微观作业P96页.docx

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微观作业P96页

P96页

2.假设某消费者的均衡如图（即教材中第96页的图）所示。

其中，横轴OX1和纵轴OX2分别表示商品1和商品2的数量，线段AB为消费者的预算线，曲线

某消费者的均衡

U为消费者的无差异曲线，E点为效用最大化的均衡点。

已知商品1的价格P1＝2元。

（1）求消费者的收入；

（2）求商品2的价格P2；

（3）写出预算线方程；

（4）求预算线的斜率；

（5）求E点的MRS12的值。

解：

（1）图中的横截距表示消费者的收入全部购买商品1的数量为30单位，且已知P1＝2元，所以，消费者的收入M＝2元×30＝60元。

（2）图中的纵截距表示消费者的收入全部购买商品2的数量为20单位，且由

（1）已知收入M＝60元，所以，商品2的价格P2＝

＝

＝3元。

（3）由于预算线方程的一般形式为

　　P1X1＋P2X2＝M

所以，由

（1）、

（2）可将预算线方程具体写为：

2X1＋3X2＝60。

（4）将（3）中的预算线方程进一步整理为X2＝－

X1＋20。

很清楚，预算线的斜率为－

。

（5）在消费者效用最大化的均衡点E上，有MRS12＝

，即无差异曲线斜率的绝对值即MRS等于预算线斜率的绝对值

。

因此，MRS12＝

＝

。

5已知某消费者每年用于商品1和商品2的收入为540元，两商品的价格分别为P1＝20元和P2＝30元，该消费者的效用函数为U＝3X1X

，该消费者每年购买这两种商品的数量应各是多少？

每年从中获得的总效用是多少？

解：

根据消费者的效用最大化的均衡条件

＝

其中，由U＝3X1X

可得

　　MU1＝

＝3X

　　MU2＝

＝6X1X2

于是，有

＝

整理得　X2＝

X1　

（1）

将式

（1）代入预算约束条件20X1＋30X2＝540，得

　　20X1＋30·

X1＝540

解得　　X

＝9

将X

＝9代入式

（1）得

　　X

＝12

因此，该消费者每年购买这两种商品的数量应该为将以上最优的商品组合代入效用函数，得

　　U*＝3X

（X

）2＝3×9×122＝3888

它表明该消费者的最优商品购买组合给他带来的最大效用水平为3888。

9.假定某消费者的效用函数为U＝q0.5＋3M，其中，q为某商品的消费量，M为收入。

求：

（1）该消费者的需求函数；

（2）该消费者的反需求函数；

（3）当p＝1/12，q＝4时的消费者剩余。

解答：

（1）由题意可得，商品的边际效用为

　　MU＝

＝0.5q－0.5

货币的边际效用为

　　λ＝

＝3

于是，根据消费者均衡条件

＝λ，有

　　0.5q－0.5/P＝3

整理得需求函数为q＝1/36p2

（2）由需求函数q＝1/36p2，可得反需求函数为

　　p＝

（3）由反需求函数p＝

，可得消费者剩余为

将p＝1/12，q＝4代入上式，则有消费者剩余

　　CS＝1/3

12.已知某消费者的效用函数为U＝X1X2，两商品的价格分别为P1＝4，P2＝2，消费者的收入是M＝80。

现在假定商品1的价格下降为P1＝2。

求：

（1）由商品1的价格P1下降所导致的总效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？

（2）由商品1的价格P1下降所导致的替代效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？

（3）由商品1的价格P1下降所导致的收入效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？

解：

利用图3—7解答此题。

在图3—7中，当P1＝4，P2＝2时，消费者的预算线为AB，效用最大化的均衡点为a。

当P1＝2，P2＝2时，消费者的预算线为AB′，效用最大化的均衡点为b。

图3—7

（1）先考虑均衡点a。

根据效用最大化的均衡条件

MRS12＝

＝

，于是有MRS12＝2，

（1）

由MU1=X2MU2=X1

（2）

由

（1）

（2）可得：

X2=2X1（3）

将（3）代入预算约束等式4X1＋2X2＝80，有

　　　　　X2＝20

进一步得：

X1＝10

则最优效用水平为

　　U1＝X1X2＝10×20＝200

再考虑均衡点b。

当商品1的价格下降为P1＝2时，与上面同理，根据效用最大化的均衡条件MRS12＝

＝

，解得：

X1＝X2。

将X1＝X2代入预算约束等式2X1＋2X2＝80，解得X1＝20，X2＝20。

从a点到b点商品1的数量变化为ΔX1＝20－10＝10，这就是P1变化引起的商品1消费量变化的总效应。

（2）为了分析替代效应，作一条平行于预算线AB′且相切于无差异曲线U1的补偿预算线FG，切点为c点。

在均衡点c，根据MRS12＝

＝

的均衡条件，有X1＝X2。

将X1＝X2代入效用约束等式U1＝X1X2＝200，解得X1＝14，X2＝14（保留整数）。

从a点到c点的商品1的数量变化为ΔX1＝14－10＝4，这就是P1变化引起的商品1消费量变化的替代效应。

（3）至此可得，从c点到b点的商品1的数量变化为ΔX1＝20－14＝6，这就是P1变化引起的商品1消费量变化的收入效应。

当然，由于总效应＝替代效应＋收入效应，故收入效应也可由总效应ΔX1＝10减去替代效应ΔX1＝4得到，仍为6。

16.分别用图分析正常物品、低档物品和吉芬物品的替代效应和收入效应，并进一步说明这三类物品的需求曲线的特征。

解：

要点如下：

（1）当一种商品的价格发生变化时所引起的该商品需求量的变化可以分解为两个部分，它们分别是替代效应和收入效应。

替代效应是指仅考虑商品相对价格变化所导致的该商品需求量的变化，而不考虑实际收入水平（即效用水平）变化对需求量的影响。

收入效应则相反，它仅考虑实际收入水平（即效用水平）变化导致的该商品需求量的变化，而不考虑相对价格变化对需求量的影响。

（2）无论是分析正常物品还是低档物品，甚至吉芬物品的替代效应和收入效应，都需要运用的一个重要分析工具即补偿预算线。

在图1中，以正常物品的情况为例加以说明。

图1中，初始的消费者效用最大化的均衡点为a点，相应的正常物品（即商品1）的需求为x11。

价格P1下降以后的效用最大化的均衡点为b点，相应的需求量为x12。

即P1下降的总效应为x11x12，且为增加量，故有总效应与价格成反方向变化。

图1

然后，作一条平行于预算线AB′且与原有的无差异曲线U1相切的补偿预算线FG（以虚线表示），相应的效用最大化的均衡点为c点，而且注意，此时b点的位置一定处于c点的右边。

于是，根据

（1）中的阐述，则可以得到：

给定的代表原有效用水平的无差异曲线U1与代表P1变化前后的不同相对价格的（即斜率不同的）预算线AB、FG分别相切的a、c两点，表示的是替代效应，即替代效应为x11x13，且为增加量，故有替代效应与价格成反方向变化；代表不同效用水平的无差异曲线U1和U2分别与两条代表相同相对价格的（即斜率相同的）预算线FG、AB′相切的c、b两点，表示的是收入效应，即收入效应为x13x12，且为增加量，故有收入效应与价格成反方向变化。

最后，由于正常物品的替代效应和收入效应都分别与价格成反方向变化，所以，正常物品的总效应与价格一定成反方向变化，由此可知，正常物品的需求曲线是向右下方倾斜的。

（3）关于低档物品和吉芬物品。

在此略去关于这两类商品的具体的图示分析。

需要指出的要点是，这两类商品的替代效应都与价格成反方向变化，而收入效应都与价格成同方向变化，其中，大多数低档物品的替代效应大于收入效应，而低档物品中的特殊商品吉芬物品的收入效应大于替代效应。

于是，大多数低档物品的总效应与价格成反方向变化，相应的需求曲线向右下方倾斜，低档物品中少数的特殊商品即吉芬物品的总效应与价格成同方向的变化，相应的需求曲线向右上方倾斜。

（4）基于（3）的分析，所以，在读者自己利用与图3—9相似的图形来分析低档物品和吉芬物品的替代效应和收入效应时，在一般的低档物品的情况下，一定要使b点落在a、c两点之间，而在吉芬物品的情况下，则一定要使b点落在a点的左边。

唯有如此作图，才符合（3）中理论分析的要求。