高中数学人教版选修21阶段水平测试一.docx
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高中数学人教版选修21阶段水平测试一
阶段水平测试
(一)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.
1.下面所给三个命题中真命题个数有( )
(1)若ac2>bc2,则a>b;
(2)若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形;
(3)若在二次函数y=ax2+bx+c中,b2-4ac<0,则该二次函数图象与x轴有公共点;
A.0 B.1
C.2D.3
解析:
(1)该命题为真命题,因为当c=0时,ac2=bc2.
(2)该命题为真命题,根据圆内接四边形的定义可进行判定.
(3)该命题为假命题,因为当b2-4ac<0时,二次方程ax2+bx+c=0没有实数根,因此二次函数的图象为x轴无公共点.综上所述,故选B.
答案:
C
2.[2012·福建高考]下列命题中,真命题是( )
A.∃x0∈R,ex0≤0
B.∀x∈R,2x>x2
C.a+b=0的充要条件是
=-1
D.a>1,b>1是ab>1的充分条件
解析:
∵∀x∈R,ex>0,∴A错;∵函数y=2x与y=x2有交点.如点(2,2),此时2x=x2,∴B错;∵当a=b=0时,a+b=0,而0作分母无意义,∴C错;a>1,b>1,由不等式可乘性知ab>1,∴D正确.
答案:
D
3.[2014·浙江高考]设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
此题主要考查四边形与充要关系的判断,考生需要结合四边形的知识和充要关系的判断进行突破.若“四边形ABCD为菱形”,则对角线“AC⊥BD”成立;而若对角线“AC⊥BD”成立,则“四边形ABCD有可能为空间正四面体”,所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.
答案:
A
4.若命题p:
|x+1|≤4,q:
x2<5x-6,则“綈p”是“綈q”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
∵p:
-5≤x≤3,则綈p:
x<-5或x>3;
∵q:
2 x≤2或x≥3,∴綈p是綈q的充分不必要条件. 答案: A 5.命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( ) A.不存在x0∈R,x -x +1≤0 B.存在x0∈R,x -x +1≤0 C.存在x0∈R,x -x +1>0 D.对任意的x∈R,x3-x2+1>0 解析: 题目中命题的意思是“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0都成立”,要否定它,只要能找到至少一个x0,使得x -x +1>0即可,故命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“存在x0∈R,x -x +1>0”. 答案: C 6.[2014·安徽高考]“x<0”是“ln(x+1)<0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析: 本题主要考查充分、必要条件的判断及简单对数形式不等式的求解.ln(x+1)<0⇔0 答案: B 7.[2013·湖北高考]在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A.(綈p)∨(綈q)B.p∨(綈q) C.(綈p)∧(綈q)D.p∨q 解析: 綈p表示甲没有降落在指定范围,綈q表示乙没有降落在指定范围,命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”,也就是“甲没有降落在指定范围”或“乙没有降落在指定范围”.故选A. 答案: A 8.下列命题中是真命题的为( ) A.“x>2且y>3”是“x+y>5”的充要条件 B.“A∩B≠∅”是“AB”的充分条件 C.“b2-4ac<0”是“一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R”的充要条件 D.“圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切”是“c2=(a2+b2)r2”的充要条件 解析: A项中,“x>2且y>3”⇒“x+y>5”,但“x+y>5”不能推出“x>2且y>3”,如: x=0且y=6,满足x+y>5,但不满足x>2,故A是假命题; B项中,“A∩B≠∅”不能推出“AB”,如A={1,2},B={2,3,4},A∩B={2},但A不是B的真子集.故B是假命题; C项中,如: 一元二次不等式-2x2+x-1>0的解集为∅,但b2-4ac=1-8=-7<0,故C是假命题; D项中,“圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切” ⇔圆心到直线的距离等于半径,即d= =r, 即c2=(a2+b2)r2,所以充分性成立;反之也成立,即必要性也成立,故D是真命题. 答案: D 9.设集合A={x|-2-a 1∈A,命题q: 2∈A.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,则a的取值范围是( ) A.02 B.0 C.1 D.1≤a≤2 解析: 若p为真命题,则-2-a<1 解得a>1. 若q为真命题,则-2-a<22. 依题意,得p假q真,或p真q假, 即 或 ∴1 答案: C 10.已知命题p: 存在x∈R,使tanx= ,命题q: x2-3x+2<0的解集是{x|1 ①命题“p且q”是真命题;②命题“p且綈q”是假命题;③命题“綈p或q”是真命题;④命题“綈p或綈q”是假命题,其中正确的是( ) A.②③B.①②④ C.①③④D.①②③④ 解析: ∵p、q都是真命题,∴①②③④均正确. 答案: D 11.[2014·重庆高考]已知命题p: 对任意x∈R,总有2x>0;q: “x>1”是“x>2”的充分不必要条件. 则下列命题为真命题的是( ) A.p∧qB.(綈p)∧(綈q) C.(綈p)∧qD.p∧(綈q) 解析: 本题主要考查指数函数的性质、含逻辑联结词的命题的真假判断及充分、必要条件,意在考查考生分析问题、解决问题的能力.依题意,命题p是真命题.由x>2⇒x>1,而x>1D⇒/x>2,因此“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故命题q是假命题,则綈q是真命题,p∧綈q是真命题,选D. 答案: D 12.[2014·天津高考]设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析: 本题以不等式为背景考查函数的单调性定义的正用、逆用,充要条件的判断等知识点,意在考查考生的推理论证能力和转化化归能力.构造函数f(x)=x|x|,则f(x)在定义域R上为奇函数.因为f(x)= 所以函数f(x)在R上单调递增,所以a>b⇔f(a)>f(b)⇔a|a|>b|b|.选C. 答案: C 二、填空题: 本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是________. 答案: 如果一条直线是圆的切线,则它到圆心的距离等于圆的半径 14.设集合A={x| <0},B={x||x-b|<1},则“A∩B≠∅”的充要条件是________. 解析: A={x|-1 答案: (-2,2) 15.已知命题p: “∀x∈[0,1],a≥ex”,命题q: “∃x∈R,x2+4x+a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是________. 解析: ∵p∧q是真命题,∴p与q均为真命题.p为真命题: a≥e,q为真命题: Δ=42-4a≥0,a≤4.综上,a∈[e,4]. 答案: [e,4] 16.已知a与b均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题: p1: |a+b|>1⇔θ∈[0, ); p2: |a+b|>1⇔θ∈( ,π]; p3: |a-b|>1⇔θ∈[0, ]; p4: |a-b|>1⇔θ∈( ,π]; 其中真命题为________. 解析: 由|a+b|= = >1, 得2+2cosθ>1,∴cosθ>- ,∴0≤θ< . 由|a-b|= = >1, 得2-2cosθ>1,∴cosθ< ,∴ <θ≤π. ∴p1,p4正确. 答案: p1,p4 三、解答题: 本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(10分)把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题与逆否命题,同时指出它们的真假. (1)全等三角形的对应边相等; (2)四条边相等的四边形是正方形; (3)若x2+7x-8=0,则x=-8或x=1. 解: (1)“若p,则q”的形式: 若两个三角形全等,则这两个三角形的对应边相等;是真命题. 逆命题: 若两个三角形的对应边相等,则这两个三角形全等;是真命题. 否命题: 若两个三角形不全等,则这两个三角形的对应边不全相等;是真命题. 逆否命题: 若两个三角形的对应边不全相等,则这两个三角形不全等;是真命题. (2)“若p,则q”的形式: 若一个四边形的四条边相等,则它是正方形;是假命题. 逆命题: 若一个四边形是正方形,则它的四条边相等;是真命题. 否命题: 若一个四边形的四条边不全相等,则它不是正方形;是真命题. 逆否命题: 若一个四边形不是正方形,则它的四条边不全相等;是假命题. (3)逆命题: 若x=-8或x=1,则x2+7x-8=0.逆命题为真. 否命题: 若x2+7x-8≠0,则x≠-8且x≠1.否命题为真. 逆否命题: 若x≠-8且x≠1,则x2+7x-8≠0.逆否命题为真. 18.(12分)写出下列命题的否定,并判断真假. (1)p: 正数的对数都是正数. (2)p: 存在x∈R,x2-x+1≤0. (3)p: 所有的矩形都是平行四边形. (4)p: 有的三角形是等边三角形. (5)p: 任意x∈Z,x2的个位数字不等于3. (6)p: 有一个素数含三个正因数. 解: (1)綈p: 存在一个正数,它的对数不是正数.真命题. (2)綈p: 任意x∈R,x2-x+1>0.真命题. (3)綈p: 存在一个矩形,它不是平行四边形.假命题. (4)綈p: 所有的三角形都不是等边三角形.假命题. (5)綈p: 存在x0∈Z,使x 的个位数字等于3.假命题. (6)綈p: 所有的素数都不含三个正因数.真命题. 19.(12分)用反证法证明: 若a2+b2=c2,则a、b、c不可能都是奇数. 证明: 假设a、b、c都是奇数, 那么a2、b2、c2一定也都是奇数. ∴a2+b2为偶数. ∴a2+b2≠c2,这与已知a2+b2=c2矛盾. 故假设不成立,即a、b、c不可能都是奇数. 20.(12分)指出下列命题中,p是q的什么条件: (1)p: {x|x>-2或x<3};q: {x|x2-x-6<0}. (2)p: -2 关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根. 解: (1)∵{x|x>-2或x<3}=R, {x|x2-x-6<0}={x|-2 ∴{x|x>-2或x<3}⇒/{x|-2 而{x|-2 ∴p是q的必要不充分条件. (2)若关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根,设为x1,x2,则0 有0 根据根与系数的关系 得 即-2 反之,取m=- ,n= ,x2- x+ =0,Δ= -4× <0,方程x2+mx+n=0无实根,所以pD⇒/q. 综上所述,p是q的必要不充分条件. 21.(12分)已知ab≠0,求证: a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 证明: 先证必要性. ∵a+b=1,即b=1-a, ∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0. 再证充分性. ∵a3+b3+ab-a2-b2=0, 即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0, ∴(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. 由ab≠0,即a≠0且b≠0, ∴a2-ab+b2≠0,从而只有a+b=1. 综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 22.(12分)已知命题p: f(x)=|x+a|在[0,+∞)上是增函数;命题q: 点O(0,0)与点P(1,1)在直线y=a(x+1)的两侧.若p∧q为假,p∨q为真,求实数a的取值范围. 解: ∵f(x)=|x+a|在[-a,+∞)上是增函数,若p为真,应有[0,+∞)⊆[-a,+∞),∴-a≤0,即a≥0. 若q为真,应有a(2a-1)<0,解得0 . 由p∧q为假,p∨q为真可知,p与q一真一假. 当p真q假时,得 解得a=0或a≥ . 当p假q真时,得 ,此时a无解. 综上所述,实数a的取值范围是{a|a=0或a≥ }.
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