集合与集合运算.docx
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集合与集合运算
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:
列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N+)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A,则x∈B)
A⊆B(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB(或BA)
集合相等
集合A,B中元素相同或集合A,B互为子集
A=B
3.集合的运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
符号
A∪B={x|x∈A或x∈B}
A∩B={x|x∈A且x∈B}
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
4.集合关系与运算的常用结论
(1)若有限集A中有n个元素,则A的子集个数为2n个,非空子集个数为2n-1个,真子集有2n-1个.
(2)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( × )
(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( × )
(3){x|x≤1}={t|t≤1}.( √ )
(4)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( √ )
(5)若A∩B=A∩C,则B=C.( × )
(6)含有n个元素的集合有2n个真子集.( × )
1.(教材改编)设A={x|x2-4x-5=0},B={x|x2=1},则A∪B等于( )
A.{-1,1,5}B.{-1,5}
C.{1,5}D.{-1}
答案 A
解析 ∵A={-1,5},B={-1,1},
∴A∪B={-1,1,5}.
2.已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B等于( )
A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}
C.{0,1}D.{-1,0}
答案 A
解析 因为A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},又因为集合B为整数集,所以集合A∩B={-1,0,1,2},故选A.
3.(2015·浙江)已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁RP)∩Q等于( )
A.[0,1)B.(0,2]
C.(1,2)D.[1,2]
答案 C
解析 ∵P={x|x≥2或x≤0},∁RP={x|0<x<2},
∴(∁RP)∩Q={x|1<x<2},故选C.
4.(教材改编)已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2 答案 {x|x≤2或x≥10} 解析 ∵A∪B={x|2 ∴∁R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}. 5.已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为________. 答案 2 解析 集合A表示圆心在原点的单位圆,集合B表示直线y=x,易知直线y=x和圆x2+y2=1相交,且有2个交点,故A∩B中有2个元素. 题型一 集合的含义 例1 (1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( ) A.1B.3C.5D.9 (2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________. 答案 (1)C (2)- 解析 (1)当x=0,y=0时,x-y=0;当x=0,y=1时,x-y=-1; 当x=0,y=2时,x-y=-2;当x=1,y=0时,x-y=1; 当x=1,y=1时,x-y=0;当x=1,y=2时,x-y=-1; 当x=2,y=0时,x-y=2;当x=2,y=1时,x-y=1; 当x=2,y=2时,x-y=0.根据集合中元素的互异性知,B中元素有0,-1,-2,1,2,共5个. (2)由题意得m+2=3或2m2+m=3,则m=1或m=- ,当m=1时,m+2=3且2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;当m=- 时,m+2= ,而2m2+m=3,故m=- . 思维升华 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合; (2)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. (1)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中的元素个数为( ) A.3B.4C.5D.6 (2)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}= ,则b-a=________. 答案 (1)B (2)2 解析 (1)因为集合M中的元素x=a+b,a∈A,b∈B,所以当b=4时,a=1,2,3,此时x=5,6,7. 当b=5时,a=1,2,3,此时x=6,7,8. 所以根据集合元素的互异性可知,x=5,6,7,8. 即M={5,6,7,8},共有4个元素. (2)因为{1,a+b,a}= ,a≠0, 所以a+b=0,得 =-1, 所以a=-1,b=1,所以b-a=2. 题型二 集合间的基本关系 例2 (1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 A.1B.2C.3D.4 (2)已知集合A={x|x2-2017x+2016<0},B={x|x 答案 (1)D (2)[2016,+∞) 解析 (1)由x2-3x+2=0得x=1或x=2, ∴A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4}. ∴满足A⊆C⊆B的集合C可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共4个. (2)由x2-2017x+2016<0,解得1 故A={x|1 得a≥2016. 思维升华 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解; (2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. (1)已知集合A={x|y=ln(x+3)},B={x|x≥2},则下列结论正确的是( ) A.A=BB.A∩B=∅ C.A⊆BD.B⊆A (2)已知集合A={x|log2x≤2},B={x|x 答案 (1)D (2)(4,+∞) 解析 (1)A={x|x>-3},B={x|x≥2},结合数轴可得: B⊆A. (2)由log2x≤2,得0 即A={x|0 而B={x|x 由于A⊆B,如图所示,则a>4. 题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算 例3 (1)设全集U={x∈N*|x<6},集合A={1,3},B={3,5},则∁U(A∪B)等于( ) A.{1,4}B.{1,5} C.{2,5}D.{2,4} (2)设集合U=R,A={x|2x(x-2)<1},B={x|y=ln(1-x)},则图中阴影部分表示的集合为( ) A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2} C.{x|0 答案 (1)D (2)B 解析 (1)由题意可知U={1,2,3,4,5},A∪B={1,3,5}, 所以∁U(A∪B)={2,4}.故选D. (2)易知A={x|2x(x-2)<1}={x|x(x-2)<0}={x|0 阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)={x|1≤x<2}. 命题点2 利用集合运算求参数 例4 (1)已知集合A={1,3, },B={1,m},A∪B=A,则m等于( ) A.0或 B.0或3 C.1或 D.1或3 (2)集合M={x|-1≤x<2},N={y|y A.-1≤a<2B.a≤2 C.a≥-1D.a>-1 答案 (1)B (2)D 解析 (1)由A∪B=A得B⊆A,有m∈A,所以有m= 或m=3,即m=3或m=1或m=0,又由集合中元素的互异性知m≠1,故选B. (2)∵M={x|-1≤x<2},N={y|y-1即可. 思维升华 (1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况. (2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化. (1)(2015·天津)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩(∁UB)等于( ) A.{2,5}B.{3,6} C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8} (2)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(∁UA)∩B=∅,则m的值是__________. 答案 (1)A (2)1或2 解析 (1)由题意知,∁UB={2,5,8}, 则A∩(∁UB)={2,5},选A. (2)A={-2,-1},由(∁UA)∩B=∅,得B⊆A, ∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅. ∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}. ①若B={-1},则m=1; ②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)×(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2}; ③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)×(-2)=2,由这两式得m=2. 经检验知m=1和m=2符合条件. ∴m=1或2. 题型四 集合的新定义问题 例5 若集合A具有以下性质: (Ⅰ)0∈A,1∈A; (Ⅱ)若x∈A,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时, ∈A. 则称集合A是“好集”.下列命题正确的个数是( ) (1)集合B={-1,0,1}是“好集”; (2)有理数集Q是“好集”; (3)设集合A是“好集”,若x∈A,y∈A,则x+y∈A. A.0B.1C.2D.3 答案 C 解析 (1)集合B不是“好集”,假设集合B是“好集”,因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2∈B,这与-2∉B矛盾. (2)有理数集Q是“好集”,因为0∈Q,1∈Q,对任意的x∈Q,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0时, ∈Q,所以有理数集Q是“好集”.(3)因为集合A是“好集”,所以0∈A,若x∈A,y∈A,则0-y∈A,即-y∈A,所以x-(-y)∈A,即x+y∈A. 思维升华 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点: (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在; (2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质. (2015·湖北)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合AB={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则AB中元素的个数为( ) A.77B.49C.45D.30 答案 C 解析 如图,集合A表示如图所示的所有圆点“ ”,集合B表示如图所示的所有圆点“ ”+所有圆点“ ”,集合AB显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点{(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合AB表示如图所示的所有圆点“ ”+所有圆点“ ”+所有圆点“ ”,共45个.故AB中元素的个数为45.故选C. 1.遗忘空集致误 典例 设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若B⊆A,则实数a的取值范围是________. 易错分析 集合B为方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的实数根所构成的集合,由B⊆A,可知集合B中的元素都在集合A中,在解题中容易忽视方程无解,即B=∅的情况,导致漏解. 解析 因为A={0,-4},所以B⊆A分以下三种情况: ①当B=A时,B={0,-4},由此知0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,由根与系数的关系,得 解得a=1; ②当B≠∅且BA时,B={0}或B={-4}, 并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0, 解得a=-1,此时B={0}满足题意; ③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0, 解得a<-1. 综上所述,所求实数a的取值范围是a≤-1或a=1. 答案 (-∞,-1]∪{1} 温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征. (2)已知集合B,若已知A⊆B或A∩B=∅,则考生很容易忽视A=∅而造成漏解.在解题过程中应根据集合A分三种情况进行讨论. [方法与技巧] 1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现. [失误与防范] 1.解题中要明确集合中元素的特征,关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集).对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算. 2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. 3.解题时注意区分两大关系: 一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系. 4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心. A组 专项基础训练 (时间: 30分钟) 1.下列集合中表示同一集合的是( ) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} 答案 B 解析 选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集,集合N表示由点(2,3)所组成的单点集,故集合M与N不是同一个集合.选项C中的集合M表示由直线x+y=1上的所有点组成的集合,集合N表示由直线x+y=1上的所有点的纵坐标组成的集合,即N={y|x+y=1}=R,故集合M与N不是同一个集合.选项D中的集合M是数集,而集合N是点集,故集合M与N不是同一个集合.对选项B,由集合元素的无序性,可知M,N表示同一个集合. 2.设集合A={1,2,4},集合B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合B中的元素个数为( ) A.4B.5C.6D.7 答案 C 解析 ∵a∈A,b∈A,x=a+b,∴x=2,3,4,5,6,8. ∴B中共有6个元素. 3.已知集合A= ,则集合A中的元素个数为( ) A.2B.3C.4D.5 答案 C 解析 ∵ ∈Z,∴2-x的取值有-3,-1,1,3, 又∵x∈Z,∴x的值分别为5,3,1,-1,故集合A中的元素个数为4,故选C. 4.(2015·课标全国Ⅱ)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B等于( ) A.{-1,0}B.{0,1} C.{-1,0,1}D.{0,1,2} 答案 A 解析 由A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-2<x<1},得A∩B={-1,0},故选A. 5.已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且∁U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩(∁UB)等于( ) A.{3}B.{4} C.{3,4}D.∅ 答案 A 解析 ∵U={1,2,3,4},∁U(A∪B)={4}, ∴A∪B={1,2,3}. 又∵B={1,2},∴{3}⊆A⊆{1,2,3}, 又∁UB={3,4},∴A∩(∁UB)={3}. 6.已知全集U=R,集合A={x|lg(x+1)≤0},B={x|3x≤1},则∁U(A∩B)等于( ) A.(-∞,0)∪(0,+∞)B.(0,+∞) C.(-∞,-1]∪(0,+∞)D.(-1,+∞) 答案 C 解析 lg(x+1)≤0⇒0 7.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有( ) A.2个B.4个C.6个D.8个 答案 B 解析 ∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5}, ∴M∩N={1,3}.∴M∩N的子集共有22=4个. 8.已知集合A={x|-1 A.(-∞,0]B.[0,+∞) C.(-∞,0)D.(0,+∞) 答案 B 解析 用数轴表示集合A,B(如图),由A⊆B得a≥0. 9.已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是________. 答案 (-∞,1] 解析 ∵1∉{x|x2-2x+a>0},∴1∈{x|x2-2x+a≤0},即1-2+a≤0,∴a≤1. 10.已知U=R,集合A={x|x2-x-2=0},B={x|mx+1=0},B∩(∁UA)=∅,则m的可能取值组成的集合为________. 答案 {0,1,- } 解析 A={-1,2},B=∅时,m=0;B={-1}时,m=1;B={2}时,m=- . 11.已知集合A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则A∩B=________. 答案 {(0,1),(-1,2)} 解析 A、B都表示点集,A∩B即是由A中在直线x+y-1=0上的所有点组成的集合,代入验证即可. 12.已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________. 答案 -1 1 解析 A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5 由A∩B=(-1,n)可知m<1, 则B={x|m B组 专项能力提升 (时间: 15分钟) 13.已知集合A={(x,y)|y=log2x},B={(x,y)|y=x2-2x},则A∩B的元素有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个 答案 B 解析 在同一直角坐标系下画出函数y=log2x与y=x2-2x的图象,如图所示: 由图可知y=log2x与y=x2-2x图象有两个交点, 则A∩B的元素有2个. 14.设集合A={x| >1,x∈R},B={x|y= },则(∁RA)∩B等于( ) A.{x|-1≤x≤1}B.{x|-1 C.{-1,1}D.{1} 答案 C 解析 集合A={x| >1}={x|-1 }={x|-1≤x≤1},∁RA={x|x≤-1或x≥1},∴(∁RA)∩B={-1,1}. 15.设集合M= ,N= ,且M,N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果把b-a叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小值是( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 由已知,可得 即0≤m≤ ; 即 ≤n≤1,取m的最小值0,n的最大值1,可得M= ,N= ,所以M∩N= ∩ = ,此时集合M∩N的“长度”的最小值为 - = ,故选C. 16.已知全集U={-2,-1,0,1,2},集合A= ,则∁UA=________. 答案 {0} 解析 因为A= , 当n=0时,x=-2;n=1时不合题意; n=2时,x=2;n=3时,x=1; n≥4时,x∉Z;n=-1时,x=-1; n≤-2时,x∉Z. 故A={-2,2,1,-1}, 又U={-2,-1,0,1,2},所以∁UA={0}. 17.已知集合A={x|1≤x<5},C={x|-a 答案 (-∞,-1] 解析 因为C∩A=C,所以C⊆A. ①当C=∅时,满足C⊆A,此时-a≥a+3,得a≤- ; ②当C≠∅时,要使C⊆A,则 解得-
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