新课标全国卷1文科数学分类汇编3导数及其应用.docx
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新课标全国卷1文科数学分类汇编3导数及其应用
20XX年—20XX年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编
3.导数及其应用
一、选择题
【2016,12】若函数在上单调递增,则的取值范围是()
A.B.C.D.
【2014,12】已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围是
A.B.C.D.
二、填空题
【2017,14】曲线在处的切线方程为.
【2012,13】13.曲线在点(1,1)处的切线方程为_________.
三、解答题
【2017,21】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若,求的取值范围.
【2016,21】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求的取值范围.
【2015,21】设函数.
(1)讨论的导函数零点的个数;
(2)求证:
当时,.
【2014,21】设函数,曲线在点(1,f
(1))处的切线斜率为0.
(Ⅰ)求;(Ⅱ)若存在x0≥1,使得,求的取值范围.
【2013,20】已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(1)求a,b的值;
(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
【2012,21】21.设函数.
(1)求的单调区间;
(2)若,为整数,且当时,,求的最大值.
【2011,21】已知函数,曲线在点处的切线方程为.
(1)求,的值;
(2)证明:
当,且时,.
20XX年—20XX年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编
3.导数及其应用(解析版)
一、选择题
【2016,12】若函数在上单调递增,则的取值范围是()
A.B.C.D.
解析:
选C.问题转化为对恒成立,
故,即恒成立.
令,得对恒成立.
解法一:
构造,开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值,
故只需保证,解得.故选C.
解法二:
当时,不等式恒成立;当时,恒成立,由在上单调递增,所以,故;当时,恒成立.由在上单调递增,,所以.
综上可得,.故选C.
【2014,12】已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围是()
A.B.C.D.
解:
依题a≠0,f'(x)=3ax2-6x,令f'(x)=0,解得x=0或x=,
当a>0时,在(-∞,0)与(,+∞)上,f'(x)>0,f(x)是增函数.在(0,)上,f'(x)<0,f(x)是减函数.且f(0)=1>0,f(x)有小于零的零点,不符合题意.
当a<0时,在(-∞,)与(0,+∞)上,f'(x)<0,f(x)是减函数.在(,0)上,f'(x)>0,f(x)是增函数.要使f(x)有唯一的零点x0,且x0>0,只要,即a2>4,所以a<-2.故选C
另解:
依题a≠0,f(x)存在唯一的正零点,等价于有唯一的正零根,令,则问题又等价于a=-t3+3t有唯一的正零根,即y=a与y=-t3+3t有唯一的交点且交点在在y轴右侧,记g(t)=-t3+3t,g'(t)=-3t2+3,由g'(t)=0,解得t=±1,在(-∞,-1)与(1,+∞)上,g'(t)<0,g(t)是减函数.在(-1,1)上,g'(t)>0,g(t)是增函数.要使a=-t3+3t有唯一的正零根,只要a 二、填空题 【2017,14】曲线在处的切线方程为. 【解】.求导得,故切线的斜率,所以切线方程为,即. 【2012,13】13.曲线在点(1,1)处的切线方程为_________. 【解析】.由已知,根据导数的几何意义知切线斜率, 因此切线方程为,即. 三、解答题 【2017,21】已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若,求的取值范围. 【解析】 (1) ①当时,,令,即,解得, 令,即,解得, 所以当,在上递增,在上递减. ②当时,,在上递增. ③当时,,令, 令, 所以当时,在上递增,在上递减. 综上所述: 当,在上递减,在上递增; 当时,在上递增; 当时,在上递减,在上递增. (2)由 (1)得当时,, ,得.当时,满足条件. 当时, , ,又因为,所以. 综上所述,的取值范围是. 【2016,21】已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若有两个零点,求的取值范围. 解析: (1)由题意. 当,即时,恒成立.令,则, 所以的单调增区间为.同理可得的单调减区间为. 当,即时,令,则或. (ⅰ)当,即时,令,则或, 所以的单调增区间为和.同理的单调减区间为; (ⅱ)当,即时, 当时,,,所以.同理时,. 故的单调增区间为; (ⅲ)当,即时.令,则或, 所以的单调增区间为和,同理的单调减区间为. 综上所述,当时,的单调增区间为和,单调减区间为; 当时,的单调增区间为; 当时,的单调增区间为和,单调减区间为; 当时,的单调增区间为,单调减区间为. (2)解法一(直接讨论法): 易见,如 (1)中讨论,下面先研究(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)三种情况. ①当时,由单调性可知,,故不满足题意; ②当时,在上单调递增,显然不满足题意; ③当时,由的单调性,可知, 且,故不满足题意; 下面研究, 当时,,令,则,因此只有个零点,故舍去; 当时,,,所以在上有个零点; (i)当时,由,而, 所以在上有个零点; (ii)当时,由,而, 所以在上有个零点; 可见当时有两个零点.所以所求的取值范围为. 解法二(分离参数法): 显然不是的零点, 当时,由,得. 设,则问题转化为直线与图像有两个交点, 对求导得, 所以在单调递增,在单调递减. 当时,若,,直线与图像没有交点, 若,单调递减,直线与图像不可能有两个交点, 故不满足条件; 若时,取,则, 而,结合在单调递减, 可知在区间上直线与图像有一个交点, 取,, 则,, 结合在单调递增,可知在区间上直线与图像有一个交点, 综上所述,时直线与图像有两个交点,函数有两个零点. 【2015,21】设函数. (1)讨论的导函数零点的个数; (2)求证: 当时,. 解: (Ⅰ)f'(x)=2e2x,x>0…2分 (1)若a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)恒成立,所以f'(x)没有零点;…3分 (2)若a>0时,f'(x)单调递增.当x0,f'(x)-∞;当x+∞,f'(x)+∞, 所以f'(x)存在一个零点.…6分 (Ⅱ)设f'(x)的唯一零点为k,由(Ⅰ)知(0,k)上,f'(x)<0,f(x)单调递减; 在(k,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)取最小值f(k).…8分 所以f(x)≥f(k)=e2k-alnk,又f'(k)=2e2k=0,所以e2k=,, 所以f(k)=, 所以f(x)≥.…12分 21.解析 (1),. 显然当时,恒成立,无零点. 当时,取,则,即单调递增. 令,即. 画出与的图像,如图所示. 由图可知,必有零点,所以导函数存在唯一零点. (2)由 (1)可知有唯一零点,设零点为, 由图可知,当时,,即单调递减; 当时,,即单调递增. 所以在处取得极小值,即. 又,解得.① ①两边分别取自然对数,得,即. 所以 (当且仅当,即时取等号). 【2014,21】设函数,曲线在点(1,f (1))处的切线斜率为0. (Ⅰ)求;(Ⅱ)若存在x0≥1,使得,求的取值范围. 解: (Ⅰ)(x>0),依题f' (1)=0,解得b=1,…3分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,, 因为a≠1,所以f'(x)=0有两根: x=1或。 …4分 (1)若,则,在(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以存在x0≥1,使得,的充要条件为,即, 解得。 …6分 (2)若,则,在(1,)上,f'(x)<0,f(x)单调递减, 在()时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以存在x0≥1,使得,的充要条件为, 而,所以不合题意.…9分 (3)若a>1,则。 存在x0≥1,符合条件。 …11分 综上,a的取值范围为: 。 …12分 【2013,20】已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4. (1)求a,b的值; (2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值. 解: (1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4,由已知得f(0)=4,f′(0)=4,故b=4,a+b=8. 从而a=4,b=4. (2)由 (1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)·. 令f′(x)=0得,x=-ln2或x=-2. 从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(-2,-ln2)时,f′(x)<0. 故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减. 当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2). 【2012,21】21.设函数. (1)求的单调区间; (2)若,为整数,且当时,,求的最大值. 【解析】 (1)函数的定义域为(-∞,+∞),且. 当时,,在(-∞,+∞)上是增函数; 当时,令,得. 令,得,所以在上是增函数, 令,得,所以在上是减函数, (2)若,则,. 所以, 故当时,等价于 , 即当时,().① 令,则. 由 (1)知,函数在单调递增,而,,所以在存在唯一的零点. 故在存在唯一的零点.设此零点为,则. 当时,;当时,. 所以在的最小值为. 又由,可得,所以, 由于①式等价于,故整数的最大值为2. 【2011,21】已知函数,曲线在点处的切线方程为. (1)求,的值; (2)证明: 当,且时,. 【解析】 (1),由于直线的斜率为, 且过点,故,即,解得,. (2)由 (1)知,所以. 考虑函数,则. 所以当时,.而,故当时,,可得; 当时,,可得. 从而当,且时,,即.
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- 新课 全国卷 文科 数学 分类 汇编 导数 及其 应用