圆的有关性质1doc.docx
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圆的有关性质1doc
圆的有关性质
(一)
一、内容综述:
1.圆的有关概念:
(1).圆的对称性:
圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴。
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
圆还有旋转不变性。
(2).点和圆的位置关系:
设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则:
点在圆内
d 点在圆上 d=r 点在圆外 d>r 2.有关性质: (1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 (2)同弧或等弧所对的圆周角相等,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。 (3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,900的圆周角所对的弦是直径。 (4)圆内接四边形的性质: 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 3.难点讲解: 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的实质可以理解为: 一条直线,如果它具有两个性质: (1)经过圆心; (2)垂直于弦,那么这条直线就一定具有另外三个性质: (3)平分弦,(4)平分弦所对的劣弧,(5)平分弦所对的优弧(如图所示). 如果将定理的条件与结论一个换一个或两个换两个,就可得到九个逆命题,并能证明它们都是真命题.教科书把较重要的作为推论l,而其余的作为练习题。 总之,一条直线,如果它五个性质中的任何两个成立,那么它也一定具有其余三个性质. 推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧, 推论1的实质是: 一条直线(如图) (1)若满足: i)经过圆心,ii)平分弦,则可推出: iii)垂直于弦,iv)平分弦所对的劣弧,v)平分弦所对的优弧. (2)若满足: i)垂直于弦,ii)平分弦。 则可推出: iii)经过圆心,iv)平分弦所对的劣弧,v)平分弦所对的优弧. (3)若满足;i)经过圆心,ii)平分弦所对的一条弧,则可推出: iii)垂直于弦,iv)平分弦,v)平分弦所对的另一条弧. 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等. 如图中,若AB∥CD,则 注意: 在圆中,解有关弦的问题时,常常需要作“垂直于弦的直径作为辅助线。 三、例题分析: 例1.如图,AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交,过A,B向CD引垂线,垂足分别为E,F,求证: CE=DF。 证明: 过O作OM⊥CD于M, ∴CM=DM, ∵AE⊥CD,BF⊥CD, ∴AE//OM//FB, 又∵O是AB中点, ∴M是EF中点(平行线等分线段定理), ∴EM=MF, ∴CE=DF。 说明: 此例是垂径定理及平行线等分线段定理相结合构成的命题。 由于C、D两点是轴对称点,欲证CE=DF,那么E,F也必是轴对称点,由于E,F是垂足,那么E,F也应关于某条垂线成轴对称点,这样,这两个知识的结合部分仍是含有共同的对称轴。 例2.已知△ABC内接于⊙O,且AB=AC,⊙O的半径等于6cm,O点到BC的距离为2cm,求AB的长。 分析: 因为不知道△ABC是锐角三角形,还是钝角三角形(由已知分析,△ABC不会是直角三角形,因为若是直角三角形,则BC为斜边,圆心O在BC上,这与O点到BC的距离为2cm矛盾),因此圆心有可能在三角形内部,也可能在三角形外部,所以需分两种情况进行讨论: (1)假若△ABC是锐角三角形,如图,由AB=AC, 可知, ,∴点A是弧BC中点, 连结AO并延长交BC于D,由垂径推论 可得AD⊥BC,且BD=CD,这样OD=2cm, 再连结OB,在Rt△OBD中OB=6cm, 可求出BD的长,则AD长可求出, 则在Rt△ABD中可求出AB的长。 (2)若△ABC是钝角三角形,如图, 连结AO交BC于D,先证OD⊥BC, OD平分BC,再连结OB,由OB=6cm, OD=2cm,求出BD长,然后求出AD的长, 从而在Rt△ADB中求出AB的长。 略解: (1)连结AO并延长交BC于D,连结OB, ∵AB=AC, ∴ ,∴AD⊥BC且BD=CD, ∴OD=2,BO=6, 在Rt△OBD中,由勾股定理得: BD= = =4 , 在Rt△ADB中,AD=OA+OD=8, 由勾股定理可得: AB= = =4 (cm) (2)同 (1)添加辅助线求出BD=4 , 在Rt△ADB中,AD=AO-OD=6-2=4, 由勾股定理可得: AB= = =4 (cm), ∴AB=4 cm或4 cm。 说明: 凡是与三角形外接圆有关的问题,一定要首先判断三角形的形状,确定圆心与三角形 的位置关系,防止丢解或多解。 例3.已知如图: 直线AB与⊙O交于C,D,且OA=OB。 求证: AC=BD。 证明: 作OE⊥AB于点E, ∴CE=ED, ∵OA=OB, ∴AE=BE, ∴AC=BD。 请想一下,若将此例的图形做如下变化,将如何证明。 变化一,已知: 如图,OA=OB,求证: AC=BD。 变化二: 已知如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点,求 证: AC=BD。 说明: 这三道题的共同特点是均需要过点O作弦心距,利用垂径定理进行证明,所变化的是A,B两点位置。 例4.如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=1cm,EB=5cm,∠DEB=600,求CD的长。 解: 作OF⊥CD于F,连结OD, ∵AE=1,EB=5, ∴AB=6,∴OA= =3, ∴OE=OA-AE=3-1=2, 在Rt△OEF中, ∵∠DEB=600, ∴∠EOF=300,∴EF= OE=1, ∴OF= = , 在Rt△OFD中,OF= ,OD=OA=3, ∴DF= = = (cm), ∵OF⊥CD,∴DF=CF, ∴CD=2DF=2 (cm) 说明: 因为垂径定理涉及垂直关系,所以就可出现与半径相关的直角三角形,求弦长,弦心距,半径问题,常常可以利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形,用其性质来解决问题,因而,在圆中常作弦心距或连结半径作为辅助线,然后用垂径定理来解题。 三、自测题 (一)判断正误: 1.直径是圆的对称轴。 2.三点确定一个圆 3.平分弦的直径垂直弦 4.在同圆中,等弦对等弧 5.圆心角相等,它们所对的弧相等 6.在同圆中,等弧对等弦 7.线段AB是⊙O的直径,点C在直线AB上,如果AC 8.正方形ABCD,根据经过不在同一直线上的三个点可以确定一个圆,它可以确定四个圆。 9.在⊙O中, ,那么它们所对弦的关系是AB=2CD。 10.⊙O的半径为5cm,点P到圆的最小距离与最大距离之比为2: 3,则OP长为1cm。 (二)解答题: 1.如图,在⊙O中,弦AB//EF,连结OE,OF交AB于C,D, 求证: AC=DB。 2.如图,AB是⊙O直径,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F,连结OE,OF, 求证: ∠OEF=∠OFE 四: 答案 (一) 1.×(直径所在直线是圆的对称轴) 2.×(经过不在同一直线上的三个点确定一个圆) 3.×(平分弦(不是直径)的直径垂直弦) 4.×(在同圆中,等弦所对的优(劣)弧等,因为一条弦对两条弧) 5.× 6、√ 7、× 8、× 9、× 10、×(OP的长是1cm或25cm) (二) 1.证明: 作ON⊥EF交AB于M, ∵AB//EF, ∴OM⊥AB, ∵OE=OF, ∴∠OEF=∠OFE, ∵∠OCD=∠OEF,∠ODC=∠OFE, ∴∠OCD=∠ODC, ∴OC=OD, ∴CM=DM, ∵AM=BM, ∴AC=BD 2.证明: 作OM⊥CD于M, ∵AE⊥CD于E,BF⊥CD于F, ∴AE//OM//BF, ∵OA=OB,∴EM=FM, ∴OE=OF,∴∠OEF=∠OFE 圆的有关性质 重点难点讲解: 垂径定理及其推论: 定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 推论2: 圆的两条平行弦所夹的弧相等. 注意: (1)垂径定理及其推论是证明线段相等、弧相等、角相等的重要依据.在圆中解有关弦的问题时,经常做垂直于弦的直径作为辅助线. (2)垂径定理可改写为: 如果一条直线垂直于一条弦,并且过圆心,那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧.其中有四个条件: 直线垂于于弦,直线平分弦,直线过圆心,直线平分弦所对的弧.它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立,那么另外两个也成立”.这样理解与记忆垂径定理,理解深刻,记忆准确,有利于应用. 中考典例 1.(杭州)过⊙O内一点M的最长弦长为6cm,最短弦长为4cm,则OM的长为( ) A、 cm B、 cm C、2cm D、3cm 考点: 垂径定理 评析: 因为过点M的弦最长,所以该弦应为直径,而最短弦是过M点与直径垂直的弦.再根据垂径定理,勾股定理易求OM= cm,故应选B. 2.(北京东城区)已知: 如图7-5,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8cm,OC=5cm, 则DC的长为: A、3cm B、2.5cm C、2cm D、1cm 考点: 垂径定理的应用 图7-5 评析: 连结OA(OB)由垂径定理可知AD=BD=4cm,又OA=OB=OC=5cm,运用勾股定理,可求得OD=3cm,故DC=2cm,应选C. 3.(上海市)一个圆弧形门拱的拱高为1米,跨度为4米,那么这个门拱的半径为 米. 考点: 垂径定理的应用 图7-6 评析: 根据给出的条件,可转化为如图所示的几何图形.在图中已知AB=4米,CD=1米,且CO⊥AB求OA.由垂径定理可知AD=2米,设OA=x米,则OD=OC–CD=OA–CD=x–1(米)由勾股定理可得: x2=22+(x–1)2,解之得x=OA=2.5米.即为门拱的半径. 4.(福建福州)不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点,AB是⊙O的直径,AE⊥l,垂足为E,BF⊥l,垂足为F. (a) (b) (c) 图7-7 (1)在上面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形; (2)请你观察 (1)中所画图形,写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母,找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中,不写推理过程); (3)请你选择 (1)中的一个图形,证明 (2)所得出的结论. 考点: 垂径定理的应用 评析: 根据要求在三个图中按条件画出不同的三个图 (AB与CD交于 (AB与CD交于 (AB与CD平行) ⊙O外一点) ⊙O内一点) 图7-8 通过作图易知EC=FD.过O作OG⊥CD于G,运用梯形中位线及垂直径定理即可证明结论. 注: 两个特例: 一是AB⊥CD;二是A、B与C、D其中一点重合的图形,两个特例各计一类可以得分.凡同类图形,一律只计一个图形,如AB交CD(DC)延长线的多点位置的多个图形属同类,只计一个图形. (2)各图都具有的两个线段相等的结论是: EC=FD(或ED=FC). (3)在图7-8图a、b、c图中,任选一个图形进行证明: 如选a图中,证明: 作OG⊥CD,垂足为G,则CG=GD. ∵AE⊥CD, BF⊥CD, ∴AE∥OG∥BF. 又∵AB是⊙O的直径,即OA=OB. ∴EG=GF. ∴EC=FD. 谨防解几何题时漏解 解几何题,一定要审清题意,全面考察问题反映在图形上的各种可能的情况,谨防遗漏。 例1.已知ΔABC的外接圆O,过O引BC的垂线OH,垂足为H,试问∠COH与∠A之间有何关系? 解: 根据题意应有两种情况: (1)当∠A是锐角时,如图甲。 由圆周角的定理易知∠A= ∠COB=∠COH。 (2)当∠A是钝角时,如图乙。 丙由于 所对的圆周角分别是∠ABC,∠ACB, 所对的圆心角是∠COB, 故∠COH= ∠COB= ×(2∠ABC+2∠ACB)=∠ABC+∠ACB=180°-∠A。 另外,还可以利用圆内接四边形的性质,如图丙在优弧BC取点M,∠COH= ∠COB=∠CMB=180°-∠A。 (圆内接四边形的内角互补) 例2.已知⊙O中的直径AB,弦CD,过A、O、B向CD引垂线,垂足分别为E、G、F,试问OG的长与AE、BF的长之间有何关系? 解: 根据题意有两种情况: (1)当直径与弦在圆内不相交时,如图甲。 由梯形中位线定理知OG= (AE+BF)。 (2)当直径与弦在圆内相交时,如图乙。 连结AF,延长OG必交AF的中点M,由三角形中位线定理知OM= BF,GM= AE,故OG=OM-GM= (BF-AE)。 例3.已知半径为R的半圆O,过直径AB上一点C,作CD⊥AB交半圆于D,且CD= R,试求AC的长。 解: 根据题意有两种情况: (1)当C点在A、O之间时,如图甲。 由勾股定理OC= R,故AC=R- R= R。 (2)当C点在B、O之间时,如图乙。 由勾股定理知OC= ,故AC=R+ R= R。
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