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线性规划 常见疑问解答.docx
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线性规划常见疑问解答
线性规划常见疑问解答
1. 线性规划——这一运筹学重要分支的开创者是谁?
这里,必须谈到两个著名的人物,康托洛维奇和丹捷格。
1939年著名数理经济学者康托洛维奇发表了《生产组织和计划中的数学方法》这一运筹学的先驱性名著,其中已提到类似线性规划的模型和“解乘数求解法”。
但是他的工作直到1960年的《最佳资源利用的经济计算》一书出版后,才得到重视。
1975年,康托洛维奇与T.C.Koopmans一起获得了诺贝尔经济学奖。
1947年G.B.Dantzig在研究美国空军军事规划时提出了线性规划的模型和单纯形解法,并很快引起美国著名经济学家Koopmans的注意。
Koopmans为此呼吁当时年轻的经济学家要关注线性规划。
今天,单纯形法及其理论已成为了线性规划的一个重要的部分。
2. 线性规划模型的形式是什么?
目标函数和约束条件都是线性的。
3. 线性规划模型的三要素是什么?
就是资源向量b,价值向量c,系数矩阵A。
其中,资源向量b表示了稀缺资源的种类和限度;价值向量c反映了单位产品所创造的收益或形成的成本;而系数矩阵A是现有生产技术、生产工艺、管理水平的具体体现。
只要这三个要素确定了,相应的线性规划模型就确定了。
4. 线性规划模型的经济意义何在?
简言之,线性规划模型对于解决经济学研究的核心问题——资源有效配置有比较重要的意义。
它不仅为宏观或微观的经济研究提供了一个有效的解决问题的平台,而且,为经济学家提供了一个解决资源优化配置的新的思路。
不仅如此,线性规划在企业的运作管理、物流管理、财务管理、人力资源管理、战略管理等诸多方面也能为管理者提供科学的决策支持。
5. 线性规划的标准形式是怎样的?
线性规划的标准形式有三个特点:
a) 约束条件都是等式; b) 等式约束的右端项为非负的常数;c) 每个变量都要求取非负数值。
下面是线性规划标准形式的一般表达, 6.线性规划标准形的向量矩阵形式是怎样的?
线性规划的标准形式如用向量矩阵形式可简洁表述为:
7.在将线性规划的一般形式转化为标准形式时,要注意哪几点?
要注意两点:
一是某一约束条件为“≤”或“≥”形式的不等式时,应“+”一个非负松弛变量或“-”非负松弛变量;二是某个变量不满足非负约束时,这个变量要用一到两个非负的新变量替换,以使标准型中所有的变量均满足非负要求。
8.如何将下述一般形式的线性规划问题转化为标准形?
MinZ=x1+2x2+3x3 -2x1+x2+x3≤9 -3x1+x2+2x3≥43x1-2x2-3x3=-6 x1≤0,x2≥0,x3任意。
答:
令x1’=-x1,则x1=-x1’,且x1’≥0;令x3=x3’-x3”,且x3’,x3”≥0; 在第一和第二个不等式约束中分别引入松弛变量:
x4,x5,且x4,x5≥0;同时将第三个约束条件的两边同时乘以(-1),以将右边常数项“-6”转化为“6”。
此,上述线性规划的一般形式转化为标准形。
MaxZ‘=x1’-2x2-3(x3’-x3\2x1’+x2+(x3’-x3\x4 =93x1’+x2+2(x3’-x3\x5=43x1’+2x2+3(x3’-x3\ x1’,x2,x3’,x3\x4,x5≥0. 9. 线性规划求解所需的基本概念,包含哪些?
包含可行解、可行域、最优解、基、基向量、基变量、非基变量、基解、基本可行解、退化的基本可行解、可行基、最优基等,且概念间存在紧密的关系。
10. 什么是可行解?
满足所有约束条件的解被称为可行解。
11. 什么是可行域?
所有可行解的集合被称为可行域。
12. 什么是最优解?
使目标函数值取得最优的可行解被称为最优解。
13. 基的定义是什么?
基是系数矩阵A中的线性无关的列向量构成的可逆方阵。
14. 什么是基向量?
用来构成基的列向量称为该基的基向量。
15. 一个线性规划模型的基是唯一的吗?
一般不是。
只要构成基的列向量不完全相同,基就不同。
因此,基一般可能有多个,但数目最多不超过 . 16. 仅有列向量排列顺序不同的那些基是否被视为相同的基?
是的。
仅有列向量排列顺序不同的那些基被视为相同的基。
17. 什么是基变量?
一个线性规划模型的系数矩阵A中的每个列向量实际上是每个变量在所有约束条件中的系数排成列构成的。
当某个基被选定之后,这个基所含的系数矩阵的列向量所对应的那些变量就被称为这个基的基变量。
18. 什么是非基变量?
当某个基被选定之后,这个基所含的系数矩阵的列向量所对应的那些变量就被称为这个基的基变量,而其余的变量就被称为这个基的非基变量。
19. 什么是基解?
在一个线性规划模型的标准型下,当某个基被选定之后,这个基对应的非基变量值都被令为0,此时这个线性规划模型标准型的约束条件部分就成为了一个仅包含基变量的线性方程组,求解这个线性方程组就可以把此时该基对应的基变量的值求出来。
这种做法求出的所有变量的值,被称为该基对应的基解。
一般地,也常将这种做法得到的该基所有基变量的值称为基解。
20. 什么是基本可行解?
当某个基被选定之后,如果计算出该基的基解≥0,即其中每个基变量的值都是≥0,则此基解被称为基本可行解。
21.什么是可行基?
因为cBBA-c≥0,x≥0,所以, 标函数值F都不超过基B的基解对应的目标函数值 -1 .即任一可行解x对应的目 ,故,与基B对应的基 本可行解xB=B-1b,xN=0为最优解,此时的基B称为最优基。
40. 是否单纯形法的初始基一定要是单位阵?
这是不一定的。
之所以计算时,初始基一般都用单位阵,原因有两个:
一个是单位阵样的基确实存在;另一个是单位阵的逆矩阵最简单易求。
实际上,从任何一个基开始单纯形法的计算都是可以的。
41. 单纯形法的思想是怎样的?
因为只要最优解存在,就一定可在某个基本可行基上取得。
而可行基有多个,不可能用穷举法逐一验证,得到最优基,故采取换基迭代的方法,从容易计算其逆的初始基对应的单纯形表开始,逐步得到不同的可行基对应的单纯形表,直至找到最优基对应的单纯形表为止。
42.换基迭代的过程实质是什么?
换基迭代的过程实质上是将一个基对应的单纯形表转到另一个基对应的单纯形表的不断在目标函数值上进行改进的过程。
其核心内容是利用初等行变换求另一个基的逆矩阵。
所以,对于线性代数比较熟练的人而言,换基迭代还可直接通过初等行变换进行。
换基迭代的公式实际上就是这一过程的具体体现。
43. 完整的单纯形法的计算步骤是怎样的?
计算步骤可见下图。
44. 如何用单纯形法求解如下线性规划问题?
MaxZ=2x1+x2 x1 ≤3 ①3x1+x2≤12 ② x1+x2≤5 ③x1,x2≥0答:
a) 引入松弛变量x3,x4,x5化为标准形 MaxZ=2x1+x2 x1 +x3 =3 ① 3x1+x2 +x4 =12 ② x1+x2 +x5=5 ③x1,x2,x3,x4,x5≥0 b)单纯形法求解过程 c) 最优解为x1=3,x2=2,x3=0,x4=1,x5=0. 45. 每张单纯形表的基是否相同?
每张单纯形表的基是不相同的,一个基一一对应于一张单纯形表。
46. 单纯形法出现死循环的情形如何避免?
当存在退化的基本可行解时,可能会出现死循环的情形。
为避免此情形的发生,可运用BLAND法则,即确定谁入基时,若最小负检验数不唯一,则选位置最靠前的检验数处入基;确定主元素时,若最小比值不唯一,则将取得最小比值的入基列中位置最靠前的元素,作为主元素。
其它的方法还有几种,可自己去寻找相应的参考书。
47. 如下线性规划问题中,单纯形法求解过程的每张表所显示的基本可行解对应于图中可行域上的哪个点?
MaxZ=2x1+x2 x1 ≤3① 3x1+x2≤12② x1+x2≤5③x1,x2≥0 答:
a) 单纯形法求解过程 b) 图解法 c) 对应关系 每张单纯形表所对应的可行基每张单纯形表所显示的基本可行解基本可行解所对应的图示可行域顶点(P3,P4,P5)(P1,P4,P5)(P1,P4,P2)(003125)(30032)(32010)DAB48. 当在系数矩阵A中,找不到单位阵形式的基作为初始基时,怎么办?
当在系数矩阵A中,找不到单位阵形式的基作为初始基时,一种直观的思想可供借鉴——构造一个与现在的线性规划有密切关系的新的线性规划问题,通过 求解这个新的线性规划问题,从而找出原线性规划的最优解。
这种思想产生了两种典型做法:
大M法、两阶段法,统称人工变量法。
49. 大M法的参数M表示的是无穷大的数吗?
M在计算时,可看作一个非常大的参数,但M并不是无穷大,理论上可以证明,M只要取到某个数值以上就可以了。
50.大M法的解与原线性规划问题解的关系是什么?
大M法的解与原线性规划问题解的关系是 i. 若原线性规划问题有最优解X*,则 是线性规划问题的最优解。
ii. 若线性规划问题有最优解的最优解。
,则X*是原线性规划问题 iii. 若线性规划问题没有最优解,则原线性规划问题也无最优解。
iv. 若线性规划问题有最优解,但其最优解题也无最优解。
,则原线性规划问 51. 如何用大M法求解如下的线性规划问题?
MinZ=2x1+3x2+x3 x1+4x2+2x3≥8 3x1+2x2 ≥6 x1,x2,x3≥0答:
a) 原问题的标准形式如下, MinZ=2x1+3x2+x3 x1+4x2+2x3-x4=8 3x1+2x2 -x5=6 x1,x2,x3,x4,x5≥0 显然,该线性规划问题没有单位阵样的初始基。
b) 运用大M法,构造一个新的线性规划问题(P) MinZ=2x1+3x2+x3+My6+My7 x1+4x2+2x3-x4+y6 =8 3x1+2x2 -x5 +y7=6 x1,x2,x3,x4,x5,y6,y7≥0其中,y6,y7是人工变量。
c) 运用单纯形法求解如下, d) 求原问题的解 因为新的线性规划问题(P)的最优解中人工变量y6,y7=0,所以,问题(P)关于x的最优解x1=4/5,x2=9/5,x3=x4=x5=0,即是原问题的最优解。
52.掌握建模技能的意义何在?
建模是管理量化研究的重要前提。
问题系统中各因素间的逻辑关系和解决问题的目标通过数学模型语言描绘就会显得简洁和明晰。
同时,复杂的实际问题也必须通过模型才能实现计算机求解和人机交互。
因此,建模是解决实际问题的必不可少的重要环节。
遗憾的是,模型语言如巫语般常使一般人望而却步,因此,需要长期的建模素养的训练和不断的思考,才能更好地掌握这一经济管理量化研究的基本技能。
53.如何面向实际问题建立线性规划的模型?
a)确定实际问题是关于线性系统的优化问题。
b)确定解决实际问题的目标,如利润最大化或成本费用最小化目标;c) 寻求实现目标的途径及方案,如生产计划方案、人员安排方案、资金配置方案、物资调运方案等等。
d)解析决定或构成方案的因素。
如生产计划的决定或构成因素可以是各种产品的生产数量,可以是每个生产周期的生产数量;人员安排的决定或构成因素可以是每日上岗的人数,从事每项工作的人员数;资金配置的决定或构成因素可以是每个项目的投入资金量;物资调运的决定或构成因素可以是从某处到某处的物资调运量,等等。
这些因素被称为决策变量,它们的确定是建立线性规划模型的关键。
e)辨识资源及资源和其它条件的限制,并转化为数学模型语言形式——关于决策变量的约束条件。
f) 建立目标函数。
g)模型审定。
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