3x5y3
x2y6
2xy7
【解】构造残差平方和函数如下:
2222
Q(x,y)(2x4y11)(3x5y3)(x2y6)(2xy7),
分别就Q对x和y求偏导数,并令其为零:
2、(p.57,习题37)用最小二乘法求形如y
abx2的多项式,使之与下列数据相拟合。
【解】令X
bX为线性拟合,
根据公式
(p.39,
公式43),取m=2,a仁0,
Q(x,y)
0:
6xy17
(1),
x
Q(x,y)
0:
3x46y48
(2),
y
解方程组(
1)和
(2),得
461748
648317
x
3.04029,y
1.24176
273273
N=5,求得
5a
Xi
5
Xi
5
bXi2
i1
aXi
i1
5
5ab
i1
5
bxi
i1
2
Xi
5
yi
i1
Xiyi
(1)
2
Xiyi
x
Xi(=xi2)
Xi2(=xi4)
Xiyi(=xi2yi)
19
19
361
130321
6859
25
32.3
625
390625
20187.5
31
49
961
923521
47089
38
73.3
1444
2085136
105845.2
44
97.8
1936
3748096
189340.8
157
271.4
5327
7277699
369321.5
i1
i1
i1
依据上式中的求和项,列出下表
将所求得的系数代入方程组
(1)和
(2),得
5a05327b271.4
(1)
5327a072776993369321.5
(2)
271.47277699369321.553277791878.1
a0.97258;
57277699532753278011566
u5369321.55327271.4400859.7
b0.05004;
57277699532753278011566
2
即:
y0.972580.05004x。
2.1机械求积和插值求积
确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明求积公
⑴
hf(x)dx
A°f(h)
(A1f(0)
Af(h);
1
1
1
3
⑵
0f(x)dx
A0f(4)
A1f
(2)
A2f(-);
4
⑶
1
0f(x)dx
1f(0)
4
A0f(x°)。
C1)令f(x)1,x,
x2时等式精确成立,可列出如下方程组:
1、(p.94,习题3)式所具有的代数精度:
h
【解】
A0A,A,2h
0
2h
3
4h,
3验证,对f(x)x3公式亦成立,而对
1,x,x2时等式精确成立,可列出如下方程组:
(1)
(2)
(3)
.…1
A0A2
(1)
⑵
解得:
h.
A0A2,A1
3
3
(2)令f(x)
A0
A0
3A0
2
A1A21
2A1
12A1
即:
f(x)
h
f(x)dx[f(h)
3
x4不成立,故公式(
4f(0)f(h)],可以
1)具有3次代数精度。
验证,对
解得:
A0A2,A1
3
f(x)x3公式亦成立,
3A22
27A2
13,
而对
即:
即:
f(x)
16
f(x)
(3)令f(x)1,x时等式精确成立,
11
0f(x)dx4f(0)
x3不成立,故公式(3)
11f(x)dx匚[2f(;)
4
故公式(
3
4
2
3
3
x4不成立,
可解得:
32
—f(―),可以验证,对
43
具有2次代数精度。
1
X。
,X1
4
求积公式,并指明该求积公式的代数精度。
【解】依题意,先求插值求积系数:
2、(p.95,习题6)给定求积节点
13dx
0x°为
3
1x-
4dx
013
44
Xo
f(x)
x2
试构造计算积分
4
2(1x2
2
3、
;x)
13
f()2f()],可以
24
2)具有3次代数精度。
公式亦成立,而对
1
°f(x)dx的插值型
Xo
1
1X4
4dx
1
4
z12
(2x
1x)
插值求积公式:
1
0f(x)dx
Akf(xk)
k0
f(4)
f®
①当
f(x)
1
左边=0f(x)dx
1.右边=-
2
1;左=右;
②当
f(x)
1
左边=of(x)dx
右边=2
i.左=右;
③当
f(x)
1
左边=of(x)dx
故该插值求积公式具有一次代数精度。
2.2梯形公式和Simpson公式
X
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
f(x)
1.00000
1.65534
1.55152
1.06666
0.72159
exsin4x的数据表,
1、(p.95,习题9)设已给出f(x)1
分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分
I
【解】
1
0f(x)dx的近似值。
(1)用复化梯形法:
0,b1,n5,h-—-
n
1
4
h
-[f(a)
2
0.25
T5
T5
n1h
-[f(Xk)f(Xk1)]
k02
也{f(0.00)2[f(0.25)
2
0.125[1.000002(1.65534
1.28358
(2)用复化辛普生法:
0,b1,n2,h
n
1
f(Xk)f(b)]
1
f(0.50)
1.55152
f(0.75)]f(1.00)}
1.06666)0.72159]
S2
S2
S2
2°.5
n1h
h【f(xQ4f(x1)k06k二
0.5
{f(0.00)4[f(0.25)
f(Xk
J]加(a)
6
f(0.75)]2
[1.0000010.8883.103040.72159]
n
4f(x
k
f(0.50)
1.30939
丄)
2
1
f(Xk)f(b)]
1
f(1.00)}
1
10
2、(p.95,习题10)设用复化梯形法计算积分|exdx,为使截断误差不超过
0
问应当划分区间【0,1】为多少等分?
如果改用复化辛普生法呢?
【解】
(1)用复化梯形法
a0,b1,f(x)
f'(x)f''(x)
ex,设需划分n等分,
则其截断误差表达式为:
IRt||I
Tn
(ba)3
12n2
maxf''(
依题意,要求IRt|
10
5,即
e1
12n22
10
e105
6
212.849,
可取n
213。
(2)用复化辛普生法
0,b1,f(x)
f'(x)
f''''(x)
ex,截断误差表达式
为:
|Rs||I
Sn|
(ba)5
4
180(2n)
maxf''''(
288影
(1
e
2880n4;
依题意,要求|Rs|
-105,即
2
e
2880n4
11。
5
e105
1440
3.70666,可取
n4,划分8等分。
2.3数值微分
1、(p.96,习题24)导出三点公式(51)、(52)和(53)的余项表达式
1
f'(x0)[3f(x。
)4f(X1)f(X2)](51)
2h
1
f'(X1)[f(x。
)f(X2)](52)
2h
1
f'(X2)[f(xo)4f(xJ3f(X2)](53)
2h
【解】如果只求节点上的导数值,利用插值型求导公式得到的余项表达式为
f(n1)()n
R(xQf'(Xk)p'(Xk)--(XkXj)
(n1)!
j0
jk
由三点公式(51)、(52)和(53)可知,n2,hx1x0x2x1,贝U
f"21"。
)J、f'''(0)f'''(0)d
R(X0)0(X0Xj)-(X0X1)(X°X2)-h
(21)!
j13!
3
R(xJ
(2
1)!
j0
j1
:
(2
°
(2)
2
(
(2
1)!
j0
j2
设已给出
f(X)
2
R(X2)
Xj)
2
2、(p.96,习题
1
(21)
(1)
Xj)
f'气1)
3!
(XiXo)(XiX2)
f'''
(2)
3^(X2x°)(X2X1)
3!
X
1.0
1.1
1.2
f(x)
0.2500
0.2268
0.2066
25)
2的数据表,
试用三点公式计算f'(1.0),f'(1.1),f'(1.2)的值,并估计误差。
【解】已知x0
1
f'(1.0)
f'(1.1)
f'(1.2)
f(X)
R(1.0)
1-0,x-i
3f(1.0)
f(1-0)
1.1,x21.2,h
Xi
4f(1.1)f(1.2)]
f(1.2)]
冷[
X0X2X1
1
[30.250040.22680.2066]
20.1
0.1,用三点公式计算微商:
0.25000.2066]
0.2170
0.2470
护⑺。
)4f(1.1)
1;
(1x)2;
用余项表达式计算误
3
3f(1.2)]
f'(X)(1x)
f''(X)
1
[0.250020.1
6
4;
X)
40.226830.2066]
0.1870
(1
24
中X)市,
R(1.1)
R(1.2)
3(1
1.0)5
24
0.12
3!
(1
1.0)5
24
0.12
3(1
1.1)5
0.00125
0.04967
差
2
240.12
dh23!
3
0.0025
3、(p.96,习题26)
设f(x)sinx,分别取步长
0.1,0.01,0.001,用中点公式(52)
计算f'(0.8)的值,令中间数据保留小数点后第6位。
【解】
中心差商公式:
f'(a)f(ah)f(ah)
2h
截断误差:
R(h)
Oa)h2。
可
3!
见步长
(1)
h越小,截断误差亦越小。
0.1,x00.8h0.7,x20.8h0.9,则
1
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