第一章 运动的描述 匀变速直线运动的研究第3讲 运动的图象 追及和相遇问题.docx

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第一章运动的描述匀变速直线运动的研究第3讲运动的图象追及和相遇问题

第3讲　运动的图象　追及和相遇问题

见学生用书P009

微知识1直线运动的图象

1．直线运动的x－t图象

（1）物理意义：

反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律。

（2）斜率的意义：

图线上某点切线斜率的大小表示物体此时速度的大小，斜率正负表示物体速度的方向。

2．直线运动的v－t图象

（1）物理意义：

反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律。

（2）斜率的意义：

图线上某点切线斜率的大小表示物体此时加速度的大小，斜率正负表示物体加速度的方向。

（3）“面积”的意义

①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移。

②若面积在时间轴的上方，表示位移方向为正方向；若面积在时间轴的下方，表示位移方向为负方向。

微知识2追及和相遇问题

1．追及问题的两类情况

（1）若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。

（2）若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。

2．相遇问题

相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。

一、思维辨析（判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。

）

1．无论是x－t图象还是v－t图象都只能描述直线运动。

（√）

2．x－t图象表示物体的运动轨迹，v－t图象不能表示物体的运动轨迹。

（×）

3．同一坐标系中的两条v－t图线的交点表示两物体相遇。

（×）

4．两物体同向运动恰好不相碰，则两物体相遇时速度相等。

（√）

5．两个物体在追及过程中，物体之间的距离总是逐渐减小。

（×）

二、对点微练

1．（x－t图象）（多选）如图所示为甲、乙两物体在同一直线上运动的位置坐标x随时间t变化的图象，已知甲对应的是图象中的直线，乙对应的是图象中的曲线，则下列说法正确的是（　　）

A．甲做匀减速直线运动

B．乙做变速直线运动

C．0～t1时间内两物体平均速度大小相等

D．两物体的运动方向相反

解析　结合题意分析题图易知，题图中图象的斜率等于速度，知甲沿负方向做匀速直线运动，故A项错误；乙图象切线的斜率不断增大，说明乙的速度不断增大，做变速直线运动，故B项正确；根据坐标的变化量等于位移知，0～t1时间内两物体位移大小不相等，方向相反，所以平均速度不相等，故C项错误；根据图象的斜率等于速度可知，甲的速度为负，乙的速度为正，即两物体的运动方向相反，故D项正确。

答案　BD

2．（v－t图象）（多选）物体做直线运动的v－t图象如图所示，根据图象提供的信息可知（　　）

A．第4s初物体运动的加速度为2m/s2

B．前8s内物体运动的位移为32m

C．在0～4s内与4～6s内物体运动的加速度方向相反

D．在0～4s内与4～6s内物体运动的平均速度相等

解析　图象的斜率表示加速度，则第4s初物体运动的加速度a＝

＝

m/s2＝1m/s2，故A项错误；图象与坐标轴围成面积代表位移，前8s内物体运动的位移x＝

×（4＋8）×4m＋

×8×2m＝32m，故B项正确；在0～4s内与4～6s内物体运动的速度都为正，加速度方向相反，故C项正确；在0～4s内的平均速度v1＝

m/s＝6m/s,4～6s内的平均速度v2＝

m/s＝4m/s，故D项错误。

答案　BC

3．（追及和相遇问题）如图所示，直线MN表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车原来停在A、B两处，A、B间的距离为85m，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1＝2.5m/s2，甲车运动6s时，乙车立即开始向右做匀加速直线运动，加速度a2＝5m/s2，求两辆汽车相遇处距A处的距离。

解析　甲车运动6s的位移为x0＝

a1t

＝45m，尚未追上乙车，设此后经过时间t与乙车相遇，则有

a1（t＋t0）2＝

a2t2＋85m，

将上式代入数据并展开整理得

t2－12t＋32＝0，

解得t1＝4s，t2＝8s。

t1、t2都有意义，t1＝4s时，甲车追上乙车；

t2＝8s时，乙车追上甲车再次相遇。

第一次相遇地点距A的距离

x1＝

a1（t1＋t0）2＝125m。

第二次相遇地点距A的距离

x2＝

a1（t2＋t0）2＝245m。

答案　125m或245m

见学生用书P009

微考点　1　运动图象的理解和应用

核|心|微|讲

1．应用运动图象要注意三点

（1）无论是x－t图象还是v－t图象都只能描述直线运动。

（2）x－t图象和v－t图象都不表示物体运动的轨迹。

（3）x－t图象和v－t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定。

2．应用运动图象解题要“六看”

典|例|微|探

【例1】　（多选）物体甲的位移与时间图象和物体乙的速度与时间图象分别如图甲、乙所示，关于这两个物体的运动情况描述正确的是（　　）

A．甲在0～6s时间内有来回运动，它通过的总位移为零

B．甲在0～6s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4m

C．乙在0～6s时间内有来回运动，它通过的总位移为零

D．乙在0～3s内的加速度与3～6s内的加速度方向相反

【解题导思】

（1）x－t图象的斜率表示的物理量是什么，如何表示位移？

答：

x－t图象的斜率表示速度，斜率不变，速度不变。

物体的位移由纵坐标的变化表示。

（2）v－t图象的斜率、图线与时间轴所夹的面积分别表示的物理量是什么？

答：

v－t图象的斜率表示加速度，图线与时间轴所夹的面积表示位移。

解析　甲图象中的直线的斜率表示速度，速度方向不变，没有来回运动，只是相对于原点的位移，一开始为负，后来为正，选项B正确；乙图象中直线的斜率表示加速度，速度先是负向变小，后正向增大，有来回运动，C项正确。

答案　BC

题|组|微|练

1．如图是某物体在t时间内运动的位移—时间图象和速度—时间图象，从图象上可以判断和得到（　　）

A．物体的位移—时间图象是抛物线

B．该物体做的是曲线运动

C．该物体运动的时间t为2s

D．该物体运动的加速度为1.5m/s2

解析　从v－t图象可知，物体做的是匀加速直线运动，因此位移与时间的二次方成线性关系，因此位移—时间图象是抛物线，A项正确；该物体做的是直线运动，B项错误；由8m＝

×（3m/s＋6m/s）t，得t＝

s，加速度a＝

＝

m/s2＝

m/s2，C、D项错误。

答案　A

2．甲、乙两物体从同一位置沿同一直线运动，它们的v－t图象如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．乙物体先向负方向运动，t1时刻以后反向向正方向运动

B．t2时刻，乙物体追上甲

C．t1时刻，两者相距最远

D．0～t2时间内，乙的速度和加速度都是先减小后增大

解析　乙物体的速度一直都是正值，说明乙物体一直沿正方向运动，选项A错误；根据速度图象面积表示位移可知，t2时刻，甲物体位移大于乙物体，乙物体没有追上甲，选项B错误；t2时刻，在甲后面的乙速度增大到等于甲物体的速度，以后乙物体速度将大于甲物体，此时两者相距最远，选项C错误；0～t2时间内，乙的速度和加速度都是先减小后增大，选项D正确。

答案　D

微考点　2　追及和相遇问题

核|心|微|讲

1．讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在同一时刻能否到达相同的空间位置问题

（1）两个关系：

即时间关系和位移关系。

（2）一个条件：

即两者速度相等，它往往是物体间能追上、追不上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。

2．常见的情况

（1）物体A追上物体B：

开始时，两个物体相距x0，则A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。

（2）物体A追赶物体B：

开始时，两个物体相距x0，要使两物体恰好不相撞，必有xA－xB＝x0，且vA＝vB。

3．解题思路和方法

→

→

典|例|微|探

【例2】　汽车A正在公路上以20m/s的速度匀速行驶，因疲劳驾驶司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止的轿车B时，两车距离仅有75m。

（1）若此时B车立即以2m/s2的加速度启动，通过计算判断：

如果A车司机没有刹车，是否会撞上B车，若不相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从A车发现B车开始到撞上B车的时间。

（2）若A车司机发现B车，立即刹车（不计反应时间）做匀减速直线运动，加速度大小为2m/s2（两车均视为质点），为避免碰撞，在A车刹车的同时，B车立即做匀加速直线运动（不计反应时间），问：

B车加速度aB至少多大才能避免事故。

（假设两车始终在同一条直线上运动）

【解题导思】

（1）在

（1）问中若B车速度增大到与A车速度相等时，A车还没有追上B车，以后两者还能相撞吗？

答：

不能。

因为之后B车的速度会大于A车的速度，相同时间内的位移要比A车的大。

（2）有同学对追及和相遇问题的解法做了如下总结：

在追及和相遇问题中，以时间为变量列出位移的关系，大部分问题能得到很好的解决。

你同意他的说法吗？

答：

同意。

总结得非常好，多数追及和相遇的问题（不管它们的运动性质如何），以时间为变量寻找位移的关系，列出等式即能解决问题。

解析　

（1）当两车速度相等时，AB两车到达同一个位置，设经过的时间为t，

则vA＝vB，

对B车　vB＝at，联立可得t＝10s，

A车的位移xA＝vAt＝200m，

B车的位移xB＝

at2＝100m，

又xB＋x0＝175m

设经过时间t相撞，有vAt＝x0＋

at2，

代入数据解得t1＝5s，t2＝15s（舍去）。

（2）设B车的加速度为aB，B车运动经过时间t，两车相遇时，两车速度相等，则vA＝v0－aAt，

vB＝aBt，且vA＝vB，在时间t内A车的位移

xA＝v0t－

aAt2，

B车的位移xB＝

aBt2，

又xB＋x0＝xA，联立可得aB＝

m/s2≈0.67m/s2。

答案　

（1）两车会相撞，5s　

（2）0.67m/s2

【解题指南】

追及与相遇问题的类型及解题思路

1．相遇问题的两类情况

（1）同向运动的两物体追及即相遇，各自位移之差等于开始时两物体之间的距离。

（2）相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。

2．追及问题涉及两个不同物体的运动关系，分析时要紧抓“一个图和三个关系式”，即：

过程示意图或v－t图象，速度关系式、时间关系式和位移关系式，同时要关注题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等。

题|组|微|练

3．春节放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前x0＝9m区间的速度不超过v0＝6m/s。

现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以v甲＝20m/s和v乙＝34m/s的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后，甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为a甲＝2m/s2的加速度匀减速刹车。

（1）甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章。

（2）若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9m处的速度恰好为6m/s，乙车司机在发现甲车刹车时经t0＝0.5s的反应时间后开始以大小为a乙＝4m/s2的加速度匀减速刹车，为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9m区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？

解析　

（1）对甲车速度由20m/s减速至6m/s过程中的位移：

x1＝

＝91m，x2＝x0＋x1＝100m，

即甲车司机需在离收费站窗口至少100m处开始刹车。

（2）设甲刹车后经时间t，甲、乙两车速度相同，由运动学公式得v乙－a乙（t－t0）＝v甲－a甲t，

解得t＝8s。

相同速度v＝v甲－a甲t＝4m/s<6m/s，即v＝6m/s的共同速度为不相撞的临界条件

乙车从34m/s减速至6m/s的过程中的位移为

x3＝v乙t0＋

＝157m，

所以要满足条件甲、乙的距离至少为x＝x3－x1＝66m。

答案　

（1）100m　

（2）66m

4．滑雪度假村某段雪地赛道可等效为长L＝36m，倾角为θ＝37°的斜坡。

已知滑道的积雪与不同滑板之间的动摩擦因数不同，现假定甲先滑下时滑板与赛道的动摩擦因数μ1＝0.5，乙后滑下时滑板与赛道的动摩擦因数为μ2＝0.25，g取10m/s2。

已知甲和乙均可看做质点，且滑行方向平行，相遇时不会相撞。

求：

（1）甲从坡顶由静止自由滑下时到达坡底的速度大小。

（2）若乙比甲晚出发Δt＝1s，为追上甲，有人从后面给乙一个瞬时作用使乙获得初速度v0＝1m/s，通过计算分析乙能否在甲到达坡底前追上甲；若能追上求出两者在追上前相距的最远距离，若不能追上求出两者到达坡底的时间差。

解析　

（1）对甲的运动，由牛顿运动定律：

m1gsinθ－μ1m1gcosθ＝m1a甲

解得a甲＝2m/s2。

由2a甲L＝v

，得v1＝12m/s。

（2）甲到达坡底的时间t甲＝

＝6s。

对乙的运动，由牛顿运动定律

m2gsinθ－μ2m2gcosθ＝m2a乙，

解得a乙＝4m/s2。

设乙到达坡底时间为t乙，

由L＝v0t乙＋

a乙t

，得t乙＝4s。

t乙＋Δt

设甲出发后经t1，乙与甲达到共同速度v，则

v＝a甲t1＝v0＋a乙（t1－Δt），

解得t1＝1.5s。

x甲＝

a甲t

＝

m，

x乙＝v0（t1－Δt）＋

a乙（t1－Δt）2＝1m，

两者在追上前相距的最远距离

Δx＝x甲－x乙＝1.25m。

答案　

（1）12m/s　

（2）能追上，最远距离1.25m

见学生用书P011

用运动图象解答追及和相遇问题

　素能培养

　利用图象法分析追及和相遇问题的思路

　经典考题　

（多选）甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图象如图所示。

已知两车在t＝3s时并排行驶，则（　　）

A．在t＝1s时，甲车在乙车后

B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5m

C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2s

D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m

解析　根据题述，两车在t＝3s时并排行驶，由图线与横轴所围面积表示位移可知，在t＝1s时，甲车和乙车并排行驶，选项A、C错误；由图象可知，在t＝1s时甲车速度为10m/s，乙车速度为15m/s,0～1s时间内，甲车行驶位移为x1＝5m，乙车行驶位移为x2＝12.5m，所以在t＝0时，甲车在乙车前7.5m，选项B正确；从t＝1s到t＝3s，甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为x＝

（10＋30）×2m＝40m，选项D正确。

答案　BD

　对法对题

1．如图，直线a和曲线b分别是在平行的平直公路上行驶的汽车a和b的速度—时间（v－t）图线，在t1时刻两车刚好在同一位置（并排行驶），在t1到t3这段时间内，下列说法正确的是（　　）

A．在t2时刻，两车相距最远

B．在t3时刻，两车相距最远

C．a车加速度均匀增大

D．b车加速度先增大后减小

解析　在t3时刻以前，b车速度都小于a车，所以在t3时刻，两车相距最远，选项B正确，选项A错误；a车做匀加速直线运动，a车加速度不变，选项C错误；根据速度图象斜率表示加速度可知，b车加速度一直增大，选项D错误。

答案　B

2．甲、乙两物体从同一地点开始沿同一方向运动，其速度随时间的变化关系如图所示，图中t2＝

，两段曲线均为

圆弧，则（　　）

A．两物体在t1时刻加速度相同

B．两物体在t2时刻运动方向均改变

C．两物体在t3时刻相距最远，t4时刻相遇

D．0～t4时间内甲物体的平均速度大于乙物体的平均速度

解析　因两段曲线均为

圆弧，由题图知在t1时刻曲线的切线斜率的绝对值与直线斜率相等，即两者加速度大小相等，但方向相反，选项A错；两物体均做单方向的直线运动，选项B错；甲先做匀加速运动再做匀减速运动，乙先做加速度减小的减速运动，再做加速度减小的加速运动，在t3时刻，两物体相距最远；两物体在0～t4时间内图线与t轴所围面积相等，即两物体在t4时刻相遇，在0～t4时间内的平均速度相同，选项C对，D错。

答案　C

见学生用书P011

1．一物体在某点从静止开始做匀加速直线运动，其中物体运动的位移为s、加速度为a、速度为v、运动时间为t，则下列图象一定错误的是（　　）

解析　加速度a恒定不变，D图错误；v＝at∝t，A图正确；s＝

at2∝t2，B图正确；v2＝2as∝s，C图正确；D图中说明物体在运动过程中加速度变化了，D项错误。

答案　D

2.一个物体以初速度v0沿光滑斜面向上运动，其速度v随时间t变化的规律如图所示，在连续两段时间m和n内对应面积均为S，则经过b时刻的速度vb的大小为（　　）

A.

　　　　　　B.

C.

D.

解析　设b时刻的速度为vb，加速度为a，根据x＝v0t＋

at2得S＝vbm＋

am2，S＝vbn－

an2。

两式联立解得vb＝

，C项正确。

答案　C

3．质点沿直线运动，在10s内其速度由10m/s减为0，速度随时间变化的关系图象（v－t图象）恰好是与两坐标轴相切的四分之一圆弧，如图所示。

则该质点在第5s末的加速度大小为（　　）

A.

m/s2B.

m/s2

C.

m/s2D.

m/s2

解析　质点在第5s末时的加速度大小等于圆上a点切线斜率的绝对值，等于tanθ，因为sinθ＝

，所以tanθ＝

，因此质点在第5s末时的加速度大小为

m/s2，D项正确。

答案　D

4．如图所示，甲从A地由静止匀加速跑向B地，当甲前进距离为s1时，乙从距A地s2处的C点由静止出发，加速度与甲相同，最后二人同时到达B地，则A、B两地距离为（　　）

A．s1＋s2B.

C.

D.

解析　设甲从出发向前运动s1时的时间为t1，C点距离B点的距离为sx，乙从C点运动B点的时间为t0，则甲以后运动到B点的时间也为t0，两人的加速度大小为a。

则对甲从出发向前运动s1时，由运动学公式s1＝

at

，此时甲的速度大小为v＝at1，对甲以后的运动过程s2＋sx－s1＝vt0＋

at

，对乙从C到B的过程sx＝

at

，由以上四个式子整理可得sx＝

，则A、B两点之间的距离为sx＋s2＝

＋s2＝

，则B项正确。

答案　B