离散数学第五版清华大学出版社第4章习题解答.docx

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离散数学第五版清华大学出版社第4章习题解答

离散数学（第五版）清华大学出版社第4章习题解答

4．1A：

⑤；B：

③；C：

①；D：

⑧；E：

⑩

4．2A：

②；B：

③；C：

⑤；D：

⑩；E：

⑦

4．3A：

②；B：

⑦；C：

⑤；D：

⑧；E：

④

分析题4.1-4.3都涉及到关系的表示。

先根据题意将关系表示成集合表达式，然后再进行相应的计算或解答，例如，题4.1中的

Is={<1,1>,<2,2>},Es={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}

Is={<1,1>,<1,2>,<2,2>};

而题4.2中的

R={<1,1>,<1,4>,<2,1>,<3,4>,<4,1>}.

为得到题4.3中的R须求解方程x+3y=12，最终得到

R={<3,3>,<6,2>,<9,1>}.

求RoR有三种方法，即集合表达式、关系矩阵和关系图的主法。

下面由题4.2的关系分别加以说明。

1°集合表达式法

将domR,domRUran,ranR的元素列出来，如图4.3所示。

然后检查R的每个有序对，若∈R，则从domR中的x到ranR中的y画一个箭头。

若danR中的x经过2步有向路径到达ranR中的y，则∈RoR。

由图4.3可知

RoR={<1,1>,<1,4><4,1>,<4,4>,<2,1>,<2,4>,<3,1>}.

如果求FoG，则将对应于G中的有序对的箭头画在左边，而将对应于F中的有序对的箭头画在右边。

对应的三个集合分别为domG,ranUdomF,ranF，然后，同样地寻找domG到ranF的2步长的有向路径即可。

2°矩阵方法

若M是R的关系矩阵，则RoR的关系矩阵就是M·M，也可记作M，在计算2

48

乘积时的相加不是普通加法，而是逻辑加，即0+0=0，0+1=1+0=1+1=1，根据已知条件得

⎡1001⎤⎡1001⎤⎡1001⎤

⎢1000⎥⎢1000⎥⎢1001⎥

2⎢⎥⎢⎥⎢⎥

M=⎢⎥⋅⎢⎥=⎢⎥

⎢0001⎥⎢0001⎥⎢1000⎥

⎣1000⎦⎣1000⎦⎣1001⎦

M2中含有7个1，说明RoR中含有7个有序对。

图4.3图4.4

3°关系图方法

n''

设G是R的关系图。

为求R的关系图G，无将G的结点复制到G中，然后依次检查G的每个结点。

如果结点x到y有一条n步长的路径，就在G'中从x到y加一条有向边。

当所有的结点检查完毕，就得到图G'。

以题4.2为例。

图4.4

（1）表示R的关系图G。

依次检查结点1，2，3，4。

从1出发，沿环走2步仍回到1，所以，G'中有过1的环。

从1出发，经<1,1>和<1,4>，2步可达4，所以，'中有从1到4的边。

结点1检查完毕。

类似地检查其他3个结点，2

G

步长的路径还有2→1→1，2→1→4，3→4→1，4→1→1，4→1→4。

将这些路径

'2

对应的边也加到G中，最终得到R的关系图。

这个图给在图4.4

（2）.

4．4A：

④；B：

⑧；C：

⑨；D：

⑤；E：

⑩

分析根据表4.1中关系图的特征来判定R1,R2,LR5的性质，如表4.2所示。

表4.2

49

自反反自反对称反对称传递

R√

1

R2

R√

3√√√√

R4

R5√√√√

从表中可知R1,R2和R3不是传递的，理上如下：

在R1中有边<3,1>和<1,2>，但缺少边<3,2>.在R2中有边<1,3>和<3,2>，但缺少边<1,2>。

在R3中有边<1,2>和<2,1>，但缺少过1的环。

4.5A：

①；B：

③；C：

⑧；D：

⑨；E：

⑤

分析等价关系和划分是两个不同的概念，有着不同的表示方法，等价关系是有序对的集合，而划分是子集的集合，切不可混淆起来，但是对于给定的集合A，A上的等价关系R和A的划分π中一一对应的，这种对应的含义是

∈R⇔x和y在π的同一划分块里。

拘句话说，等价说系R的等价类就是划分π的划分块，它们表示了对A中元素的同一种分类方式。

给定划分π，求对应的等价关系R的方法和步骤说明如下：

1°设π中含有两个以上元素的划分块有l块，记作B1,B2,L.Bt。

若Bi={x1,x2,L,xj}，j≥2，则∈Ri,s,t=1,2,L,j,s≠t.求出R1,R2,L,Rt。

2°R=R1UR2ULURtUIA.

本题中的π的划分块都是单元集，没有含有个以上元素的划分块，所以，

1

R=IA,π2含有两个划分块，故对应地等价关系含有两个等价类。

π3中只有一个划分块Z+.Z+包含了集合中的全体元素，这说明∈R⇔x,y∈Z+,因此，

1

这个划分块对应的关系R就Z+上的全域关系，从而得到R=RUI也是Z+上的

11A

全域关系。

4．6A：

③；B：

⑩；C：

⑤；D：

⑩；E：

⑤

50

分析画哈斯图的关键在于确定结点的层次和元素间的盖住关系，下面讨论一下画图的基本步骤和应该注意的问题。

画图的基本步骤是：

1°确定偏序集中的极小元，并将这些极小元放在哈斯图的最底层，记为第0层。

2°若第n层的元素已确定完毕，从A中剩余的元素中选取至少能盖住第n层中一个元素的元素，将这些元素放在哈斯图的第n+1层。

在排列第n+1层结点的位置时，注意把盖住较多元素的结点放在中间，将只盖住一个元素的结点放在两边，以减少连绩的交叉。

3°将相邻两层的结点根据盖住关系进行连线。

以本题的偏序集为例，1可以整除S中的全体整数，故1是最小元，也是唯一的极小元应该放在第0层。

是1的倍数，即2，3，5，7，S中剩下的元素是4，6，8，9，10。

哪些应该放在第2层呢？

根据盖住关系，应该是4，6，9和10。

因为4盖住，2，6盖住2和3，9盖住3，10盖住2和5.8不盖住2，3，5，7中的任何一个元素，最后只剩下一个8放在第3层。

图4.5给出了最终得到的哈斯图。

在整除关系的哈斯图中，盖住关系体现为最小的倍数或最小的公倍数关系。

如果偏序集是，那么哈斯图的结构将呈现出十分规则的形式。

第0层是空集∅，第1层是所有的单元集，第2层是所有的2元子集，…，直到最高层的集合A。

这里的盖住关系就体现为包含关系。

在画哈斯图时应该注意下面几个问题。

1°哈斯图中不应该出现三角形，如果出现三角形，一定是盖住关系没有找

51

对。

纠正的方法是重新考察这3个元素在偏序中的顺序中的顺序，然后将不满足盖住关系的那条边去掉。

请看图4.6

（1）中的哈斯图。

图中有两个三角形，即三角形abc和abd。

根据结点位置可以看出满足如下的偏序关系：

apb,apc,bpc,apd,bpd

从而得到apbpc和apbpd。

这就说明c和d不盖住a，应该把ac边和ad边从图中去掉，从而得到正确的哈斯图，如图4.6

（2）所示。

2°哈斯图中不应该出现水平线段。

根据哈斯图的层次结构，处在同一水平位置的结点是同一层的，它们没有顺序上的“大小”关系，是不可比的。

出现这种错误的原因在于没有将“较大”的元素放在“较小”元素的上方。

纠正时只要根据“大小”顺序将“较大”的元素放到更高的一层，将水平线改为斜一就可以了。

3°哈斯图中应尽量减少线的交叉，以使得图形清晰、易读，也便于检查错误，图形中线的交叉多少主要取决于同一层结点的排列顺序，如果出现交叉过多，可以适当调正结点的排列顺序，注意变动结点时要同时移动连线。

最后谈谈怎样确定哈斯图中的极大元、极小元、最大元、最小元、最小上界和最大下界，具体的方法是：

1°如果图中有孤立结点，那么这个结点既是极小元，也是极大元，并且图中既元最小元，也元最大元（除了图中只有唯一孤立结点的特殊情况）。

2°除了孤立结点以外，其他的极小元是图中所有向下通路的终点，其他的极大元是图中所有向上通路的终点。

3°图中唯一的极小元是最小元，唯一的极大元是最大元；否则最小元和最大元不存在。

4°设B为偏序集的子集，若B中存在最大元，它就是B的最小上界；否则从A-B中选择那些向下可达B中每一个元素的结点，它们都是B的上界，其中的最小元是B的最小上界。

类似地可以确定B的最大下界。

观察图4.5,1是所有向下通路的终点，是极小元，也是最小元，向上通路的终点有9，6，8，10和7，这些是极大元。

由于极大元不是唯一的，所以，没有最在元。

地于整个偏序集的最小上界和最大下界，就是它的最在元和最小元，因此，该偏序集没有最小上界，最大下界是1。

52

4.7A：

④；B：

⑤；C：

③；D：

①；E：

⑦

4.8A：

②；B：

①；C：

④；D：

②；E：

⑨

分析给定函数f:

A→B，怎样判别它是否满足单射性呢？

通常是根据函数的种类采取不同的方法。

1°若f:

A→B是实数区间上的连续函数，那么，可以通过函数的图像来判别它的单射性。

如果f的图像是严格单调上升（或下升）的，则f是单射的。

如果在f的图像中间有极大或极小值，则f不是单射的。

2°若f不是通常的初等函数。

那么，就须检查在f的对应关系中是否存在着多对一的形式，如果存在x1,x2∈A,x1≠x2但f（x1）=f（x2），这就是二对一，即两个自变量对应于一个函数值，从而判定f不是单射的。

下面考虑满射性的判别，满射性的判别可以归结为f的值域ranf的计算。

如果ranf=B，则f:

A→B是满射的，否则不是满射的。

求ranf的方法说明如下：

1°若f:

A→B是实数区间上的初等函数，为了求ranf首先要找到f的单调区间。

针对f的每个单调区间求出f的该区音的最小和最大值，从而确定f在这个区间的局部值域。

ranf就是所有局部值域的并集。

对于分段的初等函数也可以采用这种方法处理。

2°若f是用列元素的方法给出的，那么ranf就是所有有序对的第二元素构成的集合。

本题中只有f1是定义于实数区间上的初等函数。

易见，指数函数的图像是严格单调上升的，并且所有的函数值都大于0。

从而知道f1是单射的，但不是满射的。

对于f2，由

f2

（1）=f2（−1）=1可知，它不是单射的。

但ranf2=N，所以，它是满射的。

f3既不是单射的，也不是满射的，因为f3（3）=f3（0）=0,且f3={0,1,2}.f4是

53

单射的，但不是满射的。

因为m≠n时,必有≠,但<1,1>∉ranf4.

4.9A：

③；B：

①；C：

⑦；D：

⑤；E：

⑨

分析1）先求出T的特征函数χT={,,}，它是从S到{0,1}的函数。

而Ss中的函数是从{a,b,c}到{a,b,c}的函数，这就是说该函数应包含3个有序对，有序对的第一元素是a,b,c，而第二元素应该从a,b,c中选取（可以重复选取）。

不难年出只有①满足要求。

（2）等价关系R对应的划分就是商集S/R。

检查R的表达式，如果∈R，那么x,y就在同一个等价类。

不难看出S中的元素被划分成两个等价类：

{a,b},{c}，因而对应的划分有2个划分块。

考虑自然映射g:

S→S/R它将,S中的元素所在的等价类，即将a映到[a]={a,b}，将b映到[b]={a,b}，将c映到[c]={c}，将g写成集合表达式就是

g={,,}.

通常的自然映射是满射的，但不一定是单射的，除非等价关系为恒等关系，这时每个等价类只含有一个元素，不同元素的等价类也不同，g就成为双射函数了。

4.11

（1）

R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,

<3,3>,<3,6><4,4>,<5,5>,<6,6>}.

（2）

R={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,3>,<4,1>,<4,2>,<4,4>,<5,1>,

<5,5>,<6,1><6,2>,<6,3>,<`6,6>}.

（3）R={<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,3>,<2,4>,<3,1>,<3,2>,<3,4>,<3,5>,

<4,2>,<4,3><4,5>,<4,6>,<5,3>,<5,6>,<6,4>,<6,5>}.]

54

4.12对称性

4.13R1oR2={},

R2oR1={,},

R2={,,},

1

R3={,,},

2

4.14

图4.7

分析根据闭包的计算公式

r（R）=RUR0,s（R）=RUR−1,t（R）=RUR2UL

可以得到由关系图求闭包的方法.

设G是R的关系图,G的结点记为x1,x2,L,xn,r（R）,s（R）,t（R）的关系图分别记作Gr,Gs和Gt.

为求Gr,先将图G的结点和边拷贝到Gr中缺少环的结点都加上环就得到了r（R）的关系图.

为求Gs,也须将图G拷贝到Gs,然后检查Gs的每一对结点xi和xj（i≠j）.如果在xi和xj之间只存在一条单向的边,就在这两个结点间加上一条方向相反的边.当Gs中所有的单向边都变成双向边以后就得到了s（R）的关系图.

最后拷虑Gt.首先将图G拷贝到Gt,然后从x1开始依次检查x1,x2,L,xn.在

55

检查结点xi（i=1,2,L,n时，要找出从xi出发经过有限步（至少1步，至多n步））

可达的所结点（包括xi自己在内）。

如果从xi到这种结点之间缺少边，就把这条边加到G中，当n个结点全部处理完毕，就得到t（R）的关系图。

t

以本题为例，依次检查结点a,b,c,d从a出发可达b,.c,d,e四个结点，所以图Gt中应该加上a→c,a→d和的边。

从b出发可达c,d,e三个结点，所以，图Gt中应该加上b→d的边。

从c出发可达c和d，在Gt中应该加上边c→c，即通过c的环，类似地分析可以知道，在Gt中还应该加上过d的环。

4．15若S不是单元集，则P（S）−{∅}不构成S的划分。

4．16在图4.8

（1）中极小元、最小元是1，极大元、最大元是24，在图4.8

（2）中极小元、最小元是1，极大元是5，6，7，8，9，没有最大元。

4．17

（1）不能；

（2）能；（3）不能。

分析函数和关系的区别在于它们的对应法则。

在关系R的表达式中，如果∈R，就说x对应到y，对于二元关系R，这种对应可以是一对一的，多对一的和一对多的。

这里的一对多指的是一个x对应到多个y，但是对于函数，则不允许这种一对多的对应。

至于单射函数，不但不允许一对多，也不允许多对一，只能存在一对一的对应。

为了判别一个关系是否为函数，就要检查关系的对应中是否存在一对多的情况。

如本题中的

（1）式，<1,2>和<1,1>同时在关系中出现，因此不是函数。

又如（3）式，<1,1>和<1,-1>也同时在关系中出现，破坏了函数定义。

4．18当R=IS时满足要求。

56

4．19fof,gof,fog,hog,fogoh∈NN，且

fof（n）=n+2.gof（n）=2n+2,

fog（n）=2n+1.hog（n）=0,

goh=⎧0n为偶数

⎨2n为奇数,

⎩

⎧1n为偶数

fogoh（n）=⎨

⎩3n为奇数.

分析注意合成的正确表示方法。

表示f和g合成的方法有两种：

1°说明fog是从哪个集合到个集合的函数，然后给出fog（x）的计算公式。

2°给出fog的集合表达式。

本题中的结果都采用了第一种表示方法，先说明地果函数是从N到N的函数，然后分别给出函数值的计算公式。

也可以彩用第二种方法，如

fof={|n∈N},

fogoh={,z|x,y∈N且x为偶数,y为奇数}.

但是，如果写成fof=n+2就错了，因为fof是函数，是有序对的集合，与函数值fof（n）是根本不同的两回事，不能混为一谈。

4．20f−1:

R×R→R×R,

−1x+yx−y

f（）=<2,2>.

分析首先由f的双射性确定f−1一定存在，然后通过f的定义求出反函数的对应法则。

设f将对应到。

根据f的定义有

=⇒x+y=u∧x−y=v

⇒2x=u+v∧2y=u−v⇒x=u+v∧y=u−v.

22

因而反函数的对应法则是对应到u+v,u−v。

22

4．21

（1）如下列出gof的对应关系

57

x012345678…

f（x）123405678…

g（f（x））313203334…

从而得到gof:

N→N

⎧

⎪3x=0,2或大于等于5的奇数

⎪1x=1

gof（x）=⎪2x=3

⎨

⎪xx≥6且x为偶数

⎪2

⎪0x=4

⎩

gof是满射的，但不是单射的。

（2）gof（{0,1,2}）={1,3}.

4．22

（1）P（A）={∅,{a},{b},{a,b}},

BA={f,f,f,f},其中

1234

f1={,{b,0>,f2={},

f2={,{b,0>,f4={},

（2）令f:

P（A）→BA，且

f（∅）=f1,f（{a}）=f2,f（{b}）=f3,f（{a,b}）=f4

分析对于任意集合A，都可以构造从P（A）到{0,1}A的双射函数，任取A的子集B∈P（A）,B的特征函数χB:

A→{0,1}定义为

⎧1x∈B

χ（x）=⎨

B0x∈A−B

⎩

不同的子集的特征函数也不同，因此，令

ϕ:

P（A）→{0,1}A

ϕ（B）=χB

ϕ是P（A）到{0,1}A的双射，在本题的实例中的ϕ是ϕ（∅）=f,ϕ（{a}）=f,

13

58

ϕ（{b}）=f2,ϕ（{a,b}）=f4.

4．23

（1）f:

A→B,f（x）=2x

（2）f:

A→B,f（x）=sinx.

分析给定集合A，B，如何构造从A到B的双射？

一般可采用下面的方法处理。

1°若A，B都是有穷集合，可以先用列元素的方法表示A，B，然后顺序将A中的元素与B中的元素建立对应，如习题4.22.

1°若A，B都是有穷集合，可以先用列元素的方法表示A，B，然后顺序将A中的元素与B中的元素建立对应，如习题4.22。

2°若A，B是实数区间，可以采用直线方程

作为从A到B的双射函数。

例如，A=[1,2],B=[2,6]是实数区间。

如图4.9

所示，先将A，B区间分别标记在直角坐标系的x

轴和y轴上，过（1，2）和（2，6）两点的直线方

程将A中的每个数映到B中的每个数，因此，该直线方程所代表的一次函数就是从A到B的双射函数。

由解析几何的知识可以得到双射函数f:

A→B,f（x）=4x−2.

这种通过直线方程构造双射函数的方法对任意两个同类型的实数区间（同为闭区间、开区间或音开半闭的区间）都是适用的。

但对半开半闭的区间要注意开端点与开端点对应，闭端点与闭端点对应。

此外还要说明一点，对于某些特殊的实数区间可能选择其他严格单调的初等函数更方便，例如，A=[−1,1],B=[−π,π]，那么取f（x）=arcsinx即可。

22

3°A是一个无穷集合，B是自然数集N。

为构造从A到B的双射只须将A中的元素排成一个有序序列，且指定这个序列的初始元素，这就叫做把A“良序化”。

比如说A良序化以后，是集合{x0,x1,x2L}，那令f:

A→B,

f（xi）=i,i=0,1,2,Lf就是从A到B的双射。

59

例如，构造从整数集Z到自然数集N到自然数集N的双射。

如下排列Z中元素，然后列出对应的自然数，即

Z:

0,−1,1,−2,2,−3,3,L

Z:

0,1,2,−2,2,3,4,,5,6L

观察这两个序列，不难找到对应法则。

⎧2xx≥0

f:

Z→N,f（x）=⎨

⎩−2x−1x<0

显然f是从Z到N的双射。

最后要指出，并不是任何两个集合都可以构造双射的。

比如说，含有元素不一样多的有穷集之间不存在双射。

即使都是无穷集也不一定存在双射，如实数集R和自然数集N之间就不存在双射。

这就涉及到集合“大小”的描述和度量方法，限于篇幅地此就不进行探入讨论了，有兴趣的读者可以阅读其他的《离散数学》书籍。

4．24f1（x）=f1（y）⇔x=y,R1为N上的恒等关系，且有

N/R1={{n}}|n∈N}.

f2（x）=f2（y）⇔x与y的奇偶性相同。

在N中的所有奇数构成一个等价类，所有的偶数构成另一个等价类。

因此，

N/R2={{2n|n∈N},{2n+1|n∈.N}}.

f3（x）=f3（y）⇔x=y（mod3），即x除以3的余数与y除以3的余数相等。

根据余数分别这0，1，2，可将N中的数分成3个等价类，因而

N/R3={{3n|n∈N},{3n+1|n∈.N}}.

4．25

（1）fog:

N→R,fog（x）=x2−x

60

fog不是单射也不是满射。

fog（A）={2,12,30,56,90}

fog（B）={0}。

x2

（2）fog:

Z→R,fog（x）=efog不是单射也不是满射。

n2

fog（A）={e|n∈N}.

4n2

fog（B）={e|n∈N}.