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MBA联考数学基本概念和必备公式
(一)初等数学部分
、绝对值
1、非负性:
即Ial≥O,任何实数a的绝对值非负。
≤|a+b|≤|a|+|b|
ab≤O且|a|≥|b|
ab≥O
归纳:
所有非负性的变量
11
(1)
正的偶数次方(根式)
_242o4
a,a,,a,a
_O
⑵
负的偶数次方(根式)
11
a',a',,a^,a^*
O
(3)
指数函数aX(a>O
且a≠1)>O
考点:
若干个具有非负性质的数之和等于零时,则每个非负数必然为零。
2、三角不等式,即|a|-|b|
左边等号成立的条件:
右边等号成立的条件:
3、要求会画绝对值图像
二、比和比例
1、增长率p%原值a>现值a(1p%)
下降率P%'现值a(1-P%)
等比定理:
aCeaCe
—(m>O)
b
X1+X2+...+Xn
--—_nXiX2...Xn(Xi>0i=1,...,n)
n、
当且仅当X1=X2==Xn时,等号成立。
[a>O,ba0
2、匕兰临』另一端是常数
2
2J等号能成立
ab
3、a+b^2(ab>0),ab同号
ba
4、n个正数的算术平均值与几何平均值相等时,则这n个正数相等,且等于算术平均值。
四、方程
1、判别式(a,b,C∈R)
RO两个不相等的实根
.■:
=b-4ac:
:
=0两个相等的实根
J.■■■■.■■:
:
0无实根
2、图像与根的关系
2
△=b-4ac
△>0
△=0
△<0
2
f(x)=ax+bx+c(a>0)
j
|\/>
\丿飞
j
(V.
XVeJ
f(X)=0根
-b±V∆
x12—
1,22a
b
x12_
1,22a
无实根
f(x)>0解集
X
b
X≠-
2a
X∈R
f(x)<0解集
X1 X∈Ψ X∈Ψ 3、根与系数的关系 X1,X2是方程 2 ax+bx+C=0(a≠0) 的两根 4、韦达定理的应用 利用韦达定理可以求出关于两个根的对称轮换式的数值来: (1)丄亠卩2 x∣x2x1x2 (2、11(XiX2)2-2^2 (2丿-2∙-2厂 XX2(X1X2) (3)x1-X2=J(XI-X2)2=耳'(x1+x2)2-4x1x2 33222 (4)X1X2(XIE)(XI-X1X2X1)=(X1X2)[(X1X2)-3X1X2] 5、要注意结合图像来快速解题 五、不等式 1、提示: 一元二次不等式的解,也可根据二次函数y=ax2bxC的图像求解。 2 △=b-4ac △>0 △=0 △<0 2 f(x)=ax+bx+c (a>0) \/. V IV X1∖JX2 X1,2 f(x)=0根 -b±V∆ X12= 侯2a b X1,2一恳 无实根 f(x)>0解集 X X」 2a X∈R f(x)<0解集 X1 X∈Ψ X∈Ψ 2、注意对任意X都成立的情况 (1)ax2bxO0对任意X都成立,则有: a>0且厶<0 2、, (2)ax+bx+c<0对任意X都成立,则有: a<0且厶VO 3、要会根据不等式解集特点来判断不等式系数的特点 六、二项式 rnr 1、Cn=Cn一,即: 与首末等距的两项的二项式系数相等 2、C: +Cn十…+C: =2n,即: 展开式各项二项式系数之和为2n 3、常用计算公式 n (1)p=m(m-1)(m—n1) O ⑵Pm=1 _n ⑷Cn=Cn=I 5、展开式系数 n-1 2 n 和第(罗+仁与3)项的二项式系数最大,其为Td=c: 2或H=C 5、内容列表归纳如下: 二项式定理 公式(a+b)n—C0an+cnan'b+…+Cn^abn^+C∏bn所表示的 定理成为二项式定理。 通项公式 第k+1项为Tk41=CfanjV,k=0,1,,,n 项数 展丿丨总共n+1项 二项式指数 r⅜Λι+匕来/rI-Lr逐项减IC匚白闩+匕来Zr由C逐项加1 a的指数: 由n⅛0;b的指数: 由O⅛n; 展开式 各项a与b的指数之和为n 的特征 n 当n为偶数时,则中间项(第n+1项)系数C1? 最大; 展开式的 2 最大系数 n+1门十3n 当n为奇数时,则中间两项(第n1和n3项)系数Cn2最大。 22n 1.c;=Cn丄,即与首末等距的两项系数相等; 展开式系数之间的 2.Cn0+Cn1+,,Cnn=2n,即展开式各项系数之和为2n; 关系 3.C;+C;+Cn4...=Cn+C;+C;...=2n_1,即奇数项系数和等 于偶数项系数和 七、数列 n 公式: Sn=a「a2■…■an=Vaiim 1、an与Sn的关系(A) (1)已知an,求Sn. (2)已知Sn,求an 2、等差数列(核心) (1)通项 an(nT)d=ak(n_k)d二nd(a〔一d)f(x)=Xd(ai-d)=an二f(n) 比如: 已知am及an,求d.(m,am)与(n,an)共线斜率d=anam n—m ⑵前n项和Sn(梯形面积) Sl n(n—1).n=na1d 22 d2d Sn=n2(a1_)n 22 尸a1an n2(a1_d)n 22 抽象成关于n的二次函数f(x)=—X2∙(a1—)x,Sn=f(n) 22 函数的特点: (1)无常数项,即过原点 (2) 如Sn=2n2-3n,d=4 二次项系数为d (3)开口方向由d决定 3.重要公式及性质 (1)通项an(等差数列)am∙an=ak■at,当m∙n=k■t时成立 (2)前n项和性质 4、等比数列 注意: 等比数列中任一个元素不为 (1)通项: an=aiq nJk =akq =ak亠(n_k)d (2)前n项项和公式: Sa1(1 Sn -q 1—q aiIanq 1—q 1Sn为等差数列前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等差数列 (3) ai 所有项和S 对于无穷等比递缩(qV1,q=0)数列,所有项和为S= 1-q 5.等比数列性质 (1)通项性质: 当mn=kt时,则am∙an=ak∙at 6、 特殊数列求和。 (差分求和法) an Sn =a1a- an=丄+丄+丄卡 n122334 111111 =(1_1)(1_丄)(丄_丄) 22334n 1 n(n1) 1、41 )=1- (二)微积分部分 一、函数、极限、连续 1、单调性: (注意严格单调与单调的区别) 设有函数y=f(x),X∈D,若对于D中任意两点X1,x2(x1 若上述不等号为严格不等号“<”(或“>”),则称函数f(x)在D上严格单调上升(或严格单调 下降)。 2、奇偶性: (1)定义: 设函数y=f(x)的定义域D关于原点O对称,若对于D中的任一个X,都有 f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),则称函数f(x)为奇函数(或偶函数)。 (2)图像特点: 奇函数图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称,函数y=O既是奇函数,也是偶函数。 3、遇到f(x)g(X),只要符合"1Q-,按以下方法处理: (X)』]g(x) =lim[1+(f(X)—1)]f(X) Iimf(x)g(X)=lim[1(f(x)-1)]g(X)X內 XrXOXo FIr[f(χ)J]g(χ) Iim(f(x)4)g(x) =Iim[1(f(x)-1)]f(X)J=exxo X3xOJI Iim(f(x)4)g(x) 公式: Iimf(x)g(X)=exxo Xf 4、常用等价无穷小: 当X0时,有 ex—1〜Xln(1+x)〜X(1+x)n-1〜nx 引申: 当: (x)>0时,ln(1+: (x))〜eα(X)-1〜: (x),(1+: (x))n-1〜n∙(x) 5、当X>+: 时,增长速度由慢到快排列: lnx,Xα,αx,XX 6、f(x)在点X。 连续定义: limf(x)=f(x°) X—^0 7、闭区间上连续函数的性质 (1)最值定理 一个闭区间函数一定在某一点,达到最大值,在某一点达到最小值。 (2)零值定理 设f(χ)∈C([a,b]),且f(a)∙f(b) 注意: 零点定理只能说明存在性不能说明唯一性。 应用: f(x)=0是一个方程,证明它在某一个区间上一定有根。 二、一元函数微分学 1、导数的数学定义式 Imf(XOrX)-f(XO)=f(χ0)(用于抽象函数判定是否可导) Iimf(X)-f(XO)=f'(Xo)(用于表达式给定的具体函数,求导数值) XfX-X0 2、可导与连续的关系 f(X0)存在*亠f(X)在X=X0连续 3、左右导数 左导数: f(X。 )=∣im凹空=Iimf(X0F一f(X0) Xf-x_x03—AX 右导数: f(X0)=Iimf(X)—f(XO)=Iimf(X0Ff(XO) x→o+X-X0SΔx 结论: f(x°)=A=f_(xO)=f.(xO)=A 4、导数的几何意义 设点Mo(xo,f(xo))是曲线y=f(x)上的上点,贝9函数f(x)在XO点处的导数f'xo)正好是曲线y=f(x) 过Mo点的切线的斜率k,这就是导数的几何意义。 1 (1)切线方程y=f(xo)(x-X。 )■f(X。 ),法线方程为y;(x-χo)∙f(χ°) f(Xo) (2)切线平行X轴 切线方程: y=f(xo),法线方程: X=Xo (3)切线平行y轴 切线方程: X=x0,法线方程: y=f(x0) 6常见函数求导公式 f(x) C Xa JX 1 X Xa Xe ICC|x| IOga ln|x| f'(X) 0 1 1 ax∣na X 1 1 C(X 2√X X e Xlna X Zf(X);f'(x)g(x)-f(χ)g'(χ) —2 Ig(X)丿g(x) 7、高阶导数(掌握二阶导数即可) 可导一定连续,连续不一定可导 9、奇偶函数,周期函数的导数 常见函数的二阶导数 f(x) C XG 仮 1 X Xa Xe LOga|x| InIXl f'(x) 0 0-1 1 1 ax∣na Xe 1 1 X C(X 2√X 2X Xlna f'(X) G(G-I)Xce2 1 2 ax(In X 1 1 0 3 4x勺 3X a)2 e ^2. Xlna 2X 8、可导、可微、连续与极限的关系 f(0)=0 11、洛必达法则(0,) 0旳 若Iimf(X)=0(或二),Iimg(x)=0(或: : ),则Iimf(X)=Iimf.(X)=Ag(x)g(X) 12、判断函数的增减性,求函数单调区间 (1)单调性定义 -X1,X2D,当xl沐2时,有f(N)t)g,则f(x)为单调递增(减) (2)判别方法: 用f'()判断 设f(X)在(a,b)上可导,则f(X)在(a,b)内单调增加(减少)的充要条件为f(x)_(勻0 f(X)单调增.f(x)-0 注意: 设f(X)在(a,b)区间内可导则f(X)在(a,b)内严格单调增加(减少)的充分条件是f'(x)>0(f'(x) V0) f'(x)>^-■严格单调增加 f'(x)V0”'严格单调下降 13、极值点的定义(局部最大或局部最小) (1)定义: 设y=f(x),若对-x∙(x°—: x°+-J均有f(x)≤f(x°)(f(x)≥f(X0))则称X0为f(x)的极 大值点(极小值点),f(X0)为极大值(极小值)。 (2)判定方法: 两个充分条件 第一充分条件: 若f(x)在X0处连续,在X0的邻域内可导,且当x 当x>X0时,f'(x)<0,(f'(x)>0),则称X0为极大值点(极小值点)。 第二充分条件: 设f(x)在X0点的某一领域内可导且f'(x°)=0,f'(X0)≠0 若f''(x0)0则X0是极小值点,f(x0)为极小值 若f''(X0)<0则X0是极大值点,f(x0)为极大值 注意: f''(x0)=0不能判定用,有可能为极值,也可能不是极值。 (3)极值存在的必要条件 若X0为f(x)的极值点,且f'(x0)存在,则f'(x0)=0 注: f'(Xo)=0不能推出X0为f(x)的极值点 女口: y=x3,在X=0处必有y'=0 即: X0极值点一7f'(x0)=0 14、驻点(稳定点) (1)定义: 满足f(X)=M点,称为驻点 (2)驻点「'极值点 1X 15、函数的最值及其求解 (1)若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上必有最大值、最小值 (2)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内有一个极值点X0,贝U 若x0是f(x)的极大值点,那么x0必为f(x)在[a,b]上的最大值点; 若x0是f(x)的极小值点,那么x0必为f(x)在[a,b]上的最小值点。 (3)求最值的方法(最值是[a,b]整体概念,极值是局部概念)⑻求f(x)在(a,b)内所有驻点和导数不存在的点 (b)求出以上各函数值及区间[a,b]端点的函数值 (C)比较上述数值,最大的为最大值,最小的为最小值 最大值: M: max{f(a),f(b),f(x1),、 ,,f(Xo)} 最小值: : m: min{f(a),f(b),f(x1),,, f(x0)} 其中: X1,,,,X0为f(x)所有可能的极值点 16、驻点、极值点、最值点的联系与区别 上r■定义: 使f'(X)=O的点 驻点丿 图像: 找存在水平切线的点 边界 +求最值点的方法 b)内可能的极值点唯一,贝y此点为最值点(应用题)最值为整体概念,即函数图像在开区间[a,b]上最高点为最大值,最低点为最小值. 17、函数的切线与法线 切线与法线求法 一般地,在Xo处切线方程为y-y。 =f'(Xo)(x-Xo) 1 在x0处法线方程为y-y0-(χ-X0) f'(Xo) 18、函数凹凸性及其判定 (1)凹弧 (a)定义: 如果曲线在其任一点切线之上,称曲线为凹弧 (b)凹弧的切线斜率随着X的增大而增大,即f'(x)单调递增 (C)设f(x)在(a,b)上二阶可导,f(x)为凹弧的充要条件为f'(X)≥)-x∙(a,b) ⑵凸弧 (a)定义: 若曲线在其任一点切线之下,称曲线为凸弧 (b)凸弧的切线斜率随着X的增大的而减小,即f'(x)单调递减 (C)设f(x)在(a,b)二阶可导,f(x)为凸弧的充要条件为f'X)≤0 (3)常见函数的性质 f(x) ax(a>1) ax(0 Iogax(a>1) X
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