锐角三角比教案.docx

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锐角三角比教案

9.1锐角三角比

【教师寄语】：

收获只属于勇于探索的人

【学习目标】：

1、通过实例明确并认识锐角三角比的概念；

2、正确理解三角比符号的含义，掌握锐角三角比的表示；

3、学会根据定义求锐角的三角比；

【重点】：

会根据定义求锐角的三角比

【难点】：

正弦、余弦、正切概念的建立及表示

【学习过程】：

一、课前预习：

1、如图，在Rt△ABC中，指出斜边是

∠A的对边是邻边是

∠B的对边是邻边是

2、自主学习课本62页“观察与思考”，认真完成

（1）

（2）（3）中的每一个问题。

思考：

如果继续在图9-1中的AB（或AB的延长线上）选出其它的点，结论会怎样？

3、结论：

当锐角A的大小确定后，不论以∠A为内角的直角三角形的大小（边长）如何变化，∠A的对边与斜边的比值_________。

4、总结定义：

sinA=cosA=tanA=

锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的_______（也叫锐角A的）。

5、如上图，在Rt△ABC中，∠C=900,AC=4，BC=2，求∠A的正弦，余弦，正切的值

二、课中实施

1、思考：

如果Rt△ABC∽Rt△A′B′C′,∠C=∠C′=900,sinA等于sinA′吗？

为什么？

cosA与cosA′呢？

2、变式训练：

（1）在Rt⊿ABC中，∠C=900，BC=2，sinA=

，则边AB的长为。

（2）若∠A为锐角，sinA=

，则cosA=。

3、拓展延伸：

Rt△ABC中，∠C＝90º，三边分别为a、b、c根据正余弦的定义，并结合勾股定理探索下列问题：

①cosA与sinB什么关系？

②sin2A与cos2A什么关系

③sin40º＝cosa,∠a=＿＿＿＿＿＿＿＿度

④tanA·tanB＝＿＿＿＿＿

⑤tanA与

什么关系？

4、系统总结：

三、限时作业：

1、如图，在Rt△ABC中，∠C=900,AB=3，BC=2，求∠A的正弦，余弦，正切的值？

2、在△ABC中，∠B=900，AB=4，BC=3，则sinA=；

3、在Rt△ABC中，∠C＝900，∠A、∠B、∠C的对边分别a、b、c，若a＝3b，求∠B的正弦、余弦、正切的值。

4、△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则tanB＝＿＿＿＿＿。

5、在Rt△ABC中，∠C＝900，AB＝8，cosA＝

，则AC＝，BC＝。

9.230°，45°，60°角的三角比

【教师寄语】：

数学来源于生活，并应用于生活。

【学习目标】：

1、记住300、450、600角的三角比，能够用它进行计算。

2、能够根据300、450、600的三角比的值，求出相应锐角的大小。

3、能够运用300、450、600角的三角比解决有关问题。

【重点】：

熟练识记30°，45°，60°角的三角比值，并能用它们进行简单的计算。

【难点】：

明确这些特殊角的三角比值的探求方法。

【学习过程】：

一、课前预习：

1、如图，在Rt∆ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=1，

求∠A的正弦、余弦、正切的值。

2、如图，在△ABD中，AB=BD=AD=2，作AC⊥BD，请分别求出30°，60°角的正弦、余弦、正切值。

3、填写300，450，600角的三角比

α

sinα

cosα

tanα

300

450

1

600

4、求下列各式的值

5、在Rt∆ABC中，已知

，则锐角A的度数是；

6、在直角坐标系中，点P（4，y）在第一象限内，且OP与x轴正半轴的夹角为600，则y的值是。

二、课中实施

1、解决课本67页挑战自我中的问题，展示解答过程，并与同学交流。

2、拓展延伸：

在学习了特殊角的三角比值后发现：

sin30º=cos60º=

sin60º=cos30º=

由此猜想，若A＋B＝90º，则sinA=cosB，cosA=sinB。

①你认为猜想正确吗？

若正确，请你画出直角三角形，利用三角比定义验证，若不正确，说明理由。

②计算tan30º·tan60º=__________。

由此可知，若A＋B＝90º，则tanA·tanB=______。

③试一下，写出下列结果：

若sin16º=0.2756,则cos74º＝＿＿＿＿＿＿；

若cos42º=0.7431,则sin48º=_____________；

tan31º·tan59º=______________。

3、系统总结：

三、限时作业：

1、求下列各式的值

（4）cos300×tan300+

tan450×sin600

2、某商场有一自动扶梯，其倾斜角为

，高为7m，扶梯长度为多少？

9．3用计算器求锐角三角比

【教师寄语】：

数学就在我们身边，要善于发现它。

【学习目标】：

1、了解科学计算器有关计算三角比的按键设置及操作方法。

2、能够用计算器进行有关三角比值的计算。

3、会运用计算器辅助解含三角比值计算的实际问题。

【重点】：

会用计算器求锐角三角比的值

【难点】：

会用计算器进行锐角三角比的四则运算

【学习过程】：

一、课前预习：

（一）由已知锐角求它的三角比值

1、阅读课本68—70页内容，尝试用计算器求锐角三角比的值，完成70页练习题。

2、想一想，用计算器求锐角三角比的值应该注意什么？

总结按键顺序。

3、填写课本70页“观察与思考”中的表格，并完成以下问题：

（1）当锐角α逐渐增大时，它的正弦值，余弦值

（2）____＜sinα＜____，____＜cosα＜____

（二）由三角比值求相应的锐角

1、阅读课本71—72页内容，尝试用计算器由三角比的值求相应的锐角，完成72页练习题。

2、议一议，由三角比的值求相应的锐角按键顺序与已知锐角求它的三角比值按键顺序有什么不同？

二、课中实施

1、用计算器求下列锐角三角比的值：

=

=

=

=

2、用计算器求下列锐角三角比的值：

3、根据下列三角比的值，用计算器求相应的锐角

：

4、利用计算器求下列各式的值：

5、一个人从山底爬到山顶，需先爬

的山坡300m，再爬

的山坡100m，求山高？

（结果精确到0.1m）

6、拓展提升：

分别求出锐角10、100、200、300、400、450、500、600、700、800、890的三角比的值，观察结果，并思考以下问题：

（1）当锐角逐渐增大时，它的正弦和余弦的值分别发生怎样的变化？

（2）你能估计出锐角的正弦值的范围吗？

锐角的余弦值的范围呢？

7、自我小结：

收获：

；不明白的：

。

三、限时作业：

1、用计算器求下列各式的值

（3）已知

则

（4）已知

则

9．4解直角三角形

（一）

【教师寄语】：

方法是解决问题的手段，掌握一种好的方法会让你受益无穷。

【学习目标】：

1、知道直角三角形中五个元素的关系和解直角三角形的概念。

2、会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角比解直角三角形。

3、通过解直角三角形的学习，培养分析问题，解决问题的能力，渗透数形结合的思想。

【重点】：

解直角三角形的方法

【难点】：

三角比在解直角三角形中的灵活运用。

【学习过程】：

一、课前预习：

1、在Rt∆ABC中共有几个边元素？

几个角元素？

请分别写出来。

2、如图，在Rt∆ABC中，∠C=

，a，b，c，∠A，∠B五个元素之间有哪些等量关系呢？

（1）角之间的关系：

（2）边之间的关系：

（3）角与边之间的关系：

3、在Rt△ABC中，∠C=

。

（1）已知∠A，∠B，能求出其它的三个量a，b，c吗？

（2）已知两条边的长，能求出其它的三个量吗？

（3）已知一角和一边，能求出其它的三个量吗？

你有什么发现？

4、尝试应用

（1）在Rt∆ABC中，已知∠C=

，a=17.5，c=62.5。

解这个直角三角形。

（2）在Rt∆ABC中，已知∠C=

，c=128，∠B=

。

解这个直角三角形（边长精确到0.01）。

二、课中实施

1、你能概括出什么是解直角三角形吗？

解直角三角形时，为什么两个已知元素中至少有一条边？

2、直角三角形的解法可以归纳为哪几种情况。

3、在Rt∆ABC中，已知∠C=

。

（1）已知c=15，∠B=

，求a；

（2）已知∠A=

，a=24，求b，c。

4、如图，已知Rt⊿ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=

则AC=

5、如图，⊿ABC中，∠C=900，∠B=300，AD是⊿ABC的角平分线，若AC=

求线段AD的长。

6、当堂小结：

学会了：

疑问：

三、限时作业：

1、已知在Rt△ABC中，∠C＝900，a，b，c，分别为∠A,∠B,∠C所对的边，由下列条件解直角三角形。

（1）已知a＝6

，b＝6

，求c，

（2）已知a＝20,c＝20

，求∠B；

（3）已知c＝30，∠A,600，求a；

2、已知Rt△ABC中，∠C＝900，∠A＝300，斜边上的高为1，则△ABC三边的长分别为（）

Aa＝2

，b＝2，c＝4，Ba＝

，b＝2，c＝

Ca＝

，b＝2，c＝

，Da＝2,b＝

c＝

3、在Rt∆ABC中，已知∠C=

，AC=7，∠A=2∠B，求AB，BC的长。

9.4解直角三角形

（二）

【教师寄语】：

不怕做不到，就怕想不到。

【学习目标】：

1.会把一些非直角三角形的图形转化成直角三角形，从而灵活利用解直角三角形的有关知识解决几何问题。

2.经历探索通过做辅助线构造直角三角形的转化过程，体会转化的数学思想。

【重难点】：

准确做辅助线并选择适当的关系解直角三角形。

【学习过程】：

一、课前预习：

1、解直角三角形的依据：

（1）三边之间的关系：

（2）锐角之间的关系：

（3）边角之间的关系：

这三个关系中，每个关系式中都包括____元素，知道其中____元素，就可以求出____________。

2、解直角三角形的两种情况。

（1）已知，求第三边及两锐角。

（2）已知和一个，求其它两边及另一锐角。

3、思考：

若△ABC不是直角三角形，怎么办？

如下图，在△ABC中，已知∠A=60º，∠B=45º，AC=20厘米，求AB的长。

二、课中实施

1、把非直角△ABC通过做辅助线构造成直角三角时，以不破坏特殊角为标准。

如：

在△ABC中，已知AB＝1，AC＝

，∠ABC＝450，求BC长

2、如图，在Rt△ABC中，∠A=900，AD⊥BC，垂足为D，∠B=600，AD=3，求BC的长。

3、在等腰三角形中，AB=AC，且一腰长与底边的比为5：

8，求sinB，cosB的值。

A

4、如图，在△ABC中，∠ACB=118°，BC=4，求BC边上的高。

B

C

5、已知如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝30，∠A＝1500，求△ABC的面积

6、系统总结：

收获是：

疑问是：

三、限时作业：

1、已知正方形的边长是2cm，对角线的长为:

__________________

2、在锐角三角形ABC中，∠C=450，AC=

，AB=2，求这个三角形的未知的边和未知的角？

3、在△ABC中，∠B＝450，cosC＝

，AC＝5a，则△ABC的面积用含a的式子表示是

9．5解直角三角形的应用

（一）

【教师寄语】：

学以致用，在实际应用中体会学数学的乐趣。

【学习目标】：

1、知道仰角、俯角的概念，并能将之灵活应用于实际生活。

2、能从实际问题中抽象出几何模型，并能借助计算器解决问题。

3、运用三角比的有关知识来解决有关仰角、俯角的问题。

【重点】：

运用三角比的有关知识来解决有关仰角、俯角的问题。

【难点】：

从实际问题中抽象出恰当的几何模型，用三角比的有关知识来解决。

【学习过程】：

一、课前预习：

1、问题感知，解决课本76页问题，请写在下面。

2、读一读课本76页小资料：

在实际测量中，从低处观测高处的目标时，_________与_________所成的锐角叫做_________，从高处观测低处的目标时，_______与________所成的锐角叫做______。

3、学习例题，尝试完成课本78页练习1、2。

二、课中实施

1、小组讨论解决课本例习题，展示解答过程，并与同学交流。

2、反思归纳：

把实际问题转化为解直角三角形问题，关键是找出实际问题中的_____________

3、某商场准备改善原有楼梯的安全性能把倾角由40º减至35º，已知原楼梯长4m，调整后的楼梯会加长多少？

楼梯多占多长一段地面？

（结果精确到0.01m）

4、一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40º夹角，且DB＝5m，在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？

（结果精确到0、01m）

5、系统总结：

收获是：

疑问是：

三、限时作业：

1如图从地面上C、D两处望山顶A，仰角分别是300和500，若从山顶A看地面上的D处时，则（）

A仰角是450B俯角是300C俯角是600D俯角是750

2、如上右图某厂房屋顶成人字架形（等腰三角形），如图所示，已知AC=BC=8米，∠A=300，CD⊥AB于点D.

（1）求∠ACB的大小；

（2）求AB的长度。

（2）

9.5解直角三角形的应用

（2）

教师寄语：

反思是一种良好的学习习惯，学会反思，受益匪浅！

学习目标：

1、能够熟练运用解直角三角形的有关知识来解决实际应用问题。

2、会解决不能直接测量的物体高度的测量与计算问题。

学习过程：

一：

课前预习

任务一：

、预习课本79页例3，画出示意图，独立完成问题

任务二：

研究课本79页例3问题

，完成下列问题

（1）通过把实物图抽象为几何图形，画出示意图

（2）根据数据EF=20米∠AEF=35º，计算出AF的长度，再说明AF与CE的关系，ED与FB的关系，计算出ED的长度。

根据ED的长度说明北楼一楼被影响采光的高度。

AC

FE

BD

 总结：

直角三角形边角之间的关系，是解决与直角三角形有关的实际问题的重要工具，将实际问题转化为解直角三角形问题，关键是

这一解答过程的思路是：

 预习诊断：

1、在某广场上空飘着一只气球P，A.B是地面上相距90米的两点，他们分别在气球的正西和正东，测得仰角∠PAB=45º，∠PBA=30º，求气球P的高度（精确到0.1米）。

 P

 AB

二、课中实施

1、反思拓展

汶川地震后抢险队派一架直升机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点测得A的俯角为30º，测得B的俯角为60º，求A、B两个村庄的距离。

30

QP

60

AC

B

2、系统总结

三、限时作业（1题，共10分）

为了测量河流某一段的宽度，在河的北岸选了点A，在河的南岸选取了相距200m的B,C两点，分别测得∠ABC=60゜,∠ACB=45゜，求这段河的宽度AD的长。

A

BDC

9.5解直角三角形的应用（3）

教师寄语：

反思是一种良好的学习习惯，学会反思，受益匪浅！

学习目标：

1.知道测量名词坡度的意义，会把实际问题转化为数学问题。

2.能够认识数学与生产生活的联系，会应用数学。

学习过程：

一、课前预习：

自主预习课本P80—81，回答下列问题

1.什么是坡度？

画出示意图表示一下

2.认真研究例4，尝试独立解决例4

预习诊断：

1.如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1:

3,斜坡CD的坡度i=1:

2.5,

（1）求斜坡AB的坡角a（精确到1`）,

（2）坝底宽AD（精确到0.1米）

BC

AD

二、课中实施：

1、反思拓展

有一段斜坡BC的斜坡BC的长为10米，坡角∠CBD=12°，为方便残疾人的轮椅通行，现准备把坡角降为5°

C

ABD

（1）求坡高CD

（2）求斜坡新起点A与原点B的距离（精确到0.1米）

2、系统总结

三、限时作业：

（1题，共10分）

1、一个圆球从坡度为1：

4的山坡上滑下，如果这个圆球滑行的距离是100米，那么球下降的高度是多少米？

（精确到0.1米）

9.5解直角三角形的应用（4）

教师寄语：

反思是一种良好的学习习惯，学会反思，受益匪浅！

学习目标：

1、会应用解直角三角形的知识解决实际生活中的测高问题和航海问题。

2、能将实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识加以解决。

学习过程：

一、课前预习：

自主预习课本P81—82，

1、认真研究例5，思考小亮和小莹提出的问题，试着回答一下

2、尝试独立解决例5

2、预习诊断

如图，已知，AB⊥BC，∠α＝300∠β＝600，CD＝2，求AB的长。

二、课中实施

1、反思拓展

如图，一船从A点出发，沿北偏东400方向航行12海里到达B点，然后又沿南偏东500方向航行16海里到达C点。

那么从C点在航行多远才能直接返回出发点A（精确到0.1海里）？

2、系统总结

三、限时作业：

（1题，共10分）

1、一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东300的方向上，航行12海里到达B处，在B处看到灯塔S在船的北偏东600的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里（不作近似计算）

600

300

第9章解直角三角形回顾与总结

一、知识网络

二、自主练习

1、如图，在Rt△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９００，ＡＭ是ＢＣ边上的中线，ｓｉｎ∠ＣＡＭ＝

，则ｔａｎＢ的值为　　　　　　　

2、计算（

）－１－20100＋︱－4

︱－tan600＝

3、Rt△ABC中，∠C为直角，a=1，b=2，则cosA=________，tanA=_________．

（1题图）

4、已知α为锐角，且α＝300，求

=______。

5、升国旗时，某同学站在离旗杆24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角为300，若两眼距地面1.2米，则旗杆的高度约为多少米。

（

≈1.73，结果精确到0.1米）

6、如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAD＝600，坡长AB＝20

米，为加强水坝求强度，将水坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡的坡角∠F＝450，求AF的长度（结果精确到1米，参考数据，

≈1.414，

≈1.732）

限时作业：

（2题，第1题4分，第2题6分）

1、在Rt△ABC中，∠C=90°,sinA=

a=2,解这个直角三角形。

2、在测高塔AB时，选择与塔底在同一水平线的同一直线上的C、D两点，用测角仪测得塔顶A的仰角分别是300与600，已知测角仪高1.5米，CE＝1.5米，CD＝30米，求塔高AB。

（结果保留根号）

第9章解直角三角形练习题

一、选择题

1、计算

得（）

A．

；B．

；C．

；D．

．

2、Rt△ABC中，∠C为直角，AC=4，BC=3，则sinA=（）

A．

；B．

；C．

；D．

．

3、Rt△ABC中，∠C为直角，sinA=

，则cosB的值是（）

A．

；B．

；C．1；D．

4、在Rt△ABC中，∠C=90°∠A=30°，AB=1，则斜边上的高为（）

A．

B.

C.

D.

5、Rt△ABC中，∠C为直角，AB=2AC，则tanA的值是（）

A．

；B．

；C．1；D．

二、填空题

6、若α为锐角，则0____sinα______1；0______cosα_______1．

7、在Rt△ABC中，∠C为直角，AB=5，BC=3，则sinA=________，tanA=_________．

8、在RtABC中，∠C=90°，AB=5

，BC=5,∠A=

9、等边三角形边长为6cm，则一条中线的长为

10、在Rt△ABC中，如果各边都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值

三、计算题

11、计算

（1）sin60°－tan30°＋tan60°．

（2）

12、在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，已知b=3，c=

．解这个直角三角形

13、为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务，某天我护航舰正在某小岛A北偏西450并距该岛20海里的B处待命，位于该岛A正西方向C处得某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东600的方向上有我军护航舰（如图所示），便紧急求救信号，我护航舰接警后，立即沿BC方向以每小时60海里的速度前去救援，问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C处？