人教新课标八年级上第11章一次函数指导与训练5.docx
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人教新课标八年级上第11章一次函数指导与训练5
11.3用函数的观点看方程(组)与不等式
11.3.1一次函数与一元一次方程
11.3.2一次函数与一元一次不等式
11.3.3一次函数与二元一次方程组
情境问题
兄妹赛跑,哥哥先让妹妹跑9m,然后自己才开始跑.已知妹妹每秒跑3m,哥哥每秒跑4m.列出函数关系式,作出函数图象,观察图象回答下列问题:
(1)哥哥开始跑时,s前妹妹跑在哥哥前;
(2)s后哥哥跑到妹妹前;(3)先跑过20m处的是,先跑过100m处的是.
思考:
事实上,通过观察很容易回答上面的问题.这个事例告诉我们:
既可以运用函数图象解不等式,解方程(组),也可以运用解方程(组),解不等式帮助研究函数问题,实际上不等式与函数、方程是紧密联系着的一个整体.
学法指引
很显然,本节主要渗透了数形结合的数学思想,一方面,方程(组)、不等式的直接解法即为所谓的“数”;另一方面,利用函数观点(图象解法)解出方程(组)、不等式的解,即为“形”.数形结合有效地将一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程(组)统一起来,有机地把它们结合在一起,真正体现了函数观点的直观易懂,是学习数学的一个重要方法.
预习储备
1.一元一次方程ax+b=0(a、b为常数,a≠0)的解就是函数y=ax+b
.
2.一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0(a、b为常数,a≠0)的解就是函数y=ax+b
.
3.二元一次方程(组)解就是.
做一做:
图中两直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组的解?
想一想:
一次函数y=0.5x+1与一元一次方程0.5x+1=0与有什么联系?
与不等式0.5x+1>0呢?
一次函数y=2-x与x+y=2有何联系?
一次函数y=4-x和y=2x+1与方程组
有什么联系?
知识点拨
知识点1一次函数与一元一次方程的关系
由于任何一元一次方程都可以化为ax+b=0(a、b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:
当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值,从图象上,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点的横坐标的值.
知识点2一次函数与一元一次不等式
由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a、b为常数,a≠0)的形式.所以解一元一次不等式可以看作:
当一次函数值大(小)于0时,求自变量相应的取值范围.
知识点3一次函数与二元一次方程(组)
一般地,每个二元一次方程组都对应两个一次函数,于是也对应两条直线,从“数”的角度看,解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等以及这个函数值是何值;从“形”的角度看,解方程组相当于确定两=条直线交点的坐标,综上所述,一次函数与二元一次方程(组)有密切的联系.
典型例题精析
基础型:
例1.如图11-3-2,将一个边长为1的正方形纸片,剪成四个大小一样的正方形,然后将其中的一个再按同样的方法剪成四个正方形,如此循环下去,观察下列图形和所给表格中的数据后回答问题;
当所操作的次数为多少时,得到的正方形的个数为25个?
分析:
先根据表格找出操作次数与正方形个数的关系—一次函数关系,根据题意转化为方程来解,也可直接利用规律得出方程.
解答:
解法1:
设经过x次操作后,能得到y个正方形,依据题意:
y=3x+1,令y=25,则有3x+l=25.即3x-24=0.由图11-3-3看出直线y=3x-24与x轴的交点为
(8,0),得x=8.
解法2:
设经过x次的操作后能得到的正方形的个数为25个,则依题意有:
3x+1=25解得x=8.
方法技巧:
虽然像这样用一次函数图象来解方程未必简单,但是从函数的角度看问题能发现一次函数与一元一次方程的联系,这种用函数的观点认识问题的方法,对于继续学习数学很重要.
例2.画出函数y=2x+1的图象,利用图象求:
(1)方程2x+1=0的根;
(2)不等式2x+1≥0的解集;
(3)当y≤3时。
求x的取值范围;
(4)当-3≤y≤3时,求x的取值范围.
分析:
此题必须先画出图象,再根据图象求解,通过解方程或不等式也能得到准确的答案,但不符合题目要求,本题主要考察观察函数图象的能力.
解答:
∵函数y=2x+1是一次函数。
∴取两点:
x
0
y
1
0
连结A(0,1)、B(
,0)两点,如图11-3-4,直线AB就是函数y=2x+1的图象.
(1)直线AB与x轴的交点是B(
,0).
从图象可以看出当x=
时,y=0即2x+1=0,
∴
就是方程2x+l=0的解.
(2)从图象上可以看到,射线BA在x轴的上方,它上面的点的纵坐标都不小于零,即y=2x+l≥0.
∵射线BA上点的横坐标满足x≥
,
∴不等式2x+1≥0的解集是x≥
.
(3)过点(0,3)引平行于x轴的直线CC’,交直线AB于C,C的坐标为(1,3),直线CC’上点的纵坐标y均等于3,直线下方的点的纵坐标y均小于3,射线CD上点的横坐标满足x≤1.
∴y≤3时,x的取值范围为x≤1.
(4)过(0,-3)点作平行于x轴的直线,交直线AB于D(-2,-3).
从图象中可见:
线段DC上的点的坐标满足-3≤x≤3,而横坐标满足-2≤x≤1.
方法技巧:
本例(3)、(4)也可以将y=2x+l代入y≤3、-3≤x≤3中求出相应的x的值与取值范围.这个事实说明:
当给定函数值的一个取值范围,欲求相应的自变量的取值范围时,实质就是解不等式.
例3.用作图象法解方程组:
分析:
由于每个二元一次方程组都对应两个一次函数.因此,先将二元一次方程都转化为y=kx+b的形式,然后在直角坐标系中分别作出其图象.两个函数图象的交点坐标即为这个方程组的解.
解答:
由x-2y=-2,可得:
y=
+1
由2x-y=2可得y=2x-2.
在同一直角坐标系中分别作出一次函数y=
+1的图象l1和y=2x-2的图象l2,如图11-3-5所示,观察图象,得l1、l2的交点为P(2,2).
方法技巧:
图象法解二元一次主程组的具体方法是:
(1)将两个二元一次方程都转化为y=kx+b的形式;
(2)分别在直角坐标系中画出两条直线;
(3)观察两条直线的交点坐标,写出方程组的解.
综合应用型:
例4如图11-3-6所示,是某学校一电热淋浴器水箱的水量y(L)与供水时间x(min)的函数关系.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)求
(1)的条件下,经过多少时间水箱有水100L.
分析:
(1)由图象可知:
y是x的一次函数,设y=kx+b,当x=10时,y=50;x=50时,y=150.代人y=kx+b中构建二元一次方程组,可求出k、b;
(2)把y=100代入
(1)中的解析式y=kx+b,建立关于x的方程即可求出x.
解答:
(1)设y与x的函数关系式为:
y=kx+b.由图象知x=l0时,y=50;x=50时,y=150.
∴
解之得
(2)当y=100时,2.5x+25=100,∴x=30.
故30min时,水箱有水100L.
方法技巧:
一元一次方程与一次函数的联系是:
从“数”的方面来看,当一次函数的值为0时,相应的自变量的值即为方程的解;从“形”的方面来看,函数与x轴的交点的横坐标,即为方程的解.
例5.某工厂现有甲种原料360kg,乙种原料290kg,计划利用这两种原料生产A、B两种产品,共50件.已知生产一件A种产品,需用甲种原料9kg,乙种原料3kg,可获利润700元;生产一件B种产品,需用甲种原料4kg可获利润1200元.
(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数,有哪几种方案?
请设计出来;
(2)设生产A、B两种产品获总利润为y(元),其中一种生产件数为x,试写出y与x之间的函数关系式,并利用函数的性质说明
(1)中哪种生产方案获总利润最大?
最大利润是多少?
分析:
(1)根据生产A、B两种产品所用甲种原料不超过360kg,乙种原料不超过290kg,可列出一个一元一次不等式组,通过不等式组的解集可确定几种方案.
(2)首先由题意列出y与x间的一次函数关系式,然后。
根据一次函数的增减性求出y的最大值.
解答:
(1)设安排生产A种产品x件,则B种产品为(50-x)件,由题意知
解得30≤x≤32.
∵.x是非负整数,∴x=30,31,32,即生产方案有三种:
生产A种产品分别为30件、31件、32件时,B种产品分别安排生产20件、19件、18件.
(2)根据题意得y=700x+1200(50-x),即y=-500x+60000.
∵k=-500<0,∴y随x的增大而减小,
∴当x=30时,y值最大,最大利润为-500×30+60000=45000(元),即当生产A种产品30件,B种产品20件时,获总利润最大,最大利润为45000元.
方法技巧:
这是一道一次函数与不等式的综合应用题.一般地,由不等式或不等式组的解集求出自变量的确定值.然后,根据一次函数的增减性,求出函数的最大值或最小值,从而解决实际问题.
创新型:
例6.甲、乙两辆汽车在一条公路上匀速行,为了确定汽车的位置,我们用数轴Ox表示这条公路,原点O为0km路标(如图11-3-11)作如下约定:
①速度v>0,表示汽车向数轴正方向行驶;v<0,表示汽车向数轴负方向行驶;v=0
表示汽车静止.
②汽车的位置在数轴上的坐标S>0,表示汽车位于0km路标的右侧;汽车的位置在数轴上的坐标S<0,表示汽车位于0km路标的左侧;汽车位置在数轴上的坐标S=0表示汽车恰好位于0km路标处.
遵照上述约定,将这两辆汽车在公路上匀速行驶的情况,以一次函数的图象的形式画在同一坐标系中.如图1l-3-11,请解答下列问题:
(1)就这两个一次函数的图象所反映出来的两汽车在这条公路上行驶的情况填写如下的表格:
行驶方向
速度大小
出发前的位置
甲车
乙车
(2)甲、乙两车能否相遇?
如能相遇,求相遇时的时刻及在公路上的位置;如果不能相遇,说明理由.
分析:
横坐标、纵坐标分别代表着不同的意义.图象上每一个点的坐标(t,S),t表示时间,S表示路程.
解答:
(1)根据这两个一次函数的解析式及图象,填写下表:
行驶方向
速度大小
出发前的位置
甲车
x轴的负方向
40
0km路标
右侧190km处
乙车
x轴的正方向
50
0km路标
左侧80km处
(2)设经过th两车相遇则有
解得
∴经过30h两车相遇,相遇在0km路标右侧70km处.
方法技巧:
读懂图象,理解题意,联系一次函数与方程组求解是本题的关键.
测试评价
基础训练:
实际应用:
综合创新:
中考链结
(2004,宁波)为了缓解用电紧张矛盾,某电力公司特制定了新的用电收费标准,每月用电量x(度)与应付电费y(元)的关系如图所示.
(1)根据图象,请分别求出当0≤x≤50和x>50时,y与x的函数关系式;
(2)请回答:
当每月用电量不超过50度时,收费标准是;当每月用电量超过50度时,收费标准是.
(2003,昆明)某公司到果园基地购买某种优质水果,慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上(含3000千克)的有两种销售方案,甲方案:
每千克9元,由基地送货上门;乙方案:
每千克8元,由顾客自己租车运回.已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元.
(1)分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所购买的水果量(x千克)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当购买量在什么范围时,选择哪种购买方案付款较少?
并说明理由.
本章综合回顾
知识归纳
复习导引
在理解变量及函数的有关定义时,可结合生活中具体情境中的变量的关系,以便于比较深刻地体会函数的有关概念.领会自变量和函数(因变量)的界定是对某一个过程而言的,离开具体的过程说一个量是自变量还是函数(因变量)都是不行的.函数的定义中,一个关键的地方就是给定一个自变量的值,有“唯一”的因变量的值与之对应,否则就不能成为函数了.
由于本章知识与“平面直角坐标系"一章的关系非常密切,所以在学习本章知识时应该注意复习这一章的知识,这样会加深对新知识的理解和掌握.
一次函数的表达式中有两个基本量k与b,要确定一次函数的表达式,就需要两个条件求出k与b的值,类似的求正比例函数的表达式就需要一个条件求出k的值,来确定正比例函数的表达式.
一次函数与方程(组)、不等式间互相联系,很多时候可以转化求解,加强对知识之间内在联系的认识,体会函数观点的统领作用.
在本章中,充分发挥将“数"与“形"结合的作用,充分利用函数的图象所提供的信息,一个看似十分复杂的实际问题,若利用图象把一些数与量的关系很直观地表达出来,那么问题也就很容易解决了.可见“数”与“形”结合的思想一定要铭记在心、熟练在手.
典型例题精析
方法技巧:
本题主要考查对“正比例函数”、“一次函数”的概念的理解,其中要注意正比例函数中要求x的次数为1,k≠0这个条件.
方法技巧:
现实生活中的函数关系往往用图象表示出来.如温度变化、生产进度等.但要注意实际生活中的变量都有实际意义,取值都有限制,故作图时需特别注意这一点.对于函数y1=k1x+b1和y2=k2x+b2,若k1>k2,则直线y1的倾斜角大,而S与t的关系式中,k即速度v.解决实际问题中的函数图象题,首先应根据题意列出相关函数式,确定函数图象的形状;再根据k值确定增减性;最后应特别注意自变量和因变量的实际取值范围.
分析:
首先根据题意写出函数表达式,再分别讨论y甲和y乙的大小关系,从而求出x的取值,至于第(3)题,则需要把所有可能的情况都罗列出来再比较.
方法技巧:
方案设计题型,这是此类问题分类讨论的一般方法.先利用y甲一y乙和0的大小比较,确定x的范围,反过来回答问题即可.(3)题偏难,也是中考命题的方向.这类题需要把所有的方案一一罗列出来,分别进行计算,再按要求比较,最终选取最优方案.本题的解题过程也是一种标准形式.同学们可以在类似问题中借鉴这种方法.
综上,当
△PAB为直角三角形.
方法技巧:
当我们面临的数学问题无法用一种方法处理或同一种形式叙述时,我们就把问题分成若干类(按一定的原则或标准),然后进行分类讨论,再把这几类的结论汇总得出问题的答案,这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.
综合测试
一、选择题
1.下列变量之间的关系中:
①火车以120千米/时的速度由甲地向乙地行驶,火车距离乙地的路程(S)与行驶时间(t)之间的关系;②圆柱的体积不变时,圆柱的底面积与高的关系;③某汽车油箱中原有汽油50升,每行驶100千米耗油8升,油箱内的余油量与行驶路程之间的关系④某移动公司规定每通话1分钟,收费0.6元(不足1分钟按1分钟计算),通话费与通话时间之间的关系⑤加热一杯水,水温随时间变化的关系;其中是一次函数关系的是()
A.①②③④B.①③C.①③④D.①③④⑤
2.一盘驱蚊香长约45厘米,点燃后每小时燃烧15厘米,燃烧时剩下的高度h(厘米)与燃烧时间t(时)的函数关系的图象是()
3.某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游,一部分同学步行,另一部分同学骑自行车,如图,
、
分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y(千米)与所用时间x(分钟)之间的函数图象,则以下判断错误的是()
A.骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟
B.步行的速度是6千米/时
C.骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟
D.骑车的同学和步行的同学同时达到目的地
4.已知一次函数
,若y随着x的增大而减小,则该函数的图象经过()
A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限
5.水池有2个进水口,1个出水口,每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示,出水口出水量与时间的关系如图乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示.
下列论断:
①0点到1点,打开两个进水口,关闭出水口;②1点到3点,同时关闭两个进水口和一个出水口;③3点到4点,关闭两个进水口,打开出水口;④5点到6点,同时打开两个进水口和一个出水口.其中,可能正确的论断是()A.①③B.①④C.②③D.②④
二、填空题
6.汽车刹车距离S(m)与速度V(km/h)之间的函数关系式是S=
,在一辆车速为100km/h的汽车前方80m处,发现停放一辆故障车,此时刹车有危险.(填“会”或“不会”)
7.下列三个函数:
y=-2x,y=-
x,y=(
-
)x共同点是:
(1);
(2);(3).
8.“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事,如图所示路程s与时间t之间的关系,那么可以知道:
(1)赛跑中,兔子共睡了分钟;
(2)乌龟在这次赛跑中的平均
速度为米/分钟.
9.写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式.(写出一个即可)
(1)y随着x的增大而减小;
(2)图象经过点(1,-3)
10.已知一次函数y=2x+a与y=-x+b的图象都经过点A(-2,0),且与y轴分别交于B、C两点,则ΔABC的面积为.
11.现有一长为90米的泳池,甲、乙两人分别从对边开始向对岸往返游泳,已知甲的速度为1m/s,乙的速度为2m/s,两人往返游了12分钟,则两人闪过(相遇或碰面)次.
三、解答题
12.已知一次函数y=(2m+4)x+(3-n),求:
(1)m,n是什么数时,该函数为正比例函数;
(2)m,n是什么数时,y随x的增大而增大;
(3)m,n为何值时,函数图象与y轴的交点在x轴的下方;
(4)m,n为何值时,函数的图象经过原点;
(5)若m=-1,n=2,求此一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标;
(6)若图象经过第一、二、三象限,求m,n的取值范围。
13.如图,
表示神风摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量的关系;
表示摩托车厂一天的销售成本与销售量的关系。
(1)写出销售收入与销售量之间的函数关系式;
(2)写出销售成本与销售量之间的函数关系式;
(3)当一天的销售量为多少辆时,销售收入等于销售成本;
(4)当一天的销售超过多少辆时,工厂才能获利?
14.阅读函数图像,并根据你所获得的信息回答问题:
(1)折线OABCD表示某个实际问题的函数图象,请你编写一道符合该图象意义的应用题;
(2)根据你给出的应用题分别指出x轴,y轴所表示的意义以及AB这一段表示的实际意义,并写出A,B,C,D四点的坐标;
(3)求出图象CD的函数关系式,并注明自变量x的取值范围.
15.某校需配置部分办公桌,现从两个家具店得到信息:
同样的办公桌每张标价均为225元.甲店的优惠条件是:
购买办公桌不超过10张,按标价付费,超过10张,超过的部分打8折;乙店的优惠条件是:
购买办公桌一律打9折,若该校计划购买x张办公桌,在甲乙两店购买所需费用分别为y1、y2元.
(1)试分别写出y1、y2与x之间的函数关系式;
(2)请你帮助该校选择在哪个家具店购买办公桌比较合算.
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