第七章 平面直角坐标系全章教案.docx

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第七章平面直角坐标系全章教案

7.1．1有序数对

[教学目标]

1.理解有序数对的应用意义，了解平面上确定点的常用方法

2.培养学生用数学的意识，激发学生的学习兴趣.

[教学重点与难点]

重点:

有序数对及平面内确定点的方法.

难点:

利用有序数对表示平面内的点.

[教学设计]

[设计说明]

一.问题探知

1．一位居民打电话给供电部门：

“卫星路第8根电线杆的路灯坏了，”维修人员很快修好了路灯同学们欣赏下面图案.

2．地质部门在某地埋下一个标志桩，上面写着“北纬44.2°，东经125.7°”。

3．某人买了一张8排6号的电影票，很快找到了自己的座位。

分析以上情景，他们分别利用那些数据找到位置的。

你能举出生活中利用数据表示位置的例子吗？

二.概念确定

有序数对：

用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对（orderedpair）,记作（a,b）

利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置。

与3大道例1如图，点A表示3街与5大道的十字路口，点B表示5街与3大道的十字路口，如果用（3，5）（4，5）→（5，5）→（5，4）→（5，3）表示由A到B的一条路径，那么你能用同样的方法写出由A到B的其他几条路径吗？

6大道

5大道

4大道

A

3大道

B

2大道

1大道

1街

2街

3街

4街

5街

6街

分析：

图中确定点用前一个数表示大街，后一个数表示大道。

解：

其他的路径可以是：

（3，5）→（4，5）→（4，4）→（5，4）→（5，3）；

（3，5）→（4，5）→（4，4）→（4，3）→（5，3）；

（3，5）→（3，4）→（4，4）→（5，4）→（5，3）；

（3，5）→（3，4）→（4，4）→（4，3）→（5，3）；

（3，5）→（3，4）→（3，3）→（4，3）→（5，3）；

根据描述的情景找出表示地点的数量

学生举例说明生活中的类似确定点的我位置的例子

明确数对的表示含义和格式

寻找规律确定路线

1．在教室里，根据座位图，确定数学课代表的位置

2．教材65页练习

三.方法归类

常见的确定平面上的点位置常用的方法

（1）以某一点为原点（0，0）将平面分成若干个小正方形的方格，利用点所在的行和列的位置来确定点的位置。

（2）以某一点为观察点，用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置。

1．如图，A点为原点（0，0），则B点记为（3，1

？

2．如图，以灯塔A为观测点，小岛B在灯塔A北偏东45，距灯塔3km处。

例2如图是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图

，对我方舰艇来说：

（1）北偏东方向上有哪些目标？

要想确定敌舰B的位置，还需要什么数据？

（2）距我方潜艇图上距离为1cm处的敌舰有哪几艘？

（3）要确定每艘敌舰的位置，各需要几个数据？

[巩固练习]

1．如图是某城市市区的一部分示意图，对市政府来说：

（1）北偏东60的方向有哪些单位？

要想确定单位的位置。

还需要哪些数据？

（2）火车站与学校分别位于市政府的什么方向，怎样确

结合实际问题归纳方法

学生尝试描述位置

定他们的位置？

2．如图，马所处的位置为（2，3）.

（1）你能表示出象的位置吗？

（2）写出马的下一步可以到达的位置。

[小结]

1.为什么要用有序数对表示点的位置，没有顺序可以吗？

2.几种常用的表示点位置的方法.

[作业]

必做题:

教科书68页:

1题

仿照前面方法确定位置关系

可以变化出其他的象棋盘上的位置，也可以引申到围棋盘或其他棋类。

7.1．2平面直角坐标系

[教学目标]

3.认识平面直角坐标系，了解点的坐标的意义，会用坐标表示点，能画出点的坐标位

4.渗透对应关系，提高学生的数感.

[教学重点与难点]

重点:

平面直角坐标系和点的坐标.

难点:

正确画坐标和找对应点.

[教学设计]

[设计说明]

一.利用已有知识，引入

1．如图，怎样说明数轴上点A和点B的位置，

2．根据下图，你能正确说出各个象棋子的位置吗？

二.明确概念

平面直角坐标系：

平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系（rectangularcoordinatesystem）.水平的数轴称为x轴（x-axis）或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴（y-axis）或纵轴，取向上方向为

由数轴的表示引入，到两个数轴和有序数对。

从学生熟悉的物品入手，引申到平面直角坐标系。

描述平面直角坐标系特征和画法

正方向；两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

点的坐标：

我们用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标。

表示方法为（a,b）.a是点对应横轴上的数值，b是点在纵轴上对应的数值。

例1写出图中A、B、C、D点的坐标。

建立平面直角坐标系后，平面被坐标轴分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限和第四象限。

你能说出例1中各点在第几象限吗？

例2在平面直角坐标系中描出下列各点。

（）A（3，4）；B（-1，2）；C（-3，-2）；D（2，-2）

问题1：

各象限点的坐标有什么特征？

练习：

教材68页：

练习1，2。

三.深入探索

教材67页：

探索：

识别坐标和点的位置关系，以及由坐标判断两点的关系以及两点所确定的直线的位置关系。

[小结]

1．平面直角坐标系；

2．点的坐标及其表示

3．各象限内点的坐标的特征

4．坐标的简单应用

明确点的坐标的表示法

仿照例题，画坐标轴，描点，要求能正确画平面直角坐标系

通过探究，发现坐标不但能代表点的位置，而且能反映他所在的直线的特征

7．2．1用坐标表示地理位置

[教学目标]

1．知识技能

了解用平面直角坐标系来表示地理位置的意义及主要过程；培养学生解决实际问题的能力．

2．数学思考

通过学习如何用坐标表示地理位置，发展学生的空间观念．

3．解决问题

通过学习，学生能够用坐标系来描述地理位置．

4．情感态度

通过用坐标系表示实际生活中的一些地理位置，培养学生的认真、严谨的做事态度．

[教学重点与难点]

1．重点：

利用坐标表示地理位置．

2．难点：

建立适当的直角坐标系，利用平面直角坐标系解决实际问题．

[教学过程]

一、创设问题情境

观察：

教材第73页图7.2-1．

今天我们学习如何用坐标系表示地理位置，首先我们来探究以下问题．

二、师生互动，探究用坐标表示地理位置的方法

活动1：

根据以下条件画一幅示意图，指出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置．

小刚家：

出校门向东走150米，再向北走200米．

小强家：

出校门向西走200米，再向北走350米，最后再向东走50米．

小敏家：

出校门向南走100米，再向东走300米，最后向南走75米．

问题：

如何建立平面直角坐标系呢？

以何参照点为原点？

如何确定x轴、y轴？

如何选比例尺来绘制区域内地点分布情况平面图？

小刚家、小强家、小敏家的位置均是以学校为参照物来描述的，故选学校位置为原点．根据描述，可以以正东方向为x轴，以正北方向为y轴建立平面直角坐标系，并取比例尺1：

10000（即图中1cm相当于实际中10000cm，即100米）．

由学生画出平面直角坐标系，标出学校的位置，即（0，0）．

引导学生一同完成示意图．

问题：

选取学校所在位置为原点，并以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向有什么优点？

可以很容易地写出三位同学家的位置．

活动2：

归纳利用平面直角绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程．

经过学生讨论、交流，教师适当引导后得出结论：

（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；

（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；

（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．

应注意的问题：

用坐标表示地理位置时，一是要注意选择适当的位置为坐标原点，这里所说的适当，通常要么是比较有名的地点，要么是所要绘制的区域内较居中的位置；二是坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向，这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向一致；三是要注意标明比例尺和坐标轴上的单位长度．

有时，由于地点比较集中，坐标平面又较小，各地点的名称在图上可以用代号标出，在图外另附名称．（举例）

活动3：

进一步理解如何用坐标表示地理位置．

展示问题：

（教材第82页，公园平面图）

春天到了，初一（13）班组织同学到人民公园春游，张明、王丽、李华三位同学和其他同学走散了，同学们已经到了中心广场，而他们仍在牡丹园赏花，他们对着景区示意图在电话中向老师告诉了他们的位置．

张明：

“我这里的坐标是（300，300）”．

王丽：

“我这里的坐标是（200，300）”．

李华：

“我在你们东北方向约420米处”．

实际上，他们所说的位置都是正确的．你知道张明和王丽同学是如何在景区示意图上建立的坐标系吗？

你理解李华同学所说的“东北方向约420米处”吗？

用他们的方法，你能描述公园内其他景点的位置吗？

让学生分别画出直角坐标系，标出其他景点的位置．

三、小结

让学生归纳说出如何利用坐标表示地理位置．

四、课后作业

教材第79页第5题、第8题．

五、备选练习

1．根据以下条件画一幅示意图，标出某一公园的各个景点．

菊花园：

从中心广场向北走150米，再向东走150米；

湖心亭：

从中心广场向西走150米，再向北走100米；

松风亭：

从中心广场向西走100米，再向南走50米；

育德泉：

从中心广场向北走200米．

7．2．2用坐标表示平移

[教学目标]

1．知识技能

掌握坐标变化与图形平移的关系；能利用点的平移规律将平面图形进行平移；会根据图形上点的坐标的变化，来判定图形的移动过程．

2．数学思考

发展学生的形象思维能力，和数形结合的意识．

3．解决问题

用坐标表示平移体现了平面直角坐标系在数学中的应用．

4．情感态度

培养学生探究的兴趣和归纳概括的能力，体会使复杂问题简单化．

[教学重点与难点]

1．重点：

掌握坐标变化与图形平移的关系．

2．难点：

利用坐标变化与图形平移的关系解决实际问题．

[教学过程]

一、引言

上节课我们学习了用坐标表示地理位置，本节课我们继续研究坐标方法的另一个应用．

二、新课

展示问题：

教材第75页图．

（1）如图将点A（－2，－3）向右平移5个单位长度，得到点A1，在图上标出它的坐标，把点A向上平移4个单位长度呢？

（2）把点A向左或向下平移4个单位长度，观察他们的变化，你能从中发现什么规律吗？

（3）再找几个点，对他们进行平移，观察他们的坐标是否按你发现的规律变化？

规律：

在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）（或（，））；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）（或（，））．

教师说明：

对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移．

例如图

（1），三角形ABC三个顶点坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）．

（1）将三角形ABC三个顶点的横坐标后减去6，纵坐标不变，分别得到点A1、B1、C1，依次连接A1、B1、C1各点，所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系？

（2）将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2各点，所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系？

引导学生动手操作，按要求画出图形后，解答此例题．

解：

如图

（2），所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状完全相同，三角形A1B1C1可以看作将三角形ABC向左平移6个单位长度得到．类似地，三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状完全相同，它可以看作将三角形ABC向下平移5个单位长度得到．

思考题：

由学生动手画图并解答．

归纳：

三、练习

教材习题7.2中第1、2、4题．

平面直角坐标系小结与复习

考点例析

考点1有序数对的意义

例1有一个英文单词，它的字母都在图1中．如果字母h用有序数对（4，1）来表示，则图1中与这个英文单词的各个字母对应的有序数对依次为（1，3），（3，4），（4，2），（2，1），（6，1），这个英文单词是＿＿．图1

解析：

根据字母h的表示方法可知，每个字母都是用一对有序数对表示，其中有序数对的前一个数表示这个字母所在的列数，后一个数表示这个字母所在的行数．于是有序数对（1，3），（3，4），（4，2），（2，1），（6，1）对应的字母分别为s，t，u，d，y，这个英文单词是study．

点评：

本题主要考查有序数对的意义，解答的关键是由已知字母的表示方法确定有序数对的意义，并据此找出有序数对所对应的字母．

考点2点的坐标的确定

例2在平面直角坐标系中，在第二象限内有一点P，且P点到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，则P点坐标为（）

A.（5，4）B.（4，5）C.（4，5）D.（5，4）

解析：

可以先画草图，过点P分别向x轴、y轴作垂线，因为P点在第二象限内，并且到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，所以垂足在x轴、y轴上对应的数分别为5，4，点P的坐标为（5，4）.故选A.

例3（2011年青岛市）如图2，若将直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的

，则点A的对应点的坐标是（）

A．（-4，3）B．（4，3）

C．（-2，6）D．（-2，3）图2

解析：

根据坐标的确定方法并结合网格易知点A的坐标为（-4，6），将点A的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的

后的对应点的坐标是（-4，3）．故选A.

点评：

坐标的确定方法是过点作坐标轴（横轴或纵轴）的垂线，垂足在横轴上的坐标就是该点的横坐标，垂足在纵轴上的坐标就是该点的纵坐标．

考点3点的坐标的特征

例4（2011年枣庄市）在平面直角坐标系中，点P（-2，x2+1）所在的象限是（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

解析：

由于x2是非负数，所以x2+1一定是正数．即点P的横坐标为负，纵坐标为正，所以点P在第二象限．故选B.

点评：

点的坐标有三大特征：

①各象限内的点的坐标特征：

第一象限、第二象限、第三象限、第四象限内各点的坐标符号分别为（+，+）、（-，+）（-，-）（+，-）；②坐标轴上点的坐标特征：

横轴上各点的纵坐标均为零，纵轴上各点的横坐标均为零；③平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：

平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等．

考点4坐标方法的简单应用

例5（2011年怀化市）如图3，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帥”位于点（-1，-2），“馬”位于点（2，-2），则“兵”位于点（）

A．（-1，1）B．（-2，-1）C．（-3，1）D．（1，-2）

解析：

要确定“兵”的坐标，首先要确定原点的位置．要使“帥”位于点（-1，-2），逆向思考，该点向右数1格，再向上数2格的点即是原点．再用“馬”的坐标验证原点的位置确定是正确的，从而“兵”位于点（-3，1）．故选C.

图3

点评：

解决此类问题的一般步骤为：

先根据某一点的坐标确定原点的位置，然后再用另一点的坐标对原点进行验证，进而根据原点的位置确定所求点的坐标．

考点5用坐标表示平移

例6（2011年遵义市）将点P（-2，1）先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P'，则点P'的坐标为＿＿＿．

解析：

由点的坐标平移规律可知，点P'的横坐标为：

-2-1=-3，纵坐标为：

1+2=3，所以点P'的坐标是（-3，3）．

点评：

本题是已知平移前点的坐标和平移的方向和距离求平移后点的坐标，解答此类问题可直接根据点的坐标平移规律求解．如果已知平移后的点的坐标和平移的方向和距离求平移前点的坐标，可将平移后的点向相反的方向平移，然后再运用点的坐标平移规律求解．

考点6求图形的面积

例7如图4，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3）．求△ABC的面积．

解析：

过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过B点所作平行于x轴的直线交于点D、E．则四边形ACED为梯形．根据点A、B、C的坐标，可求得AD=4，CE=6，DB=4，BE=1，DE=5，所以△ABC的面积为：

S△ABC=

（AD+CE）·DE-

AD·DB-

CE·BE

=

×（4+6）×5-

×4×4-

×6×1=14．图4

点评：

求坐标系中图形面积的一般方法是过三角形的顶点作坐标轴的平行线，将三角形的面积转化为梯形或长方形面积与直角三角形面积的和或差求解．

误区点拨

误区一忽视点的坐标符号

例1点N在第四象限，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点N的坐标是＿＿＿．

错解：

因为点N到x轴的距离为2，所以点N的纵坐标为2，点N到y轴的距离为3，所以点N的横坐标为3，所以点N的坐标是（3，2）．

剖析：

错解忽略了点在象限内的符号特征.

正解：

点N的坐标是（3，-2）．

误区二忽视点的坐标的多种情况

例2点A（m，n）到x轴的距离为7，到y轴的距离为13，则点A的坐标是．

错解：

（13，7）．

剖析：

忽略横、纵坐标的符号，出现漏解．

正解：

点A（m，n）到x轴的距离为7，所以|n|=7，即n=7或n=-7．

点A（m，n）到y轴的距离为13，所以|m|=13，即m=13或m=-13．

所以点A的坐标是（13，7）或（13，-7）或（-13，7）或（-13，-7）．

误区三忽视点的位置的多种情况

例3已知直线l平行于x轴，点A、B是直线l上的点，如果点A的坐标为（2，5），且线段AB的长为6，那么点B的坐标是＿＿＿．

错解：

因为直线l平行于x轴，点A的坐标（2，5），所以点B的纵坐标也是5．

因为线段AB的长为6，所以点B的横坐标为2+6=8．

所以点B的坐标是（8，5）．

剖析：

上述解法只考虑了点B在点A右侧的情况，而忽略了点B在点A左侧的情况，此时点B的横坐标为2-6=-4．

正解：

当点B在点A右侧时，点B的坐标是（8，5）；当点B在点A左侧时，点B的坐标是（-4，5）．

误区四错用点的坐标平移规律

例4在平面直角坐标系中，将点A（-4，3）先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点B，则点B的坐标是＿＿＿．

错解：

由点的坐标平移规律可知，点B的横坐标为-4-3=-7，纵坐标为3+2=5，所以点B的坐标是（-7，5）．

剖析：

点的坐标平移规律简记为“左减右加，上加下减”，错解错用了点的坐标平移规律．

正解：

由点的坐标平移规律可知，点B的横坐标为-4+3=-1，纵坐标为3-2=1，所以点B的坐标是（-1，1）．

跟踪训练

1．已知点P在第四象限，若点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标是（）

A．（1，-2）B．（-2，1）C．（2，-1）D．（1，2）

2．如图1，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（-40，-30）表示，那么（10，20）表示的位置是（）

A．点AB．点B

C．点CD．点D图1

3．已知△ABC的面积为4，点A和点B的坐标分别为（0，0），（4，0），那么点C的坐标不可能是（）

A．（1，2）B．（-1，2）C．（5，2）D．（2，3）

4．已知长方形ABCD的长为8，宽为4，建立如图2所示的平面直角坐标系，下面哪个点在长方形上（）

A.（4，4）B．（5，2）

C．（5，4）D．（0，-3）图2

5．若点M（a-2，a+3）是x轴上的点，则点M的坐标是＿＿＿；若点M（a-2，a+3）是y轴上的点，则点M的坐标是＿＿＿．

6．将点P（2，y）先向下平移5个单位长度，再向左平移6个单位长度得到点Q（x，-3），则xy的值为

＿＿＿．

7．将三角形各顶点的横坐标都减去2，纵坐标都加上5，连接三个新的顶点所形成的三角形可以看成是将原三角形先向＿＿＿平移＿＿＿个单位长度，再向＿＿＿平移＿＿＿个单位长度得到．

8．在平面直角坐标系内，一个机器人从原点O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2，再向正西方向走9米到达A3，再向正南方向走12米到达A4，再向正东方向走15米到达A5，按此规律走下去，当机器人走到A6时，A6的坐标是＿＿＿．

9．如图3，已知△A'B'C'是△ABC经过某种变换后得到的．

（1）分别写出点A和点A'，点B和点B'，点C和点C'的坐标.

（2）△A'B'C'可以看做△ABC经过怎样的变化得到？

（3）若△ABC中任意一点M的坐标为（m，n），则它的对应点M'的坐标是什么？

图3

中考链接

1．（2011年大连市）在平面直角坐标系中，点P（-3，2）所在象限为（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．（2011年乌兰察布市）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（4，-1），B（1，1）．将线段AB平移后得到线段A'B'，若点A'的坐标为（-2，2），则点B'的坐标为（）

A．（-5，4）B．（4，3）C．（-1，-2）D．（-2，-1）

3.（2011年日照市）以平行四边形ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立平面直角坐标系，已知B、D点的坐标分别为（1，3），（4，0），把平行四边形向上平移2个单位长度，那么平移后C点相应的点的坐标是（）

A．（3，3）B．（5，3）C．（3，5）D．（5，5）

4．（2011年沈阳市）在平面直角坐标系中，若点M（-1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，则x的值是．

5．（2011年台州市）若点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，则称点P为“和谐点”．请写出一个“和谐点”的坐标：

＿＿＿．

6．（2011年安徽省）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右…依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示．

（1）填写下列各点的坐标：

A4（，），A8（，），A12（，）.

（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）.

（3）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．

平面直角坐标系小结与复习

跟踪训练：

1．A2．B3．D4．B5．（-5，0）（0，5）

6．-87．左2上58．（9，12）

9．解：

（1）A（-4，-4），B（-3，-2），C（-1，-3），A'（1，1），B'（2，3），C'（4，2）.

（2）△A'B'C'可以看做△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度得到的.

（3）M'的坐标是（m+5，n+5）.

中考链接：

1．B2．A3．D4．-6或4

5．答案不唯一，如（