高中数学课后提升训练十一21离散型随机变量及其分布列212新人教A版.docx
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高中数学课后提升训练十一21离散型随机变量及其分布列212新人教A版
2019-2020年高中数学课后提升训练十一2.1离散型随机变量及其分布列2.1.2新人教A版
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.若离散型随机变量X的分布列如表,则a的值为( )
X
0
1
P
2a
3a
【解析】选A.由离散型随机变量X的分布列知:
2a+3a=1,解得a=.
2.(xx·兰州高二检测)设离散型随机变量X的分布列为:
X
-1
0
1
2
3
P
则下列各式成立的是 ( )
A.P(X=1.5)=0B.P(X>-1)=1
C.P(X<3)=1D.P(X<0)=0
【解析】选A.因为{X=1.5}事件不存在,故P(X=1.5)=0.
3.(xx·广州高二检测)随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=,k=1,2,3,其中c为常数,则P(ξ≥2)等于 ( )
A.B.C.D.
【解析】选C.根据分布列中所有的概率和为1,
得++=1,解得c=.
所以P(ξ=k)=·,
所以P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)
=×=.
【补偿训练】已知随机变量ξ所有可能取值是1,2,…,5,且取这些值的概率依次是k,2k,…,5k,求常数k的值.
【解析】根据离散型随机变量分布列的性质,得k+2k+…+5k=1,所以15k=1,即k=.
4.(xx·郑州检测)离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失,丢失数据以x,y(x,y∈N)代替,分布列如下:
X=i
1
2
3
4
5
6
P(X=i)
0.20
0.10
0.x5
0.10
0.1y
0.20
则P等于 ( )
A.0.25B.0.35C.0.45D.0.55
【解析】选B.根据分布列的性质知,
0.20+0.10+0.x5+0.10+0.1y+0.20=1,
得x=2,y=5,
所以P=P(X=2)+P(X=3)
=0.10+0.25=0.35.
5.(xx·广州高二检测)一个袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10.现从中任取4个球,有如下几种变量:
①X表示取出的球的最大号码;②Y表示取出的球的最小号码;③取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,ξ表示取出的4个球的总得分;④η表示取出的黑球个数.
这四种变量中服从超几何分布的是 ( )
A.①②B.③④C.①②④D.①②③④
【解析】选B.依据超几何分布的数学模型及计算公式,或用排除法.
6.一批产品共50件,其中5件次品,45件正品,从这批产品中任抽2件,则出现次品的概率为 ( )
A. B.
C. D.以上都不对
【解题指南】本题符合超几何分布,且可用对立事件求概率.
【解析】选C.P=1-
=1-=.
7.一个盒子里装有大小相同的10个黑球,12个红球,4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于
的是 ( )
A.P(0 C.P(X=1)D.P(X=2) 【解析】选B.本题相当于最多取出1个白球的概率,也就是取到1个白球或没有取到白球. 8.(xx·武汉检测)若随机变量η的分布列为 η -2 -1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(η A.x≤2B.1≤x≤2 C.1 【解析】选C.根据随机变量η的分布列知,实数η的所有可能取值是-2,-1,0,1,2,3且P(η≥2)=P(η=2)+P(η=3)=0.1+0.1=0.2, 则有: P(η<2)=1-0.2=0.8, 又P(η≤1)=P(η=-2)+P(η=-1)+P(η=0)+P(η=1)=0.8, 则当P(η 二、填空题(每小题5分,共10分) 9.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有ξ个红球,则随机变量ξ的分布列为________. 【解析】P(ξ=0)= =0.1,P(ξ=1)= =0.6, P(ξ=2)= =0.3,故分布列为 ξ 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3 答案: ξ 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3 10.设随机变量ξ的可能取值为5,6,7,…,16这12个值,且取每个值的概率均相同,则P(ξ>8)=________,P(6<ξ≤14)=________. 【解析】P(ξ>8)=×8=,P(6<ξ≤14)=×8=. 答案: 【补偿训练】一批产品分为四级,其中一级产品是二级产品的两倍,三级产品是二级产品的一半,四级产品与三级产品相等,从这批产品中随机抽取一个检验质量,其级别为随机变量ξ,则P(ξ>1)=________. 【解析】依题意,P(ξ=1)=2P(ξ=2),P(ξ=3)=P(ξ=2),P(ξ=3)=P(ξ=4),由分布列性质得1=P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4),4P(ξ=2)=1, 所以P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=. 所以P(ξ>1)=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=. 答案: 三、解答题 11.(10分)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率. (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率. (3)设随机变量X为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,求X的分布列. 【解析】 (1)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA,那么P(EA)= =,即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是. (2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E,那么P(E)= =,所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()=1-P(E)=. (3)随机变量X可能取的值为1,2.事件{X=2}是指有两人同时参加A岗位服务, 则P(X=2)= =. 所以P(X=1)=1-P(X=2)=,X的分布列是 X 1 2 P 【能力挑战题】 一个盒子中装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为R的函数: f1(x)=x,f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=sinx,f5(x)=cosx,f6(x)=2. (1)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到一个新的函数,求所得函数是奇函数的概率. (2)现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数ξ的分布列. 【解析】 (1)记事件A为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”,由题意知P(A)= =. (2)由题意ξ=1,2,3,4. P(ξ=1)= =,P(ξ=2)= =, P(ξ=3)= · · =, P(ξ=4)= · · · =. 故ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 2019-2020年高中数学课后提升训练十七2.4正态分布新人教A版 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.下列函数是正态密度函数的是 ( ) A.f(x)= μ,σ(σ>0)都是实数 B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 【解析】选B.仔细对照正态分布密度函数f(x)= (x∈R).注意指数中σ和系数的分母上的σ要一致,以及指数部分的正负.A错在正确函数的系数中分母部分的二次根式是不包含σ的,而且指数部分的符号应当是负的.B是正态分布N(0,1)的密度分布函数.C对应f(x)= (x∈R),从系数看σ=2,可是从指数部分看σ=,所以不正确.D错在指数部分缺少一个负号. 2.(xx·揭阳高二检测)设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P (ξ A.1B.2C.3D.4 【解析】选B.因为随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ 3.(xx·潍坊高二检测)设随机变量X的概率密度为φμ,σ(x)= (x∈R),则X的概率密度最大值为 ( ) A.1B.C.D. 【解析】选D.由解析式可知当x=-3时,有最大值. 【补偿训练】下列图形中不是正态分布曲线的为 ( ) 【解析】选D.正态分布曲线关于直线x=μ对称,由于选项D的图形不是轴对称图形,故D不是正态分布曲线. 4.某厂生产的零件外直径X~N(8.0,0.152)(单位: mm),现从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm,则可认为 ( ) A.上、下午生产情况均为正常 B.上、下午生产情况均为异常 C.上午生产情况正常,下午生产情况异常 D.上午生产情况异常,下午生产情况正常 【解析】选C.根据3σ原则,零件外直径在区间(8.0-3×0.15,8.0+3×0.15),即(7.55,8.45)之外时为生产异常. 5.(xx·兰州高二检测)正态总体N,数值落在(-∞,-2)∪(2,+∞)的概率为 ( ) A.0.46B.0.9973 C.0.03D.0.0027 【解题指南】由正态总体N可知: μ=0,σ=,2=μ+3σ. 【解析】选D.设ξ~N,则P(-2<ξ≤2) =P =P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973, 所以数值落在(-∞,-2)∪(2,+∞)的概率约为1-0.9973=0.0027. 6.工人制造的零件尺寸ξ在正常情况下服从正态分布N(μ,σ2),在一次正常的试验中,取1000个零件,不属于(μ-3σ,μ+3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为 ( ) A.7B.10C.3D.6 【解析】选C.因为P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973,所以不属于区间(μ-3σ,μ+3σ)内的零件个数约为1000×(1-0.9973)=2.7≈3个. 【补偿训练】(xx·东莞高二检测)某班有50名学生,一次考试后数学成绩ξ~N(110,102),若P(100≤ξ≤110)=0.34,则估计该班学生数学成绩在120分及以上的人数为 ( ) A.10 B.9 C.8 D.7 【解析】选C.因为考试的成绩ξ服从正态分布N(110,102),所以考试成绩ξ的概率分布关于x=110对称, 因为P(100≤ξ≤110)=0.34,所以P(ξ≥120)=P(ξ≤100)=(1-0.34×2)=0.16,所以该班数学成绩在120分及以上的人数为0.16×50=8. 7.(xx·太原高二检测)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)等于 ( ) A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2 【解析】选C.因为随机变量ξ服从正态分布(2,σ2),μ=2,得对称轴是x=2.P(ξ<4)=0.8, 所以P(ξ≥4)=P(ξ<0)=0.2, 所以P(0<ξ<4)=0.6,所以P(0<ξ<2)=0.3. 8.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N的密度曲线)的点的个数的估计值为 ( ) A.2386 B.2718 C.3414 D.4772 附: 若Χ~N,则 P≈0.6827, P ≈0.9545. 【解题指南】根据正态分布的性质,P(0 【解析】选C.根据正态分布的性质, P(0 10000×0.3414=3414. 二、填空题(每小题5分,共10分) 9.在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布N(90,100),则考试成绩在110分以上的概率是________. 【解题指南】根据考生的成绩X~N(90,100),得到正态曲线关于x=90对称,根据3σ原则知P(70 【解析】因为考生的成绩X~N(90,100), 所以正态曲线关于x=90对称,且标准差为10, 根据3σ原则知P(70 所以考试成绩X位于区间(70,110)上的概率为0.9545,则考试成绩在110分以上的概率是(1-0.9545)≈0.0228. 答案: 0.0228 10.若X~N(2,σ2),且P(2 【解析】因为X~N(2,σ2),所以正态曲线关于直线x=2对称, 又P(2 所以P(0 答案: 0.6 三、解答题(每小题10分,共20分) 11.设ξ~N(1,22),试求: (1)P(-1<ξ≤3). (2)P(3<ξ≤5). (3)P(ξ≥5). 【解析】因为ξ~N(1,22),所以μ=1,σ=2, (1)P(-1<ξ≤3)=P(1-2<ξ≤1+2) =P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827. (2)因为P(3<ξ≤5)=P(-3<ξ≤-1), 所以P(3<ξ≤5)=[P(-3<ξ≤5)-P(-1<ξ≤3)] =[P(1-4<ξ≤1+4)-P(1-2<ξ≤1+2)] =[P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ<ξ≤μ+σ)] ≈(0.9545-0.6827)=0.1359. (3)P(ξ≥5)=P(ξ≤-3)=[1-P(-3<ξ≤5)] =[1-P(1-4<ξ≤1+4)] =[1-P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)] ≈(1-0.9545)≈0.0228. 12.在一次测试中,测量结果X服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),若X在(0,2)内取值的概率为0.2, 求 (1)X在(0,4)内取值的概率. (2)P(X>4). 【解析】 (1)由于X~N(2,σ2),所以对称轴为x=2. 因为P(0 所以P(0 =2×0.2=0.4. (2)P(X>4)=×[1-P(0 =×(1-0.4)=0.3. 【能力挑战题】 某市教育局为了了解高三学生体育达标情况,对全市高三学生进行了体能测试,经分析,全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80,σ2)(满分为100分),已知P(X<75)=0.3,P(X≥95)=0.1,现从该市高三学生中随机抽取三位同学. (1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80,85),[85,95),[95,100]内各有一位同学的概率. (2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ). 【解析】 (1)P(80≤X<85)=-P(X<75)=0.2,P(85≤X<95)=P(X≥85)-P(X≥95)=P(X<75)-P(X≥95)=0.3-0.1=0.2, 所以所求概率P=×0.2×0.2×0.1=0.024. (2)P(75≤X≤85)=1-2P(X<75)=0.4, 所以ξ服从二项分布B(3,0.4),P(ξ=0)=0.63=0.216,P(ξ=1)=3×0.4×0.62=0.432,P(ξ=2)=3×0.42×0.6=0.288, P(ξ=3)=0.43=0.064, 所以随机变量ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 E(ξ)=3×0.4=1.2(人).
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