广东省清远市届高三上学期期末考试数学理试题 Word版含答案.docx

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广东省清远市届高三上学期期末考试数学理试题Word版含答案

清远市2015届高三上学期期末考试

数学（理）试题

第一卷（选择题40分）

一、选择题（40分）

1、图中阴影部分表示的集合是（）

A、　　B、　　C、　　D、

2、已知a，bR，i是虚数单位，若a＋bi与2－i互为共轭复数，则（a＋bi）2＝（　　）

　A、5－4i　　　　　　B、5＋4i　　　　　C、3－4i　　　　　　D、3＋4i　

3、已知，且，则a＝（　　）

　A、－1　　　　　　　B、2或－1　　　　C、2　　　　　　　　D、－2

4、阅读如图的程序框图，若输入m＝2，n＝3，则输出a＝（　　　）

　A、6　　　　　　　　B、4　　　　　　　C、3　　　　　　　　D、2

5、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　）

　A、y＝x＋1　　　　　B、y＝－x2　　　　C、y＝　　　　　　D、y＝x｜x｜

6、设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且b⊥m，则“a⊥b”是“⊥”的（　　）

　A、充分不必要条件　　　　　　　　　　B、必要不充分条件

　C、充要条件　　　　　　　　　　　　　D、既不充分也不必要条件

7、已知实数x，y满足约束条件，若的最小值为3，则实数b＝（　　）

　A、　　　　　　B、　　　　　C、1　　　　D、

8、设定义在（0，＋）上的函数，则当实数a满足时，函数y＝g（x）的零点个数为（　　　）

　A、1　　　　　　　B、2　　　　　C、3　　　　　D、4

第二卷（非选择题，共110分）

2、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的横线上）

（一）必做题（9～13题）

9、图中阴影部分的面积等于＿＿＿＿＿＿

10、在边长为2的正方形ABCD的内部任取一点P，使得点P到正方形ABCD各顶点的距离都大于1的概率是＿＿＿＿＿

11、某几何体的三视图如下图所示：

其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为＿＿＿＿＿

12、已知圆C：

，直线：

L：

x＋y＋a＝0（a＞0），圆心到直线L的距离等于，则a的值为＿＿＿＿

13、如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，该椭圆被称为“黄金椭圆”，其离心率为，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线的离心率e等于＿＿＿＿＿

（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）

14.（几何证明选讲选做题）如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90º，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则∠ACB＝＿＿＿＿＿＿

15.（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，点A（2，）与曲线上的点的最短距离为＿＿＿＿＿

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）已知函数

（1）求函数的最小值和最小正周期；

（2）设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且,，判断△ABC的形状，并求三角形ABC的面积.

17.（本题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对高三年级的700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如右：

（1）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；

（2）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人,其中从身高在185～190cm之间选取的人数记为Ｘ，求Ｘ的分布列和期望。

18.（本题满分14分）在等腰直角△BCP中，BC=PC=4,∠BCP=90°,A是边BP的中点，现沿CA把△ACP折起，使PB=4，如图1所示。

（1）在三棱锥P-ABC中，求证：

平面PAC⊥平面ABC;

（2）在图1中,过A作BC的平行线AE,AE=2,过E作AC的平行线与过C作BA的平行线交于D,连接PE、PD得到图2，求直线PB与平面PCD所成角的大小.

19.（本题满分14分）已知双曲线的焦点为（0,-2）和（0,2）,离心率为，过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点（A、B在轴的上方）.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）探究是否为定值，若是求出该定值，若不是定值说明理由.

20.（本小题满分14分）

设数列的前项和为，且满足,．

（1）求；

（2）数列的通项公式；

（3）设,求证：

．

21.（本题满分14分）设函数.

（1）若函数在处有极值，求函数的最大值；

（2）①若是正实数，求使得关于的不等式在上恒成立的取值范围；

②证明：

不等式.

清远市2015届上学期期末教学质量检测高三理科数学答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

D

B

A

D

B

A

C

第二卷（非选择题，共110分）

3、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的横线上）

（一）必做题（9～13题）

9.110.11.21012..313.

（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）

14.（几何证明选讲选做题）30°15.（极坐标与参数方程选做题）1

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）

16．解：

（1）＝………1分

=………2分

………3分-1……4分

，故其最小正周期是………5分

（2）∵…………7分

又∵0<2<2π，∴……8分

∴，………9分

∵B=，∴A=，∴△ABC是直角三角形………10分

由正弦定理得到：

=，∴………11分

设三角形ABC的面积为S,∴S=………12分

17.解：

（1）由统计图知，

样本中身高在170～185cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35（人），……2分

样本容量为70，……3分

所以样本中学生身高在170～185cm之间的频率f＝＝0.5．……4分

故由f估计该校学生身高在170～185cm之间的概率Ｐ1＝0.5．……5分

（2）由题意可知=0，1，2……7分

……8分……9分

……10分

的分布列为

X

0

1

2

……11分

的期望为。

……12分

18.解：

（1）在三棱锥P-ABC中，依题意可知：

…………1分

∵PA=AB=,PB=4,…………2分则…………3分

又ＡＢ，则PA⊥平面ABC…………5分

∵平面PAC∴平面PAC⊥平面ABC.…………6分

（2）方法一：

由

（1）知,又，

∴平面PAC…………7分∵AB∥CD∴平面PAC…………8分

过Ａ作于Ｈ，则…………9分

又∵∴…………10分

又AB∥CD，AB平面，∴AB//平面，

∴点A到平面的距离等于点B到平面的距离.…………11分

∵在Rt△PAC中，PA=2，AC=2，PC=4

∴PC边上的高，此即为点A到平面PCD的距离…………12分

设直线PB与平面PCD所成角为，则，…………13分

又，所以即直线PB与平面PCD所成角的大小为；…………14分

方法二：

由

（1）知AB，AC，AP两两相互垂直，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0,0，0），B（2，0,0），C（0，2，0），P（0,0，2）……9分

（解法一）∵AB∥CD，∴，

又AC∥ED∴四边形ACDE是直角梯形

∵AE=2，AE∥BC，∴∠BAE=135°，因此∠CAE=45°.…………10分

所以D（-，2，0）.

∴，…………11分

设是平面PCD的一个法向量，则

∴解得取得…………12分

又设表示向量与平面PCD的法向量所成的角，

则…………13分

∴即直线PB与平面PCD所成角的大小为.…………14分

（解法二）∵AB∥CD，∴…………10分

∴，…………11分

设是平面PCD的一个法向量，则即

∴解得取得…………12分

则…………13分

∴即直线PB与平面PCD所成角的大小为.…………14分

19.解：

（1）依题意可设双曲线的标准方程为（）………1分

∵c=2，………2分………3分∴………4分

∴双曲线的标准方程为.………5分

（2）是定值2，理由如下：

………6分

设直线AB：

（没有b>0，不得分这1分）………7分

由得

………8分

解得………9分

设

双曲线渐近线方程：

与联立，………10分

得，…11分

，………12分=3………13分

∴==2………14分

（没有导致情况多种的扣2分）

20.证明：

（1）∵∴……………2分

（2）∵……①

∴当时，……②（没有n≥2扣1分）

∴①-②得,………………5分

∵,∴………7分（没有验证n=1成立扣1分）

是首项为2，公比为的等比数列，………8分

（3）∵∴………10分

（或者由公式计算得，公式对的1分，化简对得1分）

………12分

（说明：

也可以）

∴

………………14分

21.解：

（1）由已知得：

，………1分

又∵函数在处有极值∴，即……2分

∴………3分

∴,当时，，单调递增；

当时，，单调递减；………4分（或者列表）

∴函数的最大值为………5分

（2）①由已知得：

………6分

（i）若，则时，

∴在上为减函数，

∴在上恒成立；………7分

（ii）若，则时，

∴在上为增函数，

∴，不能使在上恒成立；…8分

（iii）若，则时，，当时，，∴在上为增函数，

此时，∴不能使在上恒成立；9分

综上所述，的取值范围是.………10分

②由以上得：

………11分

取得：

………12分

令，………13分

则，.

因此.∴………14分