高考数学考前必看基本知识篇文科数学.docx
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高考数学考前必看基本知识篇文科数学
保持平常心,营造好环境,扬起常笑脸,轻松迎高考
郑州一中2020届高考考前必看——数学(文)
一、集合与简易逻辑
1.研究集合问题,一定要抓住集合的代表元素,如:
{x|y=lgx}与{y|y=lgx}及{(x,y)|y=lgx}
2.判断命题的真假要以真值表为依据.原命题与其逆否命题是等价命题,逆命题与其否命题是等价命题,当一个命题的真假不易判断时,可考虑判断其等价命题的真假;
3.判断命题充要条件的三种方法:
(1)定义法;
(2)利用集合间的包含关系判断,若A⊆B,则A是B的
充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件;(3)等价法:
即利用等价关系
"A⇒B⇔B⇒A"判断,对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题,一般运用等价法;
4.
(1)含n个元素的集合的子集个数为2n,真子集(非空子集)个数为2n-1;
(2)A⊆B⇔AB=A⇔AB=B;
(3)CI(AB)=CIACIB,CI(AB)=CIACIB;
二、函数与导数
1.复合函数定义域求法:
若已知f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b
解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.
2.函数的奇偶性
f(x)
(1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(x);
(2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0(可用于求参数);
(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:
f(x)±f(-x)=0或f(-x)=±1(f(x)≠0);
f(x)
(4)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;
3.函数图像(或方程曲线的对称性)
(1)曲线C1:
f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(2)曲线C1:
f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:
f(2a-x,2b-y)=0;
(3)若函数y=f(x)对x∈R时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=a对称;
(4)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=a+b对称;
2
4.函数的周期性与对称性
(1)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;
(2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;
(3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;
(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2a-b
的周期函数;
(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2a-b
的周期函数;
1
f(x)
,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;
(6)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=
-
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5.方程k=f(x)有解⇔k∈D(D为f(x)的值域);
恒成立⇔a≥[f(x)]max;
恒成立⇔a≤[f(x)]min;
6.a≥f(x)
a≤f(x)
(2)logaN=logbN
7.
(1)logb=log
bn
(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);
(a>0,a≠1,b>0,b≠1);
a
an
loga
b
logab的符号由口诀“同正异负”记忆;
(3)
(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);
8.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:
一看开口
方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;
ax+b
b-ac
a
9.掌握函数y=
=a+
(b-ac≠0);y=x+(a>0)的图象和性质;
x
x+c
x+c
10.实系数一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a>0)的两根x,x的分布问题:
12
注意:
若在闭区间[m,n]讨论方程f(x)=0有实数解的情况,可先利用在开区间(m,n)上实根分布的
情况,得出结果,再令x=n和x=m检查端点的情况.
11.函数单调性的判断方法:
定义法,分解成基本函数法(复合,加减),图像法,导数法;求函数单调区间时,你是否写成了区.间.形式,两个单调区间不.能.并.起来.
12.根据导数法研究函数单调性时,熟记八个基本函数求导公式,和差积商四则运算的求导公式,复合函数
1
的求导公式.特别提醒内层函数为a-x形式的复合函数,如[ln(1-x)]'=-
.
1-x
f'(x)>0(<0)的解是函数
f(x),不等式
f(x)的递增(减)区间.y=f(x)在给定
13.对于可导函数
区间上单调递增(减)⇔f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在区间上恒成立(“=”丢不得)
y=f(x)在给定区间上不单调⇔f'(x)>0(或f'(x)<0)在区间有解(“=”要不得)
14.f'(x0)=0是可导函数y=f(x)在x=x0处有极值的必要条件.若求极值,必须指明极大(小)值,其中极
值点只是一个点.的.横.坐.标.,最值及最值点也是同样的要求哦!
xIf(x)>0恒成立,则f(x)min>0;若∀x∈If(x)<0恒成立,则f(x)max<0;
15.若
若∃x0∈I使得f(x0)>0,则f(x)max>0;若∃x0∈I使得f(x0)<0,则f(x)min<0.
16.设f(x)与g(x)的定义域的交集为D,若∀x∈Df(x)>g(x)恒成立,则有[f(x)-g(x)]
min
>0
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根的情况
x1≥x2>k
m x1 等价命题 在(k,+∞)上有两 根 在(m,n)上有两根 在(k,+∞)和(-∞,k)上各有一根 充要条件 ⎧ ⎪∆≥0 ⎪ ⎨f(k)>0 ⎪b ⎪->k ⎩2a ⎧∆≥0 ⎪f(m)>0 ⎪ ⎨f(n)>0 ⎪b ⎪m<- ⎩2a f(k)<0 遇难心不慌,遇易心更细 若对∀x1∈I1、x2∈I2,f(x1)>g(x2)恒成立,则f(x)min>g(x)max. 若对∀x1∈I1,∃x2∈I2,使得f(x1)>g(x2),则f(x)min>g(x)min. 若对∀x1∈I1,∃x2∈I2,使得f(x1) 已知f(x)在区间I1上的值域为A,g(x)在区间I2上值域为B,若对∀x1∈I1,∃x2∈I2使得f(x1)=g(x2) 成立,则A⊆B. 17.若三次函数f(x)有三个零点,则方程f'(x)=0有两个不等实根x1,x2 18.证题中常用的不等式: ①lnx≤x-1(x>0)(仅当x=1时取“=”) ②ln(x+1)≤x(x>-1)(仅当x=0时取“=”) 且f(x1)f(x2)<0 ③lnx (x>1)④ ex≥1+x⑤e-x≥1-x x+12 a-b ab< ⑥ lna-lnb2 三、数列 =⎧S1(n=1), 1.由Sn求an,a 注意验证a1是否包含在后面an 的公式中,若不符合要单独列出. ⎨S n -S(n≥2,n∈N*) ⎩nn-1 一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式; 2.等差数列{a}⇔a -a=d(d为常数)⇔2a=a +a(n≥2)⇔a=an+b⇔s=An2+Bn; n+1n nn+1n-1 n n n 3.等比数列{a}⇔an+1 =q(q为常数)⇔a2=aa(n≥2)⇔a =aqn-1; nn+1n-1 n1 n a n 4.首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式 ⎧an ≥0 ⎛ ⎧an ≤0 ⎫解决; ç或⎨ ⎪ ⎨ ⎩an+1≤0⎝⎩an+1≥0⎭ 6.在等差数列中,a=a+(n-m)d,an-am;在等比数列中, an an=amq,q=n-m n-m ; d= nm n-m am 7.当m+n=p+q时,对等差数列有am+an=ap+aq;对等比数列有am⋅an=ap⋅aq; 8.若{an}、{bn}是等差数列,则{kan+pbn}(k、p是非零常数)是等差数列;若{an}、{bn}是等比数列,则{kan}、 {anbn}等也是等比数列; 9.若数列{an}为等差(比)数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, 也是等差(比)数列; 等差数列{an}中,项数为偶数2n时,S偶-S奇=nd;项数为奇数2n-1时,S奇-S偶=a中(即an); 10. 第3页 共10页高考数学考前必看--基本知识篇(文科数学) 遇难心不慌,遇易心更细 11.等比数列(实数范围内)中一定没有0这一项,且奇数项同号,偶数项同号. 12.数列通项的求法: ①公式法: 等差等比数列;②叠加法: an=an-1+f(n),则 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)++(a2-a1)+a1 (n≥2 乘法: an=an-1⋅g(n),则 ); ③叠 ⋅an-1⋅ a an ⋅⋅a san a= 2 (n≥2). ④待定系数法: a=pa+q,⑤倒数法: a = , an-1an-2 a11 n n-1 n+1 n ta+s n 1 an+1 1 an =t,⑥周期数列,⑦观察法. - 将递推公式变形为 s 1 =1(1- 1 1 =1( 1 1 );② - 13.常见裂项公式: ① ); n(n+k)knn+k (2n+1)(2n-1)22n-12n+1 1 1 1 1 1 1 =( - =( n+k-n); );④ ③ n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2) n+n+k k 2n n 1 1 1 1 =- = - ⑤ (n+1)! n! (n+1)! ; ⑥ ; (2-1)(2 n+1 -1)2-12-1 n+1 n n n+1 ⑧ n2(n+2)2 sin1 11 1 =tan(n+1) -tann =( 4n2 -); (n+2)2 ⑦ cosncos(n+1) ; (n+2) tan(n+1)-tann 1 1 );⑩tann⋅tan(n+1)= -1 =4( - ⑨ n(n+1)⋅2n-2 n⋅2n-1 (n+1)⋅2n+1 tan1 14.数列求和的常用方法: ①公式法;②倒序相加法;③错位相减法;④分组求和法;⑤裂项相消法. 15.数列的单调性与最值问题: 注意数列是特殊的函数. 四、三角函数 1.三角函数中的和、差、倍、降幂公式及其逆用、变形用都掌握了吗? 如cos2θ=cos2θ-sin2θ=2cos2θ-1=1-2sin2θ,cos2θ=1+cos2θ,sin2θ=1-cos2θ. 2 2 a b a2+b2sin(x+ϕ)(其中 sinϕ= cosϕ= 2.辅助角公式: asinx+bcosx= , a2+b2 a2+b2 tanϕ=b.)在求最值、化简时起着重要作用. a 3.在三角的恒等变形中,要特别注意角的各种变换. α+β =(α-β)-(α-β)等) (如β=(α+β)-α,β=(α-β)+α, 4.你还记得三角化简的通性通法吗? 2 22 从函数名、角、运算三方面进行差异分析,常用的技巧有: 切化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊 第4页 共10页高考数学考前必看--基本知识篇(文科数学) 四分学识智,三心细耐恒,二成应试法,一片平常心 角.异角化同角(角的变换: 和、差、倍、余、补角),异名化同名,高次化低次. 5.你能迅速完成三角函数(正弦、余弦、正切)图像及相关性质(定义域,值域,单调性,奇偶性,对称 性: 轴对称及中心对称)的分析吗? 6.会用五点法画y=Asin(ωx+ϕ)的草图吗? 画图需要画哪些关键点(端点、极值点、拐点)? 会根据图 象求参数值吗? 7.在三角函数图象平移时最容易错的是平移多少个单位,你注意到ω的作用吗? 例如y=sin(2x+π)是由 3 π π y=sin2x向左平移而不是得到的.谨记: 只变x! ! ! 6 3 8.正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗? 会用它们解斜三角形吗? 如何实现边角互化? (别忘 了,正弦定理可以用来求三角形外接圆的半径) 9.在△ABC中,a>b⇔A>B⇔sinA>sinB⇔cosA 五、平面向量 1.两个向量平行的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ为实数. (1)向量式: a∥b(b≠0)⇔a=λb; (2)坐标式: a∥b(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0; (1)向量式: a⊥b(b≠0)⇔a⋅b=0; (2) 2.两个向量垂直的充要条件, 设a=(x1,y1),b=(x2,y2), 坐标式: a⊥b⇔x1x2+y1y2=0; 3.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⋅b=abcosθ=x1x2+y1y2;其几何意义是a⋅b等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积; 4.设A(x1,x2)、B(x2,y2),则S⊿AOB=1 2 5.常用结论 y-xy ; x 1221 (1)向量共线的充要条件: O为平面上一点,则A,B,P三点共线的充要条件是→= →→ OPλOA + λOB( 其中 1 2 λ1+λ2=1). (2)三角形中线向量公式: 若P为△OAB的边AB的中点,则向量→与向量→,→的关系是→ 1 →+ OP OAOB OP=2(OA → OB). ⎛ x+x+x ABCyA+yB+yC⎫. → → → (3)三角形重心坐标的求法: G为△ABC的重心⇔ GA + GB + GC =0⇔G , ⎝3 3⎭ (4)奔驰定理: 已知O是∆ABC 内的一点,∆BOC,∆AOC,∆AOB的面积分别为SASB SC,则: ,, SA∙OA+SB∙OB+SC∙OC=0 推论: O是∆ABC内的一点,且x∙OA+y∙OB+z∙OC=0,则S∆BOC: S∆COA: S∆AOB=x: y: z (5)三角形中的心 第5页 共10页高考数学考前必看--基本知识篇(文科数学) 四分学识智,三心细耐恒,二成应试法,一片平常心 O是∆ABC的重心⇔OA+OB+OC=0 O是∆ABC的内心⇔a∙OA+b∙OB+c∙OC=0 O是∆ABC的外心⇔sin2A∙OA+sin2B∙OB+sin2C∙OC=0⇔OA=OB=OC 222 O是∆ABC的垂心⇔tanA∙OA+tanB∙OB+tanC∙OC=0 ⇔OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA⇔ 2 OA+ 2222 BC=OB+CA=OC+ 2 AB 欧拉定理: 设O,G,H分别是∆ABC的外心,重心,垂心,则OG=1OH. 3 (6)极化恒等式: a⋅b=1⎡(a+b)2-(a-b)2⎤ 4⎢⎣ ⎥⎦ 几何意义: 向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 1.即: a⋅b=1[AC2- DB2](平行四边形模式) 4 4 2-1 4 DB2(三角形模式) 在∆ABD中,M为BD的中点,则a⋅b= AM 六、直线和圆的方程 1.直线l1: A1x+B1y+C1=0与l2: A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0; C1-C2 2.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是d= ; A2+B2 3.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件: A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0; 4.过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为: x0x+y0y=r2;若M(x0,y0)在圆外,此方程为切点弦所在直线方程. 5.以A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0; 6. (1)直线与圆的位置关系: (d表示圆心到直线的距离) ①d=R⇔相切;②d (2)圆与圆的位置关系: (d表示圆心距,R,r表示两圆半径,且R>r) ①d>R+r⇔相离;②d=R+r⇔外切;③R-r ④d=R-r⇔内切;⑤0 7.直线与圆相交所得弦长|AB|=2r2-d2 七、圆锥曲线方程 2 y2 x 1.椭圆焦半径公式: 设P(x,y)为椭圆 (a>b>0)上任一点,焦点为F(-c,0),F(c,0),则 +=1 00 1 2 a2b2 =a+ex0,PF2 =a-ex0(e为离心率); PF1 第6页 共10页高考数学考前必看--基本知识篇(文科数学) 意气风发,时光如梭看我少年学子六月追风去;风华正茂,云帆直挂令那美丽人生明朝入眼来 2双曲线x2 2 -y (a>0,b>0)的渐近线方程为x2 2 -y =1 =0 ; a2b2 a2b2 =x+p;y2=2px(p 3.抛物线焦半径公式: 设P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,F为焦点,则PF 0 2 p =-x0+2; PF <0)上任意一点,F为焦点,则 4.涉及圆锥曲线的最值问题勿忘用定义解题; 5.共渐进线y=±bx的双曲线标准方程为x2 2 -y 为参数,λ≠0); =λ(λ a a2b2 6.弦长公式: 若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB, A、B两点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2), ∆ |a| 则弦长 =1+k2⋅ x-x = (1+k2)[(x+x)2-4xx]= AB 21 12 12 1 k2 =(1+1)⋅[(y ],体现了解析几何“设而不求”的解题思想; =1+ ⋅ y-y +y)2-4yy 21 1 2 12 k2 7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为2b2,抛物线的通径为2p,焦准距为p;双曲线x2 2 -y (a>0, =1 a2b2 a b>0)的焦点到渐进线的距离为b; 8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为Ax2+Bx2=1; 9.抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)为AB,A(x1,y1)、 B(x2,y2),则有如下结论: 2p sin2θ . (2)yy=-p2,xx=;(3)+=2. 1 1 p2 =x+x+p= AB (1) 12 12 12 |AF||BF|p 4 2 y2 x 10.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用点差法,设A(x,y)、B(x,y)为椭圆 (a>b>0) +=1 11 22 a2b2 b2 x2y2 上不同的两点,M(x0,y
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