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数论初步.docx
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数论初步
数论初步
―――――基础篇-――――
<整除>
整除的概念很简单,比如3整除6,则表示法为3|6。
而整除的含义,比如a,c为整数,那么a|c的含义,意味着存在一个整数k,使得c=a×k。
此时a是c的约数。
a|c和a是c的约数是一样的,等价的。
由上面的含义,可得到很基本的认识是如果a|b,则a|b×k。
可以进而有这样的两条规律:
如果有a|b,b|c,则a|c。
―――[规律1]
如果有a|c同时a|d,则c±d可以被a整除。
―――[规律2]
<幂次式和分解质因数>
质数,即只含有1和自身两个约数的数。
那么我们可以写出开始的几个质数:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41…
质因数:
如果一个质数a是b的约数,则a是b的质因数。
幂次式:
一个带幂次的式子22×33×52,我们称为幂次式。
它的值为2700。
性质:
(1)如果底项不同,那么两个幂次式不会相等。
比如23和32不相等。
(2)22|23,34|35。
这条性质的含义是相同的底项,幂次小的肯定可以整除幂次大的。
进一步也有:
23×34×5|24×36×52。
分解质因数:
任何整数总可以分解成质因数的幂次式。
比如180=22×32×5。
不同的整数分解的结果都不会一样。
练习:
把这几个数写成幂次式:
18,28,60,72。
<再理解整除>
我们在上一部分幂次式和分解质因数的基础上,重新去体会整除的含义。
如果a是b的约数或说a|b,那么把a,b都作质因数分解。
那么a的质因数必然都在b的质因数中。
比如18|72。
则18=2×32,72=23×32。
<公约数与互质>
对于两个整数b,c,如果同时有a|b,a|c,则a是b,c的公约数。
比如3是6和9的公约数。
如果两个数除了1外没有别的公约数,则我们称他们两个互质。
思考:
互质的两个数一定都是质数吗?
综合前面的知识,就可以知道,我们把两个数都作质因数分解,那么他们都有的质因数乘起来构成的数就是他们的公约数。
如果两个数互质,意味着他们没有公共的质因数。
如果a|c,b|c,而且a,b互质,那么会有结论a×b|c。
―――[规律3]
例:
6|a,5|a,则5×6=30|a。
这条规律非常重要,一定要熟练掌握。
[引申]如果4|a,6|a,那么12|a。
如果4│a×3,则由于3不是4的质因子,那么4的质因子一定在a中,可见4│a。
即有:
如果a│b×c,且a,c互质,则a│b。
―――[规律4]
[引申]如果8│a×6,则4│a。
规律3和4在分析数的问题中都非常的重要,一定要熟练掌握。
例1.1把5、6、7、14、15这5各数分成两组,要使两组的乘积相等。
―――――抽象表达的能力――――――
在我们进入各个专题之前,首先强调的是抽象表达的能力,即用符号去代表各位数字来分析。
抽象表达中特别强调两点:
[注意]
(1)十进制数用a×100+b×10+c这种方式去理解和表达;
(2)整除性问题中,能够被5整除,则可把数设定为5k,被7除余5的,可表示为7k+5。
在基础知识部分,已看到抽象表达的证明。
例2.1如果把一个六位数的个位移动到最前面的十万位,把其他各位上的数字依次先后移一位,得到一个新六位数,如果新数是原数的5倍,那么原来的六位数是多少?
――――――整除的性质―――――――
我们经常接触的是能被2,3,4,5,8,9,11的整除规律。
而被7和13的规律也需要掌握,才能处理很多问题。
这里列出规律,并在后面附带它的证明,让大家体会整数问题的分析方法。
被2整除:
个位是偶数(0,2,4,6,8)。
例:
4,52,106,3328。
被5整除:
个位是0或5。
例:
5,20,135,2230。
被3整除:
各个数位的数字和能被3整除。
例:
12(1+2=3),528(5+2+8=15)。
被9整除:
各个数位的数字和能被9整除。
例:
18(1+8=9),828(8+2+8=18)。
被4整除:
十、个位组成两位数能被4整除。
例:
320(20),7832(32),99312(12)。
被25整除:
十、个位组成两位数能被25整除。
例:
250(50),7225(25)。
被8整除:
后三位组成三位数能被8整除。
例:
240(240),1064(64),3272(272)。
被11整除:
偶数位数字求和,奇数位数字求和,两个和大减小能被11整除。
例:
1221(1+2=3,2+1=3,3-3=0)
732391(7+2+9=18,3+3+1=7,18-7=11)。
被7,11,13整除:
最后三位数组成的三位数和之前的数字组成的数,大减小后能被7,11,13整除。
例:
23034(34-23=11被11整除),17121(121-17=104,被13整除)。
注意:
7×11×13=1001
重要:
运用整除性的规律
整除的性质很多,而我们解题时,许多问题的关键是如何将问题转化为可以运用整除性的规律。
题目问一个数可以被105整除,等于问同时被3,5,7整除。
第二步便是分析问题。
一般来说我们有这样的分析顺序:
(第1步)被5整除(第2步)被2整除(第3步)被4,8整除(第4步)被3,9整除或者被7,11,13整除。
对于这个顺序,解释一下:
(1)被3,9整除和被7,11,13整除谁快谁慢不是绝对,按具体问题的不同选择。
(2)能被8整除,一定能被4整除,先判断被4整除,可以先得出后两位的特点,有助于加快分析。
能够被8整除,由于8含有3个质因子2,往往可以运用规律4来辅助分析,后面的例题可以看到运用。
(3)能被9整除,一定能被3整除。
被9整除限定地更强,一般先分析能被9整除。
还有许多思路,应在具体运用整除性的题目中体会。
例32x5y能同时被2、3、5整除,求所有满足条件的五位数。
例已知72∣x931y,求满足条件的五位数。
例已知五位数154xy能被8和9整除,求x+y的值。
例求能被26整除的六位数x1991y。
例求能被33整除的六位数x8919y。
例王老师为班级买了28个价格相同的圆规,共付人民币1□6.□8元,已知□处的数字相同,问每个圆规多少元?
例求同时能够被9、25、8整除的七位数x1992yz。
例如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是多少?
整除性问题中有部分问题与计数问题结合在一起,下面是两个简单的例子,其中后一个例子中,用到了容斥原理。
例个位是6,而且能被3整除的五位数有多少个?
例分母是1001的最简真分数有多少个?
例如果把1、2、3、4这四个数字进行各种排列,组成的四位数有24个,其中能够被11整除的数有哪些?
例某个七位数1993□□□能够同时被2,3,4,5,6,7,8,9整除,那么它的最后三位数字依次是多少?
例用数字6、7、8各两个,组成一个六位数,使它能被168整除,这个六位数是多少?
例在298后面补上一个三位数,使这个六位数能够被476整除。
例在六位数11□□11的两个方框内各填入一个数字,使得此数能被17和19整除,那么方框内的两位数是多少?
――――――带余数的除法――――――
我们知道两个数相除,当不能够整尽时,会有余数,比如15÷7=2…1。
在这个认识基础上,我们把式子抽象地写成:
a÷b=q…r。
尤其要注意的是r的范围为:
0≤r
引申如果已经知道一个数除以b,余数是r。
我们也就可以把它表达为a=b×q+r。
如果一个数被a除的余数是r,那么这个数减去r,可以被a整除。
余数相同(简称同余),有非常重要的性质:
如果两个数被a除,所得余数相同,则这两个数的差能够被a整除。
例:
17÷5=3…2,82÷5=16…2,则5∣(82-17)=65。
同余的性质在许多方面都有体现,包括抽屉原则。
余数是对数进行分类和研究的有力工具。
在我们这一讲里,我们将涉及部分关于余数在解题中的运用。
[引申]如果两个数的差可以被a整除,则两个数被a除的余数相等。
例一个两位数去除251,得到的余数是41.求这个两位数。
例用一个自然数去除另一个整数,商40,余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933,求被除数和除数各是多少?
例某年的十月里有5个星期六,4个星期日,问这年的10月1日是星期几?
例3月18日是星期日,从3月17日作为第一天开始往回数(即3月16日(第二天),15日(第三天),…)的第1993天是星期几?
例一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求适合此条件的最小数。
例一个数除以5余3,除以6余4,除以7余1,求适合条件的最小的自然数。
例一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,求符合条件的最小自然数。
例一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个,最后剩1个;如果每次取5个或7个,最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个?
例69、90和125被某个正整数N除时,余数相同,试求N的最大值。
―――――――奇偶性――――――――
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k(k为整数)表示,奇数则可以用2k+1(k为整数)表示,特别注意,因为0能被2整除,所以0是偶数。
奇偶性是奥数中的非常重要的部分。
它的原理非常容易理解,但是更重要的是能在关键时候运用它。
奇数与偶数的运算性质
性质1:
偶数±偶数=偶数, 奇数±奇数=偶数。
性质2:
偶数±奇数=奇数。
性质3:
偶数个奇数相加得偶数。
性质4:
奇数个奇数相加得奇数。
性质5:
偶数×奇数=偶数, 奇数×奇数=奇数。
例11+2+3+…+1993的和是奇数?
还是偶数?
例2某校六年级学生参加区数学竞赛,试题共40道,评分标准是:
答对一题给3分,答错一题倒扣1分.某题不答给1分,请说明该校六年级参赛学生得分总和一定是偶数。
例3某学校一年级一班共有25名同学,教室座位恰好排成5行,每行5个座位.把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的邻位.问:
让这25个学生都离开原座位坐到原座位的邻位,是否可行?
-――――――周期性――――――――
周期性是小学奥数中的一个重点。
当我们接触到一个问题涉及很大的一个数,几乎无法计算时,一定要和周期性联系起来。
常用的办法是先算开始的几项,再看看是否有规律,特别是有没有循环的规律。
要理解这一点,可以联想循环小数。
在这一部分的专题中,把处理一个很大的数也放在了一起,它和周期性的题目有思维上的共性。
例1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1999位数,试问这个数能否被3整除?
例把1至1991这1991个自然数依次写下来,得到一个多位数123456789101112...198919901991,试求这个多位数除以9的余数。
例算式7+7×7+...+7×7×…×7(共1990个7)计算结果的末两位数字是多少?
例1990…1990(共20个1990)除以9的余数是多少?
例a=199********1…1991(共1991个1991),问a除以13余数是多少?
-――――――约数―――――――――
在这一讲的开始,我们便提到了约数,这部分专题还要补充关于约数的部分知识。
并看约数是如何在奥数题中得到运用的。
我们在幂次式和分解质因数中提到,任何整数都可以分解成质因数的幂次式,同时只要和这个数有一样的质因子,而幂次更低的数,都是它的约数。
比如360=23×32×5。
那么22×32,23×5,都是它的约数,那么它的约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24个。
即有规律:
一个合数的约数个数,等于它的质因子分解式中每个质因子的个数(即指数)加1的连乘的积。
再如:
720=24×32×5,则它的约数个数有
还有一种问题是问所有约数的和。
这类问题,我们注意一下这个式子:
(1+2+22+23+24)×(1+3+32)×(1+5),则用乘法分配律展开后,每一项刚好都是720的一个约数,而且包括了720的所有约数。
可见720的所有约数的和为上式乘积的结果。
(口袋和之积)
例求4500的约数个数以及它所有约数的和。
例把252分成三个数的和,使这三个数分别能被3、4、5整除,而且所得的商相同,问分成的是哪三个数?
商又是多少?
例筐里有300个桃子,如果不是一次全部拿出,也不一个一个地拿,要求每次的个数同样多,拿到最后正好不多不少,问共有多少种不同的拿法?
例写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数。
例写出不大于100且恰好有8个约数的所有自然数。
例写出不大于100且恰好有10个约数的所有自然数。
例一个数a与1080的乘积是一个完全平方数。
求a的最小值。
―――――――质数―――――――――
质数在前面的分解质因数和相应的分析已经大量的出现,在奥数题中也有针对质数的题目,但往往和奇偶性结合在一起分析。
例1a、b、c、d都是不同的质数,a+b+c=d,那么a×b×c×d的最小值是多少?
例2a、b、c都是质数,c是一位数,且a×b+c=1993,那么a+b+c=?
例3a、b是两个质数,a的7倍与b的和是111,求a、b各是多少?
――――――尾数为0的个数―――――
尾数为0的个数的题目很常见,但很简单。
尾数中每个0都意味着这个数含有一个因子10,那么几个0就有几个因子10。
又由于因之10=2×5。
那么找到这个数的2和5因子的个数,那么这两种因子个数少的将决定因子10的个数。
提醒:
一般情况下,2的个数会比5的个数多很多,则只需集中考虑5的个数。
当然也不是绝对的,具体问题要具体分析。
例1要使乘积195×86×72×380×□□的末五位都是零,□□中应该填入的自然数最小值是多少?
例21×2×3×…×100的末尾有连续多少个零?
例31×2×3×…×999×1000的末尾有连续多少个零?
例4把若干个自然数1、2、3…乘到一起,如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零,那么最后出现的自然数最小应该是多少?
―――――――最值问题―――――――
在数的问题中,常常会问一些最值问题,下面涉及到几个最大问题。
重要知识:
把一个数拆分成两个加数,这两个加数相差越小,它的乘积越大。
(相等最大)
把一个数拆分乘大于2个的若干个加数的和,拆出尽量多的3,拆出的2不多于2个,则积最大。
把一个数拆成2个数的积,这两个加数相差越小,它们的和就越小。
(相等最小)
例两个质数的和是40,求这两个质数的乘积的最大值是多少?
例一个数是5个2、3个3、2个5、1个7的连乘。
这个数的两位数约数中,最大的是多少?
例四个互不相同的自然数的乘积为1989,则这四个自然数的和最大是多少?
例用0到9这十个数字组成能被11整除的最大十位数是多少?
最小的十位数又是多少?
-----------求最大公约数和最小公倍数---------
〈最大公约数和最小公倍数〉
我们已经接触到约数和倍数的概念,而公约数和公倍数的含义为:
公约数:
几个数公有的约数。
顾名思义,最大的公约数,就是最大公约数。
a、b的最大公约数记做(a,b)。
公倍数:
几个数公有的倍数。
其中最小的,便是几个数的最小公倍数。
a、b的最小公倍数记做[a,b]。
互质数:
如果两个数的最大公约数为1,那么这两个数叫做互质数。
方法:
试除法、短除法、辗转除法、质因数分解法。
例一个数去除30、60、75,都能整除,这个数最大是多少?
例一张长方形纸,长2703厘米,宽1113厘米,要把它截成若干个同样大小的正方形,纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大。
问:
这样的正方形的边长是多少厘米?
练习从一张长2002毫米、宽847毫米的长方形纸片上,剪下一个边长尽可能大的正方形,如果剩下的部分不是正方形,那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。
按照上述过程不断重复,最后剪得的正方形的边长是毫米。
练习一块长3.57米、宽1.26米、高0.63米的长方体木料锯成同样大小的正方体木块,问这样的正方体至少有多少个?
(不计锯时的损耗,锯完后不许有剩余)
练习求4811和1981的最大公约数。
例加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每个工人每小时可完成3个零件,第二道工序每个工人每小时可完成10个零件,第三道工序每个工人每小时可完成5个零件,要使加工生产均衡,每道工序至少各分配几个工人?
-------最大公约数和最小公倍数的含义-------
上一讲已经提到了整除的含义是质因子的互相包含,这也是理解最大公约数和最小公倍数的关键。
从两个数的最大公约数出发分析:
如果d是a、b的公约数,这d∣a,d∣b。
则d的质因子应是a和b的公有的,而a、b所有公有的质因子构成的数即为最大公约数。
那么不难由质因子的互相归属关系得到下面的性质:
如果c是a、b的公约数,d是a、b的最大公约数,则c是d的约数―――[性质1]
不难对最小公倍数也做类似分析,则
如果m是a、b的最小公倍数,则m的质因子恰好包括了a、b的质因子。
若d=(a,b),则(a/d,b/d)=1。
――[性质2]
[a,b]×(a,b)=a×b――――[性质3]
[注意]
d=(a,b),a=d×a1,b=d×b1,且(a1,b1)=1。
而[a,b]=d×a1×b1。
例甲数是36,甲、乙两数的最大公约数是4,最小公倍数是288,求乙数。
例已知两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少?
例已知两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,求这两个自然数。
例已知两个自然数的和为54,它们的最小公倍数与最大公约数的差为114,求这两个自然数。
---------------------应用题--------------------------
许多题目,尤其是应用题并不明确提示,但实际是求最大公约数或最小公倍数。
例老虎和豹进行跳跃比赛,老虎每次跳6又2/9米,豹每次跳6又3/10米,它们每秒都只跳一次。
比赛途中,从起点开始,每隔3又1/2米设有一个陷阱。
它们之中一个掉进陷阱时另一个跳了多远?
[注意]一般的做法是把分母先通分,再去分析分子的最大公约数和最小公倍数。
特别注意,不要把过程中相乘的结果写出,而是写成因子相乘的形式,便于化简和分析。
最大公约数和最小公倍数的关键是因子的相互包含关系,而不在于最终结果的数值。
例某班学生人数不超过60人,一次测验成绩分为优、良、及格和不及格四等。
已知这次测验该班有1/7的学生得优,1/3的学生得良,1/2的学生得及格,问该班不及格得学生有多少人?
例张老师在数学课上出了一道题考大家,他说,我今年得年龄数减去9能被10整除,减去11能被12整除,减去14能被15整除。
问张老师今年多少岁?
-----------同余及其性质----------
我们在上一讲中已经接触到同余的概念和重要的性质,但没有全面讨论,那里只是为了帮助分析带余除法而引入的。
[同余]如果两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,这称a、b对于模m同余,用式子表示为a≡b(modm)
那么我们上一讲提到的同余性质可以表述为:
若a≡b(modm),则k∣(a-b)
这个性质有几个代表性的例题:
例有一个大于1的整数,它除300、262、205得到相同的余数,那么这个整数是多少?
练习甲乙丙丁四个旅游团分别有游客69人、85人、93人和97人,现在要把旅行团分别进行分组,每组人数相同且尽可能多,而且已知甲乙丙三个旅游团分组后,所剩人数相同,问旅行团分组还剩多少人?
[引申]我们说a是偶数,则写作:
a≡0(mod2),若a是奇数,则写作:
a≡1(mod2)。
掌握同余的性质对于我们讨论问题非常重要。
而奥数中也有一部分题目是针对这种性质的。
不难理解下面的四条性质:
a≡a(modm)―――[反身性]a≡b(modm)―――[对称性]
a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(modm)。
―――[传递性]
a≡b(modm),c≡d(modm),则a±c≡b±d(modm)―――[可加减性]
(思考一下,怎么用同余的性质去证明?
)
但是求解一些题目我们就需要进一步的性质。
如:
例求乘积15×38×412×541除以13的余数。
若a≡b(modm),c≡d(modm),则ac≡bd(modm)―――[可乘性]
由可乘性,可以得到下面的指数性质:
若a≡b(modm),则an≡bn(modm)
为了求解指数的例题,我们要对指数的运算有一定的了解,主要有一下两条:
[注意]am×an=an+m(an)m=anm
例求33335555+55553333被7除的余数。
练习求14389除以7的余数。
[注意]
常用的能被7除余1的代表性的数为8(2的立方),64(4的立方)。
而3可以通过平方(9除7余2)转化到2处理。
由于个位数字即为被10除所剩的余数,则这类题目可以推广到求个位数字题中。
例求自然数2100+3101+4102的个位数字。
练习1993100的个位数字。
--------------------方程分析------------------------
例一个数除以17的商是余数的3倍,这个数是余数的几倍?
例用一个自然数去除另一个整数,商40,余数是16,被除数、除数、商和余数的和是933,求被除数和除数各是多少?
------------------------应用题-----------------------
例3月18日是星期日,从3月17日作为第一天开始往回数(即3月16日第二天,15日第三天,…)的第1993天是星期几?
例小王叔叔加工了一批机器零件,总量大约在150~200之间。
平均装入5个盒子,最后多出1个;若改用6个盒子取装,最后又多出4个;若再改用7个盒子去装,最后却多出5个。
这批零件有多少个?
例1993年的六月一日是星期二,这一年的十月一日是星期几?
例某年的十月里有5个星期六,4个星期日,问这年的10月1日是星期几?
例有一列数排成一行,其中第一个数是3,第二个数是10,从第三个数开始,每个数恰好是前两个数的和,那么第1997个数被3除所得的余数是多少?
例在一根长100厘米的木棍上,自左至右每隔6厘米染一个红点,同时自右至左每隔5厘米也染一个红点,然后沿着红点处将木棍逐段锯开,那么长度是1厘米的短木棍有多少根?
例大雪后的一天,小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长,他俩的起点和步行方向完全相同,小明每步长54厘米,爸爸每步长72厘米。
由于两人脚印有重合的,所以各走完一圈后,雪地上留下60个脚印。
求圆形花圃的周长。
例有43位同学,他
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