届高三数学一轮复习人教版通用教师讲义第4章 三角函数与解三角形 全套打包下载含详细答案.docx
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第4章三角函数与解三角形
第17讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1.角的概念的推广
(1)定义:
角可以看成平面内的一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
(2)分类:
按旋转方向分为 、 和零角;按终边位置分为 和轴线角.
(3)终边相同的角:
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S= .
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:
把长度等于 的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad.
(2)公式:
角α的弧度数的绝对值
|α|=(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°=rad,②1rad=
°
弧长公式
弧长l=
扇形面积公式
S=lr=|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义:
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sinα= ,cosα= ,tanα=(x≠0).
(2)几何表示(单位圆中的三角函数线):
图3-17-1中的有向线段OM,MP,AT分别称为角α的 、 和 .
(Ⅰ) (Ⅱ)
(Ⅲ) (Ⅳ)
图3-17-1
常用结论
象限角与轴线角
(1)象限角
(2)轴线角
题组一 常识题
1.[教材改编]终边落在第一象限角平分线上的角的集合是 .
2.[教材改编]
(1)67°30'= rad;
(2)= °.
3.[教材改编]半径为120mm的圆上长为144mm的弧所对圆心角α的弧度数是 .
4.[教材改编]若角α的终边经过点P(-1,2),则sinα-cosα+tanα= .
题组二 常错题
◆索引:
对角的范围把握不准;不能据函数值的符号确定角所在的象限;不熟悉角在不同象限时对应的三角函数值的符号;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错.
5.在△ABC中,若sinA=,则A= .
6.已知P(-,y)为角β的终边上的一点,且sinβ=,则y= .
7.当α为第二象限角时,-的值是 .
8.若一扇形的圆心角为72°,半径为20cm,则扇形的面积为 cm2.
探究点一 角的集合表示及象限角的判定
例1
(1)[2018·长春一模]若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-x上,则角α的所有取值的集合是( )
A.
α
α=2kπ-,k∈Z
B.
C.
D.
(2)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
A B C D
图3-17-2
[总结反思]
(1)角α(0≤α<2π)与角2kπ+α(k∈Z)的终边相同;
(2)要求角β所在的象限,只需将角β表示成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,则角α所在的象限即为角β所在的象限.
变式题
(1)设集合M=,N=,那么( )
A.M=NB.M⊆N
C.N⊆MD.M∩N=⌀
(2)若角α的终边在x轴的上方,则是第 象限角.
探究点二 扇形的弧长、面积公式
例2
(1)若圆弧长度等于该圆内接等腰直角三角形的周长,则其圆心角的弧度数是 .
(2)已知扇形的圆心角为60°,其弧长为π,则此扇形的面积为 .
[总结反思]应用弧度制解决问题的策略:
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度;
(2)涉及求扇形面积最大值的问题,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决;(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
变式题
(1)将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )
A.B.
C.-D.-
(2)若扇形的周长为18,则扇形面积取得最大值时,扇形圆心角的弧度数是 .
探究点三 三角函数的定义
角度1 三角函数定义的应用
例3
(1)[2018·济南二模]已知角α的终边经过点P(m,-2m),其中m≠0,则sinα+cosα等于( )
A.-B.±
C.-D.±
(2)[2018·北京通州区三模]在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,终边位于第四象限,且与单位圆交于点,则sinα= .
[总结反思]三角函数的定义主要应用于两方面:
(1)已知角的终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离,然后用三角函数定义求解三角函数值.特别地,若角α的终边落在某条直线上,一般要分类讨论.
(2)已知角α的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角α终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题.
角度2 三角函数值的符号判定
例4
(1)若sinθ·cosθ<0,>0,则角θ是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
(2)若α为第二象限角,则cos2α,cos,,中,其值必为正的有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
[总结反思]判断三角函数值的符号,关键是确定角的终边所在的象限,然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.
角度3 三角函数线的应用
例5[2018·嘉兴模拟]已知α∈,a=sinα,b=cosα,c=tanα,那么a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>cB.b>a>c
C.a>c>bD.c>a>b
[总结反思]利用三角函数线比较大小或解三角不等式,通常采用数形结合的方法,一般来说sinx≥b,cosx≥a,只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x的范围.
变式题函数f(x)=+ln
sinx-
的定义域为 .
第17讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
考试说明1.任意角、弧度制
(1)了解任意角的概念和弧度制的概念.
(2)能进行弧度与角度的互化.
2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
【课前双基巩固】
知识聚焦
1.
(1)端点
(2)正角 负角 象限角 (3){β|β=α+k·360°,k∈Z}
2.
(1)半径长
(2)|α|r
3.
(1)y x
(2)余弦线 正弦线 正切线
对点演练
1.{α|α=k·360°+45°,k∈Z} [解析]终边落在第一象限角平分线上的最小正角为45°,所以与其终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+45°,k∈Z}.
2.
(1)π
(2)15 [解析]
(1)67°30'=67.5×=(rad);
(2)=×°=15°.
3.1.2 [解析]根据圆心角弧度数的计算公式得,α==1.2.
4. [解析]r==,所以sinα==,cosα=-=-,tanα==-2,所以sinα-cosα+tanα=.
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