届高考数学全国通用二轮复习中档大题精品讲义 第2讲 解三角形.docx
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届高考数学全国通用二轮复习中档大题精品讲义第2讲解三角形
第2讲 解三角形
[明考情]
高考中主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用.求三角形的面积问题一般在解答题的17题位置.
[知考向]
1.利用正弦、余弦定理解三角形.
2.三角形的面积.
3.解三角形的综合问题.
考点一 利用正弦、余弦定理解三角形
方法技巧
(1)公式法解三角形:
直接利用正弦定理或余弦定理,其实质是将几何问题转化为代数问题,适用于求三角形的边或角.
(2)边角互化法解三角形:
合理转化已知条件中的边角关系,适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.
1.(2017·天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=(a2-b2-c2).
(1)求cosA的值;
(2)求sin(2B-A)的值.
解
(1)由asinA=4bsinB及=,得a=2b.
由ac=(a2-b2-c2)及余弦定理,得
cosA===-.
(2)由
(1),可得sinA=,代入asinA=4bsinB,
得sinB==.
由
(1)知,A为钝角,所以cosB==.
于是sin2B=2sinBcosB=,cos2B=1-2sin2B=,
故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=×-×=-.
2.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.
(1)若PB=,求PA;
(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.
解
(1)由已知得∠PBC=60°,∠PBA=30°.
在△PBA中,由余弦定理,得PA2=3+-2××cos30°=,
∴PA=.
(2)设∠PBA=α,由已知得PB=sinα,
在△PBA中,由正弦定理得=,
化简得cosα=4sinα,故tanα=,即tan∠PBA=.
3.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且+=.
(1)求角A的大小;
(2)若=+,a=,求b的值.
解
(1)由题意,可得+=3,即+=1,
整理得b2+c2-a2=bc,
由余弦定理知,cosA==,
因为0<A<π,所以A=.
(2)根据正弦定理,得====+cosA=+=+,
解得tanB=,所以sinB=.
由正弦定理得,b===2.
4.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB.
(1)求角B的大小;
(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.
解
(1)∵bsinA=acosB,
由正弦定理得sinBsinA=sinAcosB.
在△ABC中,sinA≠0,
即得tanB=.
∵B∈(0,π),∴B=.
(2)∵sinC=2sinA,由正弦定理得c=2a,
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,
即9=a2+4a2-2a·2acos,
解得a=,∴c=2a=2.
考点二 三角形的面积
方法技巧 三角形面积的求解策略
(1)若所求面积的图形为不规则图形,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为三角形的面积.
(2)若所给条件为边角关系,则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角,再利用三角形面积公式求解.
5.(2016·全国Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(1)求角C的大小;
(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
解
(1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinB·cosA)=sinC,2cosCsin(A+B)=sinC,故2sinCcosC=sinC.因为0<C<π,所以cosC=,所以C=.
(2)由已知,absinC=,又C=,所以ab=6,由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7,故a2+b2=13,从而(a+b)2=25,可得a+b=5.所以△ABC的周长为5+.
6.在△ABC中,已知C=,向量m=(sinA,1),n=(1,cosB),且m⊥n.
(1)求A的大小;
(2)若点D在边BC上,且3=,AD=,求△ABC的面积.
解
(1)由题意知m·n=sinA+cosB=0,
又C=,A+B+C=π,所以sinA+cos=0.
所以sinA-cosA+sinA=0,即sin=0.
又0<A<,所以A-∈,
所以A-=0,即A=.
(2)设||=x,由3=,得||=3x,
由
(1)知,A=C=,所以||=3x,B=.
在△ABD中,由余弦定理,得()2=(3x)2+x2-2·3x·xcos,
解得x=1,所以AB=BC=3,
所以S△ABC=BA·BC·sinB=·3·3·sin=.
7.(2017·全国Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.
(1)求cosB的值;
(2)若a+c=6,△ABC面积为2,求b.
解
(1)由题设及A+B+C=π,得sinB=8sin2,
故sinB=4(1-cosB).
上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,
解得cosB=1(舍去)或cosB=.
故cosB=.
(2)由cosB=,得sinB=,
故S△ABC=acsinB=ac.
又S△ABC=2,则ac=.
由余弦定理及a+c=6,
得b2=a2+c2-2accosB
=(a+c)2-2ac(1+cosB)
=36-2××=4.
所以b=2.
8.(2017·延边州一模)已知函数f(x)=sin2ωx-sin2,函数f(x)的图象关于直线x=π对称.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,f =,求△ABC面积的最大值.
解
(1)f(x)=-cos2ωx-=cos-cos2ωx
=-cos2ωx+sin2ωx=sin.
令2ωx-=+kπ,解得x=+,k∈Z.
∴f(x)的对称轴为x=+,k∈Z.
令+=π,
解得ω=,k∈Z.
∵<ω<1,
∴当k=1时,ω=,
∴f(x)=sin.
∴f(x)的最小正周期T==.
(2)∵f =sin=,
∴sin=.
∴A=.
由余弦定理得,cosA===,
∴b2+c2=bc+1≥2bc,
∴bc≤1.
∴S△ABC=bcsinA=bc≤,
∴△ABC面积的最大值是.
考点三 解三角形的综合问题
方法技巧
(1)题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.
(2)和三角形有关的最值问题,可以转化为三角函数的最值问题,要注意其中角的取值.
(3)和平面几何有关的问题,不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理,还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.
9.(2017·天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=.
(1)求b和sinA的值;
(2)求sin的值.
解
(1)在△ABC中,因为a>b,
所以由sinB=,得cosB=.
由已知及余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=13,
所以b=.
由正弦定理=,
得sinA==.
所以b的值为,sinA的值为.
(2)由
(1)及a 所以sin2A=2sinAcosA=,cos2A=1-2sin2A=-. 所以sin=sin2Acos +cos2Asin =. 10.△ABC的三个角A,B,C所对的边分别为a,b,c,1+=. (1)求角A的大小; (2)若△ABC为锐角三角形,求函数y=2sin2B-2sinBcosC的取值范围. 解 (1)因为1+=,所以由正弦定理,得1+==. 因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC, 所以=,因为sinC≠0,sinB≠0, 所以cosA=,故A=. (2)因为A+B+C=π,A=,所以B+C=. 所以y=2sin2B-2sinBcosC=1-cos2B-2sinBcos =1-cos2B+sinBcosB-sin2B=1-cos2B+sin2B-+cos2B =+sin2B-cos2B=sin+. 又△ABC为锐角三角形, 所以<B<⇒<2B-<, 所以y=sin+∈. 故函数y=2sin2B-2sinBcosC的取值范围是. 11.(2017·咸阳二模)设函数f(x)=sinxcosx-sin2(x∈R), (1)求函数f(x)的单调区间; (2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f =0,c=2,求△ABC面积的最大值. 解 (1)函数f(x)=sinxcosx-sin2(x∈R). 化简可得f(x)=sin2x-=sin2x-. 令2kπ-≤2x≤2kπ+(k∈Z), 则kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), 即f(x)的递增区间为(k∈Z). 令2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z), 则kπ+≤x≤kπ+(k∈Z), 即f(x)的递减区间为(k∈Z). (2)由f =0,得sinC=, 又因为△ABC是锐角三角形, 所以C=. 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,将c=2,C=代入得4=a2+b2-ab, 由基本不等式得a2+b2=4+ab≥2ab,即ab≤4(2+), 所以S△ABC=absinC≤·4(2+)·=2+, 即△ABC面积的最大值为2+. 12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且m=(2a-c,cosC),n=(b,cosB),m∥n. (1)求角B的大小; (2)若b=1,当△ABC的面积取得最大值时,求△ABC内切圆的半径. 解 (1)由已知可得(2a-c)cosB=bcosC,结合正弦定理可得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,即2sinAcosB=sin(B+C), 又sinA=sin(B+C)>0,所以cosB=, 所以B=. (2)由 (1)得B=,又b=1,在△ABC中,b2=a2+c2-2accosB, 所以12=a2+c2-ac,即1+3ac=(a+c)2. 又(a+c)2≥4ac,所以1+3ac≥4ac, 即ac≤1,当且仅当a=c=1时取等号. 从而S△ABC=acsinB=ac≤,当且仅当a=c=1时,S△ABC取得最大值. 设△ABC内切圆的半径为r,由S△ABC=(a+b+c)r,得r=. 例 (12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(a+b,sinA-sinC),向量n=(c,sinA-sinB),且m∥n. (1)求角B的大小; (2)设BC的中点为D,且AD=,求a+2c的最大值及此时△ABC的面积. 审题路线图 ―→―→―→ 规范解答·评分标准 解 (1)因为m∥n, 所以(a+b)(sinA-sinB)-c(sinA-sinC)=0, ………………………………………………………………………………………………1分 由正弦定理,可得(a+b)(a-b)-c(a-c)=0,即a2+c2-b2=ac.……………………3分 由余弦定理可知,cosB===.因为B∈(0,π),所以B=.…………5分 (2)设∠BAD=θ,则在△BAD中,由B=可知,θ∈. 由正弦定理及AD=,有===2, 所以BD
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