第二章点直线平面之间的位置关系综合检测附答案.docx
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第二章点直线平面之间的位置关系综合检测附答案
第二章综合检测题
时间120分钟,满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.若直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是( )
A.相交 B.平行
C.异面D.平行或异面
2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.已知平面α和直线l,则α内至少有一条直线与l( )
A.平行 B.相交 C.垂直 D.异面
4.长方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AB,A1D1所成的角等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
5.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得( )
A.a⊂α,b⊂αB.a⊂α,b∥α
C.a⊥α,b⊥αD.a⊂α,b⊥α
6.下面四个命题:
①若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面;
②若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交;
③若a∥b,则a,b与c所成的角相等;
④若a⊥b,b⊥c,则a∥c.
其中真命题的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段A1B1,B1C1上的不与端点重合的动点,如果A1E=B1F,有下面四个结论:
①EF⊥AA1;②EF∥AC;③EF与AC异面;④EF∥平面ABCD.
其中一定正确的有( )
A.①② B.②③ C.②④ D.①④
8.设a,b为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是( )
A.若a,b与α所成的角相等,则a∥b
B.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b
C.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥β
D.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b
9.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,n∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( )
A.AB∥mB.AC⊥m
C.AB∥βD.AC⊥β
10.(2012·大纲版数学(文科))已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为BB1、CC1的中点,那么直线AE与D1F所成角的余弦值为( )
A.-
B..
C.
D.-
11.已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC=
,BC=2,则以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为( )
A.
B.
C.0 D.-
12.如图所示,点P在正方形ABCD所在平面外,PA⊥平面ABCD,PA=AB,则PB与AC所成的角是( )
A.90° B.60°
C.45° D.30°
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
13.下列图形可用符号表示为________.
14.正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角C1-AB-C的平面角等于________.
15.设平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面α,β之间,AS=8,BS=6,CS=12,则SD=________.
16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:
①AC⊥BD;
②△ACD是等边三角形;
③AB与平面BCD成60°的角;
④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________.
三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)如下图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC,F、F1分别是AC,A1C1的中点.
求证:
(1)平面AB1F1∥平面C1BF;
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
[分析] 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理,寻找使结论成立的充分条件.
18.(本小题满分12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.
(1)证明:
CD⊥平面PAE;
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.
19.(12分)如图所示,边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC=2
,M为BC的中点.
(1)证明:
AM⊥PM;
(2)求二面角P-AM-D的大小.
20.(本小题满分12分)(2010·辽宁文,19)如图,棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B.
(1)证明:
平面AB1C⊥平面A1BC1;
(2)设D是A1C1上的点,且A1B∥平面B1CD,求A1DDC1的值.
21.(12分)如图,△ABC中,AC=BC=
AB,ABED是边长为1的正方形,平面ABED⊥底面ABC,若G,F分别是EC,BD的中点.
(1)求证:
GF∥底面ABC;
(2)求证:
AC⊥平面EBC;
(3)求几何体ADEBC的体积V.
[分析]
(1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC;
(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE;(3)几何体ADEBC是四棱锥C-ABED.
22.(12分)如下图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.
(1)求证:
AC⊥BC1;
(2)求证:
AC1∥平面CDB1;
(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.
详解答案
1[答案] D
2[答案] C
[解析] AB与CC1为异面直线,故棱中不存在同时与两者平行的直线,因此只有两类:
第一类与AB平行与CC1相交的有:
CD、C1D1
与CC1平行且与AB相交的有:
BB1、AA1,
第二类与两者都相交的只有BC,故共有5条.
3[答案] C
[解析] 1°直线l与平面α斜交时,在平面α内不存在与l平行的直线,∴A错;
2°l⊂α时,在α内不存在直线与l异面,∴D错;
3°l∥α时,在α内不存在直线与l相交.
无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直.
4[答案] D
[解析] 由于AD∥A1D1,则∠BAD是异面直线AB,A1D1所成的角,很明显∠BAD=90°.
5[答案] B
[解析] 对于选项A,当a与b是异面直线时,A错误;对于选项B,若a,b不相交,则a与b平行或异面,都存在α,使a⊂α,b∥α,B正确;对于选项C,a⊥α,b⊥α,一定有a∥b,C错误;对于选项D,a⊂α,b⊥α,一定有a⊥b,D错误.
6[答案] D
[解析] 异面、相交关系在空间中不能传递,故①②错;根据等角定理,可知③正确;对于④,在平面内,a∥c,而在空间中,a与c可以平行,可以相交,也可以异面,故④错误.
7[答案] D
[解析] 如图所示.由于AA1⊥平面A1B1C1D1,EF⊂平面A1B1C1D1,则EF⊥AA1,所以①正确;当E,F分别是线段A1B1,B1C1的中点时,EF∥A1C1,又AC∥A1C1,则EF∥AC,所以③不正确;当E,F分别不是线段A1B1,B1C1的中点时,EF与AC异面,所以②不正确;由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD,EF⊂平面A1B1C1D1,所以EF∥平面ABCD,所以④正确.
8[答案] D
[解析] 选项A中,a,b还可能相交或异面,所以A是假命题;选项B中,a,b还可能相交或异面,所以B是假命题;选项C中,α,β还可能相交,所以C是假命题;选项D中,由于a⊥α,α⊥β,则a∥β或a⊂β,则β内存在直线l∥a,又b⊥β,则b⊥l,所以a⊥b.
9[答案] C
[解析] 如图所示:
AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m;AB∥l⇒AB∥β.
10[答案]
命题意图] 本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用.
[解析] 首先根据已知条件,连接DF,然后则角DFD1即为
异面直线所成的角,设边长为2,则可以求解得到
=DF=D1F,DD1=2,结合余弦定理得到结论.
11[答案] C
[解析] 取BC中点E,连AE、DE,可证BC⊥AE,BC⊥DE,∴∠AED为二面角A-BC-D的平面角
又AE=ED=
,AD=2,∴∠AED=90°,故选C.
12[答案] B
[解析] 将其还原成正方体ABCD-PQRS,显见PB∥SC,△ACS为正三角形,∴∠ACS=60°.
13[答案] α∩β=AB
14[答案] 45°
[解析] 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,由于BC⊥AB,BC1⊥AB,则∠C1BC是二面角C1-AB-C的平面角.又△BCC1是等腰直角三角形,则∠C1BC=45°.
15[答案] 9
[解析] 如下图所示,连接AC,BD,
则直线AB,CD确定一个平面ACBD.
∵α∥β,∴AC∥BD,
则
=
,∴
=
,解得SD=9.
16[答案] ①②④
[解析] 如图所示,①取BD中点,E连接AE,CE,则BD⊥AE,BD⊥CE,而AE∩CE=E,∴BD⊥平面AEC,AC⊂平面AEC,故AC⊥BD,故①正确.
②设正方形的边长为a,则AE=CE=
a.
由①知∠AEC=90°是直二面角A-BD-C的平面角,且∠AEC=90°,∴AC=a,
∴△ACD是等边三角形,故②正确.
③由题意及①知,AE⊥平面BCD,故∠ABE是AB与平面BCD所成的角,而∠ABE=45°,所以③不正确.
④分别取BC,AC的中点为M,N,
连接ME,NE,MN.
则MN∥AB,且MN=
AB=
a,
ME∥CD,且ME=
CD=
a,
∴∠EMN是异面直线AB,CD所成的角.
在Rt△AEC中,AE=CE=
a,AC=a,
∴NE=
AC=
a.∴△MEN是正三角形,∴∠EMN=60°,故④正确.
17[证明]
(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,
∵F、F1分别是AC、A1C1的中点,
∴B1F1∥BF,AF1∥C1F.
又∵B1F1∩AF1=F1,C1F∩BF=F,
∴平面AB1F1∥平面C1BF.
(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,∴B1F1⊥AA1.
又B1F1⊥A1C1,A1C1∩AA1=A1,
∴B1F1⊥平面ACC1A1,而B1F1⊂平面AB1F1,
∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
18[解析]
(1)如图所示,连接AC,由AB=4,BC=3,∠ABC=90°,得AC=5.
又AD=5,E是CD的中点,所以CD⊥AE.
∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.
而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE.
(2)过点B作BG∥CD,分别与AE,AD相交于F,G,连接PF.
由
(1)CD⊥平面PAE知,BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角,且BG⊥AE.
由PA⊥平面ABCD知,∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.
AB=4,AG=2,BG⊥AF,由题意,知∠PBA=∠BPF,
因为sin∠PBA=
,sin∠BPF=
,所以PA=BF.
由∠DAB=∠ABC=90°知,AD∥BC,又BG∥CD,所以四边形BCDG是平行四边形,故GD=BC=3.于是AG=2.
在Rt△BAG中,AB=4,AG=2,BG⊥AF,所以
BG=
=2
,BF=
=
=
.于是PA=BF=
.
又梯形ABCD的面积为S=
×(5+3)×4=16,所以四棱锥P-ABCD的体积为
V=
×S×PA=
×16×
=
.
19[解析]
(1)证明:
如图所示,取CD的中点E,连接PE,EM,EA,
∵△PCD为正三角形,
∴PE⊥CD,PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
.
∵平面PCD⊥平面ABCD,
∴PE⊥平面ABCD,而AM⊂平面ABCD,∴PE⊥AM.
∵四边形ABCD是矩形,
∴△ADE,△ECM,△ABM均为直角三角形,由勾股定理可求得EM=
,AM=
,AE=3,
∴EM2+AM2=AE2.∴AM⊥EM.
又PE∩EM=E,∴AM⊥平面PEM,∴AM⊥PM.
(2)解:
由
(1)可知EM⊥AM,PM⊥AM,
∴∠PME是二面角P-AM-D的平面角.
∴tan∠PME=
=
=1,∴∠PME=45°.
∴二面角P-AM-D的大小为45°.
20[解析]
(1)因为侧面BCC1B1是菱形,所以B1C⊥BC1,
又已知B1C⊥A1B,且A1B∩BC1=B,
所以B1C⊥平面A1BC1,又B1C⊂平面AB1C
所以平面AB1C⊥平面A1BC1.
(2)设BC1交B1C于点E,连接DE,则DE是平面A1BC1与平面
B1CD的交线.
因为A1B∥平面B1CD,A1B⊂平面A1BC1,平面A1BC1∩平面B1CD=DE,所以A1B∥DE.
又E是BC1的中点,所以D为A1C1的中点.
即A1DDC1=1.
21[解]
(1)证明:
连接AE,如下图所示.
∵ADEB为正方形,
∴AE∩BD=F,且F是AE的中点,
又G是EC的中点,
∴GF∥AC,又AC⊂平面ABC,GF⊄平面ABC,
∴GF∥平面ABC.
(2)证明:
∵ADEB为正方形,∴EB⊥AB,
又∵平面ABED⊥平面ABC,平面ABED∩平面ABC=AB,EB⊂平面ABED,
∴BE⊥平面ABC,∴BE⊥AC.
又∵AC=BC=
AB,
∴CA2+CB2=AB2,
∴AC⊥BC.
又∵BC∩BE=B,∴AC⊥平面BCE.
(3)取AB的中点H,连GH,∵BC=AC=
AB=
,
∴CH⊥AB,且CH=
,又平面ABED⊥平面ABC
∴GH⊥平面ABCD,∴V=
×1×
=
.
22[解析]
(1)证明:
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,∴AC⊥BC.
又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.
∵BC1⊂平面BCC1B,∴AC⊥BC1.
(2)证明:
设CB1与C1B的交点为E,连接DE,又四边形BCC1B1为正方形.
∵D是AB的中点,E是BC1的中点,∴DE∥AC1.
∵DE⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,
∴AC1∥平面CDB1.
(3)解:
∵DE∥AC1,
∴∠CED为AC1与B1C所成的角.
在△CED中,ED=
AC1=
,
CD=
AB=
,CE=
CB1=2
,
∴cos∠CED=
=
.
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为
.
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