全国数学建模大赛B题国家一等奖论文.docx

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全国数学建模大赛B题国家一等奖论文

高等教育学费标准的研究

摘要

本文从搜集有关普通高等学校学费数据开始，从学生个人支付能力和学校办学利益获得能力两个主要方面出发，分别通过对这两个方面的深入研究从而制定出各自有关高等教育学费的标准，最后再综合考虑这两个主要因素，进一步深入并细化，从而求得最优解。

模块Ⅰ中，我们将焦点锁定在从学生个人支付能力角度制定合理的学费标准。

我们从选取的数据和相关资料出发，发现1996年《高等学校收费管理暂行办法》规定高等学校学费占生均教育培养的成本比例最高不得超过25%，而由数据得到图形可知，从2002年开始学费占教育经费的比例超过了25%，并且生均学费和人均GDP的比例要远远超过美国的10%到15%。

由此可见，我国的学费的收取过高。

紧接着，我们从个人支付能力角度出发，研究GDP和学费的关系。

并因此制定了修正参数，由此来获取生均学费的修正指标。

随后，我们分析了高校专业的相关系数，从个人支付能力角度，探讨高校收费与专业的关系，进一步得到了高校收费标准

在模块Ⅱ中，我们从学校办学利益获得能力出发，利用回归分析对学生应交的学杂费与教育经费总计、国家预算内教育经费、社会团体和公民个人办学经验、社会捐投资和其他费用的关系，发现学杂费与教育经费总计成正相关，与其他几项费用成负相关。

对此产生的数据验证分析符合标准。

然后，再根据专业相关系数来确定学校收取学费的标准。

从而，得到了学校办学利益的收费标准

。

在模块Ⅲ中，为了获取最优解，我们综合了前面两个模块所制定的收费指标，并分别给予不同权系数，得到最终学费的表达式

。

然后，我们从学校收费指标的权系数b考虑，利用神经网络得到的区域划分，根据不同区域而计算出的权系数b的范围。

最终得到的表达式

;由此便可得到综合学费标准C的取值范围。

然后，我们随机选取了同一区域不同专业，并根据表达式计算这些专业的学费，结果发现对社会收益大，个人收益小的专业如地质学的学费范围为：

3469.8~3506.3元之间；对社会收益小，个人收益大的专业如广告设计的学费范围为：

7931.0~8014.5元之间。

与通常高校实现的一刀切政策有了明显的优点。

最后，我们从本论文研究方向考虑，为优化高校费用标准的制定提出参考意见，如建立反馈制度和特殊生补贴制度的建议。

【关键字】相关系数回归模型自组织竞争神经网络

一、问题提出

高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。

高等教育的一个核心指标是培养质量，不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，都需要有相应的经费来保证其质量。

高等教育属于非义务教育，在世界各地其经费都是由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部份组成的。

世纪之交和“十五”期间，对我国高等教育制度进行改革与发展，我国高等教育面临着大有作为的重要战略机遇期，也面临着新的挑战。

随着改革的进行，学费问题也面临着严重的矛盾。

学费问题涉及每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：

由于中国的经济限制，中国的人均收入并不是太高，特别是一些偏远山区和西北部地区，若学费过高会是许多学生因为无力支付学费而辍学；若学费太低，会导致学校的财力不足以致无法保障教学质量。

因此，学费问题在近年来的各种媒体上都引起了热烈的讨论。

从中国的国情出发，收集诸如近几年来关于我国教育经费方面的及家庭收入等数据[1-4]，并通过分析数据建立数学模型，就几类学校或专业的费用标准进行定量分析，并从中得出明确、有说服力的结论。

二、问题分析

（一）我国教育收费的现状

通过国家统计局相关资料检索得到2000年到2005年我国普通高等学校教育经费统计[5]如表2.1所示：

表2.12002~2005年我国普通高校教育经费情况（单位：

万元）

年份

项目

2000

2001

2002

2003

2004

2005

合计

9133504

11665762

14878590

17543468

21297613

25502371

国家财政性教育经费

5311854

6328004

7521463

8405779

9697909

10908369

预算内教育经费

5044173

6060683

7243459

8074148

9309882

10463734

社会团体和公民个人办学经费

65941

181993

331363

603015

1121982

1801315

社会捐资和集资办学经费

151828

172775

278253

256375

215440

210796

学费和杂费

1926109

2824417

3906526

5057307

6476921

7919249

其他教育经费

1677772

2158574

2840985

3220992

3785362

4662641

学费占教育经费的比例

0.21

0.24

0.26

0.29

0.30

0.31

以表2.1所示数据中的年份为横坐标，学费占教育经费的比例为纵坐标，利用MATLAB作图得到图2.1如下所示（相关程序代码见附录1）：

图2.1各年度学费占教育经费的比例的情况

1996年12月16日颁布的《高等学校收费管理暂行办法》规定在现阶段，高等学校学费占年生均教育培养成本的比例最高不得超过２５％。

[6]鉴于用于计算生均培养成本的相关数据的搜集工作难度系数较大，我们借用全国高校总的学费收入和总的教育经费的比值来表示高校学费占年生均教育培养成本的比例。

正如图2.1所示，从2002年开始我国的该项比例已经开始超过了所规定值且以大幅度增加的趋势发展。

由此可知我国现行的高校收费制度业已远远超过了这个标准，并且极有可能渐行渐远。

由此引发的高等教育的学费与学生家庭支付能力的矛盾日益激增，因此，我们看到我国现行的高校收费制度存在着相当大的不合理性。

（二）影响我国普通高校学费标准制定的因素

我们若想要具体确定学费标准，首先必须要搞清楚到底有哪些因素会影响学费标准的制定。

影响高等教育学费的因素是很多的，包括政治因素、历史文化传统因素、思想观念因素、国际因素、经济因素等。

前四种因素主观性都比较强，很难量化，因此本文暂不多加考虑。

经济方面的影响因素当然也包括很多，不过本文中主要涉及四种，即各方面的承受能力、高等教育个人收益率、生均培养成本以及地区差异。

（三）我国普通高校学费标准制定的原则

至于学费标准制定的原则，研究者已有不少，如王善迈认为教育投资负担的基本依据是收益原则和能力原则，学费制定则应坚持教育成本的一部分原则和多数居民可以承受原则，其实这二者是一致的，如多数居民可以承受原则也就是能力原则。

全国政协常委辜胜阻对此谈得比较全面。

他认为，合理的成本分担机制建设应坚持一下八条原则：

第一，成本合理分担原则；第二、承受能力原则；第三，收费标准差别性原则；第四，办学投入多元化原则；第五，办学主体多元化原则；第六，高等学校成本核算管理原则；第七，政府投入到为原则；第八，保障教育公平性原则。

也有很多学者有一些其他的观点，不过绝大多数学者还是认为要以能力支付原则和利益获得这两个最基本的原则来制定学费。

接下来我们就是要根据这两个基本原则来制定我国普通高校学费标准。

所谓能力支付原则，是根据利益获得者的付款能力来确定负担主体及负担程度。

教育成本支出最终来源于国民收入，国民收入通过初次分配和再分配被各社会群体所占有。

从理论上说，谁占有国民收入，谁就应当担负教育成本。

但是由于国民收入在分配上存在着不均等的现象，各群体的付款能力不同，教育成本的负担应该根据付款能力不同确定负担的程度与比例。

所谓利益获得原则，简言之，谁受益谁负担，获益多者多负担。

用于教育的成本支出就其性质而言是一种可获得预期收益的投资。

由于教育具有经济功能，用于教育的成本是可以获得预期的经济和非经济收益的一种投资。

由于教育的公共物品或准公共物品的特性，教育投资可以产生外部效益，不仅受教育者可以获益，全社会都可以从中获益。

因而社会各成员应根据其所获得的利益，分摊教育成本的负担。

三、模型假设

1、假设收集的数据均真实有效。

2、假设不考虑第三批本科国家不给予补助；

3、因为《中国统计年鉴》公布有关高等教育数据的滞后性，我们假设选取2005年的数据对本论文不构成影响。

四、定义与符号说明

——人均GDP

——人均GDP的权重系数

——各专业的权重系数

——各专业学费的收费标准

——国家财政性教育经费

——预算内教育经费

——社会团体和公民个人办学经费

——社会捐款和集资办学经费

——其他教育经费

——

相对应的系数

——学费制定标准

——学生期望的各专业学费标准

——学校期望的各专业学费标准

——

的权重系数

——

的权重系数

五、模型的建立与求解

（一）基于学生个人支付能力能力制定的学费标准——模块Ⅰ

1、模型的分析

首先，就学生家庭的经济承受能力这个角度来看，基于能力支付和利益获得这两个基本原则，我们从影响普通高校学费能力的众多因素中选取全国人均GDP和学生就读的专业这两个基本因素进行研究，通过建立相关模型确定这两个因素的权重系数，

2、模型的准备

根据查询国家统计局显示的数据资料[7]，我们搜集到从1995年到2004年间我国普通高校生均学费和人均GDP的值如表5.1所示：

表5.11995~2004年我国普通高校生均费和人均GDP统计值（单位：

元）

年份

项目

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

普通高校生均学费

1001

1315

1589

1794

2769

3550

3895

4224

4419

4785

人均GDP

4854

5576

6054

6308

6551

7086

7651

8214

9111

10561

学费/人均GDP

0.21

0.24

0.26

0.28

0.42

0.50

0.51

0.51

0.49

0.45

3、模型的建立与求解

（1）人均GDP的权重系数Q

我们根据国内和国外的高校学费占人均GDP的比例各自所占的权重系数，求出我国高校学费占人均GDP的一般比例，从而根据我国的人均GDP算出我国所有普通高校专业的平均学费。

根据表5.1所列的数据，以各个年份为横坐标，普通高校生均学费和人均GDP的比值为纵坐标作图如图5.1所示（借助MATLAB，相关程序代码见附录2）：

图5.1各年度高校生均学费与人均GDP比值的变化情况

很显然，由图5.1可以看出，我国普通高校生均学费与人均GDP的比值总体上呈不断上升的趋势，1995年~1998年增长幅度较小（范围在0.20~0.30之内），1998年以后出现猛烈增长，两年之内从0.28突增至0.50，之后两年基本稳定，2002到2004年内又有小范围的滑落，但整体上一直处于高水平状态，保持再0.45以上。

1999年6月24日，教育部和国家计委联合宣布，1999年普通高校招生从上年的108万人扩大到156万人，增幅高达44.44﹪，中国高校大规模的扩招从此拉开了帷幕。

然而这个政策的推行却给民众带来了极大的困扰，扩招后学费高得离谱，令人难以接受。

从1995年到2004年，我国高校生年人均学费从一千元上涨到了五千元左右，而人均GDP在1995年至今的十年间增长不过一倍多。

对照图5.1，很明显地看到生均学费与人均GDP的比值在此阶段有很大幅度的增长。

在此必须考虑到我国的人均GDP并借鉴国外的一般平均水平为参照标准。

一般国外的学费与人均GDP的比例是很低的，很多国家公立高校的学费与人均GDP的比例只占到了5﹪~15﹪。

综合考虑国内外的这一比例，我们取国外的高校学费与人均GDP的比值为15﹪，国内的为45﹪，权重系数分别为0.3和0.7。

这样我们可以算出高校学费占人均GDP的一般比例,即Q=15﹪×0.3+0.7×45﹪=36﹪。

（2）几个典型专业权重系数的划分

这里有一个一些典型专业的收益排行榜[8]（如图5.2所示），可以为制定各个专业点的学费标准提供参考。

图5.2一些专业的收益排行榜

由于我们是从学生的角度来考虑，所以个人收益大的专业应该占有较大的权重。

于是我们将位于最中间的新闻学设为1，向右依次为1.1、1.2……1.7，向左依次为0.9、0.8……0.4。

这样我们就得到了各个专业的权重系数

。

（3）这样，我们就容易得到不同专业的收费指标：

公式1

（二）基于学校办学利益获得能力的回归模型的建立——模块Ⅱ

1、模型的分析

学杂费是由教育的总经费、国家财政性教育经费、社会团体和公民个人办学经费、社会捐资和集资办学经费及其它教育经费这些因素共同来决定的。

从定性角度分析，学杂费用是随着教育总经费的增加而增加，而随着国家财政性教育经费、社会团体和公民个人办学经费、社会捐资和集资办学经费的增加而减少。

为了体现这种现象，我们定义学杂费为因变量，而教育的总经费、国家财政性教育经费、社会团体和公民个人办学经费、社会捐资和集资办学经费及其它教育经费这五项作为自变量，然后利用回归分析的方法来建立学杂费模型。

2、模型准备

相关数据见表2.1

3、模型的建立与求解

设

为因变量，

为第i（i=1,2,3,4,5）个自变量，通过分析如下表的数据和采用尝试的做法，我们可以建立如下的多元一次方程：

公式2

对上面的回归模型再MATLAB上建立M文件（如附录3）并运行得到如下结果：

经MATLAB运行后所得结果如表5.2：

表5.2各个系数的值

系数

数值

1.0502

-1.1959

-1.3108

-1.3636

-0.7929

所以，建立的回归方程如下：

=

公式3

4、模型检验——对学费模型的误差分析

为了进一步分析检验所得回归方程的准确性和可靠性，下面运用学费模型对进行了事后预测，并与实际值进行比较，其对比结果如下表5.3所示：

表5.32000-2005年的学费的实际值与预测值

年份

2000

2001

2002

2003

2004

2005

实际值/万元

1.9261E+06

2.8244E+06

3.9065E+06

5.0573E+06

6.4769E+06

7.9192E+06

预测值/万元

1.9359E+06

2.8177E+06

3.8966E+06

5.0743E+06

6.4672E+06

7.9234E+06

绝对误差

-9791.0

6717.1

9926.0

-16993.0

9721.0

-4150.7

相对误差

-0.5058%

0.2384%

0.2547%

-0.3349%

0.1503%

-0.0524%

从表5.3中可以看出来，相对误差在±1%之内，说明回归方程具有较高的代表性和显著性，可以很好的表示这六者之间的关系。

再根据模块Ⅰ中专业相关性可知，学校期望的各专业学费标准

公式4

（三）综合考虑——模块Ⅲ

1、模型的分析

在前面的两个模块中，我们基于学生的个人支付能力和学校办学利益获得能力两个主体方面，得到了各自对各个专业学费的划分标准的制定方法。

接下来我们就将这两个方面进行综合考虑，求得一个比较折中、合理的学费制定标准。

2、模型的准备

地域因素不仅影响着各地区人均GDP的值进而影响学生的个人支付能力，而且与各高校经费的来源、预算与支出结构密切相关，因此在制定高校学费标准时，绝对不能忽略这一至关重要的因素。

尽管按照不同的划分标准对我国的地区划分有很多种，但是为了让我们的模型更合理更具有说服力，我们有必要对我国重新进行区域划分，在此我们通过建立新的模型来实现区域的划分。

常用的分类方法有模糊聚类、投影寻踪和神经网络等。

[9-11]这里采用自组织竞争网络对区域进行划分。

（1）神经网络模型的优势

自组织竞争神经网络方法能够对输入模式进行自组织训练和判断，并将其最终分为不同的类型。

与BP神经网络方法相比，这种自组织、自适应的学习能力进一步拓宽了人工神经网络在模式识别、分类方面的应用。

在区域划分中，根据地区生产总值，GDP增速，人均GDP城市人均支配收入，农村家庭均纯收入等指标将其归类研究，根据这些样本的特征对其他样本进行外推预报。

对区域的划分，神经网络有其独特的优势，主要体现在：

1）容错能力强。

由于网络的知识采用分布式存储，个别单元的损坏不会引起输出错误。

这就使得预测或识别过程中容错能力强，可靠性高。

2）预测或识别速度快。

训练好的网络在对未知样本进行预测或识别时仅需要少量的加法和乘法，使得其运算速度明显快于其他方法。

3）避开了特征因素与判别目标的复杂关系描述，特别是公式的表述。

网络可以自己学习和记忆输入量和输出量之间的关系。

（2）神经网络模型的建立

竞争型网络可分为输入层和竞争层。

假定输入层由N个神经元构成，竞争层有M个神经元。

网络的连接权值为

，

且满足条件

公式5

在竞争层中，神经元之间相互竞争，最终只有一个或者几个神经元获胜，以适应当前的输入样本。

竞争胜利的神经元就代表着当前输入样本的分类模式。

（3）神经网络模型的算法流程图及编程实现

模型的求解可利用计算机通过编程来实现，其步骤如下图5.3所示：

图5.3竞争型神经网络结构

（4）神经网络模型的求解

因此，根据上面我们分析五项指标并选取2005年全国各省区市地区生产总值汇总（见表5.4）的数据。

根据表5.4中的数据我们选择25个省区市参加竞争数据，[12]剩余6个省区市作为测试样本。

按照居民收入分为人均收入高类、人均收入中类和人均收入低类三个档次。

因此，这里需要设置神经元个数为3个。

为了加快学习速度，将学习效率设置为0.1.然后，将数据进行归一化处理，公式4中x’为原始数据，

为原始数据中的极小值，

为原始数据中的极大值，这样可以将原始数据压缩到[0,1]闭区间，有利于神经网络的训练。

x=

公式6

表5.4各省市参加竞争的样本数据

名称

地区生产总值（亿元）

GDP增速（﹪）

人均GDP（元）

城市人均可支配收入（元）

农村家庭人均纯收入（元）

北京

0.3060

0.1667

1.0000

0.9063

0.8585

河北

0.4599

0.3492

0.2464

0.0992

0.2519

山西

0.1805

0.2778

0.1840

0.0808

0.1591

内蒙古

0.1665

1.0000

0.2766

0.1020

0.1745

辽宁

0.3615

0.2619

0.3501

0.0993

0.2846

黑龙江

0.2452

0.2063

0.2368

0.0204

0.2110

上海

0.4146

0.1667

0.1020

1.0000

1.0000

江苏

0.8401

0.4365

0.4888

0.4025

0.5336

安徽

0.2389

0.2222

0.0910

0.0390

0.1199

福建

0.2942

0.1825

0.3415

0.4027

0.4039

江西

0.1774

0.3016

0.1120

0.0532

0.1965

山东

0.8493

0.4921

0.3771

0.2538

0.3223

河南

0.4795

0.4048

0.1569

0.0576

0.1560

湖北

0.2906

0.1905

0.1020

0.0689

0.1919

广东

1.0000

0.2778

0.1020

0.6339

0.4416

广西

0.1778

0.2937

0.0951

0.0811

0.0970

海南

0.0304

0.0873

0.1505

0.0063

0.1769

重庆

0.1314

0.1984

0.1505

0.2066

0.1463

四川

0.3326

0.2857

0.1020

0.0311

0.1453

贵州

0.0789

0.1984

0.0000

0.0085

0.0000

云南

0.1502

0.0000

0.0719

0.1141

0.0259

西藏

0.0000

0.2540

0.1035

0.0334

0.0315

甘肃

0.0782

0.2143

0.0596

0.0027

0.0162

宁夏

0.0163

0.1032

0.1304

0.0034

0.0431

青海

0.0137

0.2540

0.1271

0.0000

0.0992

（5）神经网络模型的求解结果

利用MATLAB程序建立M文件并且运行得到如下表5.5所示结果（程序代码见附录4）：

表5.5神经网络输出数值

列数

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

值

3

1

2

3

1

1

3

3

2

3

2

3

1

列数

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

值

1

3

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

神经网络数值划分对应的实际类别以及对应的省市如表5.6所示：

表5.6区域分类表

神经网络划分类别

实际类别

对应省市

3

人均收入高类

北京、内蒙古、上海、江苏、福建、山东、广东

2

人均收入低类

山西、安徽、江西、广西、海南、重庆、贵州、云南、西藏、甘肃、宁夏、青海

1

人均收入中等

河北、辽宁、黑龙江、河南、湖北、四川

（6）神经网络模型的样本检验

用剩余6个省市的数据作为检测样本，在MATLAB中编写程序计算得到样本检验结果如表5.7所示（程序代码见附录5）：

表5.7神经网络模型的测试结果

值

3

2

3

1

2

2

地方

天津

吉林

浙江

湖南

陕西

新疆

由此可见，运用神经网络模型对地域进行分类的结果与实际情况相吻合。

3、模型的建立

为了顾全学费制定标准C涉及到的两个方面，我们把这两个方面看成是对C的影响因素，分别赋予它们权重a和b，由此得到目标函数：

公式7

结合模块Ⅰ和模块Ⅱ所得的结论，我们可列出如下所列的约束条件：

公式8

公式9

a+b=1公式10

a>0

b>0

4、模型的求解

选取200