南京财经大学考研历年真题之高等代数考研真题.docx
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南京财经大学考研历年真题之高等代数考研真题
南京财经大学
2007年攻读硕士学位研究生入学考试(初试)试卷
考试科目:
418高等代数
适用专业:
应用数学
考试时间:
2007年1月21日下午14:
00-17:
00
注意事项:
所有答案必须写在答题纸上,做在试卷或草稿纸上无效.
1.(15分)设及为三个多项式,证明
2.(15分)计算行列式
,
其中
3.(15分)证明方程组
有解的充分必要条件为有解时,求其一般解.
4.(20分)已知二次型令
其中k为实数,A为的矩阵,E为3阶单位矩阵.
(1)证明存在正交矩阵Q同时将A与B化为对角形.
(2)求出化二次型为标准形的正交变换,并
确定k为何值时,为正定二次型.
5.(25分)设A,B为n阶方阵,E为n阶单位矩阵.证明
(1)若AB=0,并且秩(A+B)=n,则秩(A)+秩(B)=n.
(2)若A2=A,则秩(A)+秩=n.
(3)若A2=A,则A的特征值为0或1,且A可对角化.
6.(10分)证明若A为正定矩阵,则对任何实向量x,y,有
且等号成立的充要条件为x,y线性相关.
7.(30分)设为数域P上的n维线性空间V的一个线性变换,在V的某个基下的矩阵为A.如果A的最小多项式为P上一次互素因式之积.
(1)证明为V的-不变子空间,此处I为V的恒等变换.
(2)证明V可分解为Vi的直和,即
(3)证明A可对角化,并且题中关于A的最小多项式的条件也是A可对角化的必要条件.
(4)若P为复数域,则A为复矩阵,关于A可对角化将有何相应结论?
8.(20分)设为数域P上n维线性空间V的一个线性变换.
(1)证明的充要条件为秩()=秩().
(2)若则在基下的矩阵为
且1的个数为的秩.
南京财经大学
2008年攻读硕士学位研究生入学考试(初试)试卷
考试科目:
818高等代数
适用专业:
应用数学
考试时间:
2008年1月20日下午2:
00-5:
00
注意事项:
所有答案必须写在答题纸上,做在试卷或草稿纸上无效.
2.(15分)设为两个非0多项式,证明存在正整数N,使对任意大于N的两个正整数n,m,都有
2.(15分)计算阶行列式
.
8.(20分)设
为A中划去第i列剩下的方阵的行列式.
(1)证明为的一个解.
(2)若秩则的所有解向量均为C的线性组合.
9.(20分)证明:
(1)对任何实矩阵当且仅当
(2)设为同阶实对称矩阵,则当且仅当
5.(20分)证明:
(1)若A为正定矩阵,则存在正定矩阵P,使得
(2)若矩阵A,B同阶,且A正定,B半正定,则AB的特征值均为非负实数.
6.(20分)设X为数域P上线性空间V的一个子集,称V在X上自由,若对P上任一线性空间W,及任一映射,均存在线性映射使f在X上的限制此时也称V是自由的.(f是线性映射指:
f是V到W的一个映射,且保持向量加法及数量乘法运算).证明:
(1)P上任一n维向量空间是自由的.
(2)对无穷维线性空间上述结论是否成立?
若成立,给出证明;若否,给出反例.
7.(20分)设为数域P上n维线性空间V的一个线性变换,均为P上的多项式,且记
证明
(3)U和W均为-不变子空间.
(4)若g(x)与h(x)互素,则
8.(20分)设V为数域P上的n维线性空间,求证:
(1) V的所有线性变换构成的线性空间L(V)是维的.
(2) 若AL(V),则存在次数不超过的P上的多项式使
(3) A可逆当且仅当有一常数项不为0的多项式使
(要求:
在证明
(2)和(3)两小题时,不允许直接使用Hamilton-Cayley定理)
南京财经大学
2009年攻读硕士学位研究生入学考试(初试)试卷
考试科目:
818高等代数
适用专业:
应用数学
考试时间:
2009年1月11日下午2:
00—5:
00
注意事项:
所有答案必须写在答题纸上,做在试卷或草稿纸上无效.
1.(15分)计算阶行列式
2.(15分)设为数域P上的两个多项式,为给定的正整数.若则
10.(20分)已知方程组
(1)求方程组(I)的通解;
(2)确定的值,使方程组(I)与(II)同解.
11.(25分)设A,B为n阶方阵,E为n阶单位矩阵.证明:
(1)若AB=0,则秩(A)+秩(B)n.
(2)若A2=E,则秩+秩=n.
(3)若A2=E,则A的特征值为1,且A可对角化.
5.(20分)设为阶正定矩阵,为阶实对称矩阵.证明存在可逆线性变换同时化二次型及为标准形,此处
6.(25分)设其中表示数域上的矩阵空间.证明:
(1)是的子空间;
(2)设求的一组基和维数.
7.(30分)设为线性空间V的一个线性变换,且证明:
(1)的特征值为0或1;
(2)若表示对应特征值的特征子空间,则;
(3),且只有特征值0当且仅当为零变换.
南京财经大学
2010年攻读硕士学位研究生入学考试(初试)试卷
考试科目:
818高等代数
适用专业:
应用数学
考试时间:
2010年1月10日下午2:
00—5:
00
注意事项:
所有答案必须写在答题纸上,做在试卷或草稿纸上无效.
一、(15分)设,,为互不相同的数,证明为的次多项式,并求出其所有根。
二、(20分)设为阶矩阵,为维列向量,证明:
的解全为的解当且仅当可由的行向量线性表示。
三、(20分)若阶矩阵为正定矩阵,为半正定矩阵,则对任意,,并且等号成立当且仅当或。
四、(30分)设为数域上的多项式,且,,若为上线性空间的一个线性变换,并且,则
(1)均为的不变子空间;
(2)。
五、(25分)设阶复矩阵的特征值为,为的次多项式,证明:
(1)的特征值为;
(2)。
六、(25分)已知二次型可经正交替换化为,其中,,求,的值及正交替换。
七、(15分)证明:
有理数域上存在任意次数的不可约多项式。
南京财经大学
2011年攻读硕士学位研究生入学考试(初试)试卷A
考试科目:
818高等代数适用专业:
应用数学满分150分
考试时间:
2011年1月16日下午2:
00——5:
00
注意事项:
所有答案必须写在答题纸上,做在试卷或草稿纸上无效;
请认真阅读答题纸上的注意事项,试题随答卷一起装入试题袋中交回。
一(15分)计算阶行列式
二(15分)证明:
(为奇素数)在有理数域上不可约。
三(20分)设为阶非零实矩阵,若的任一元素均与其代数余子式相等
仅有零解。
四(20分)设为实二次型,且正定,证明:
存在可逆线性变换化为规范型,同时化为标准形,并且的标准形各项系数均为的根。
特别,若也正定,则的标准形各项系数均大于零。
五(20分)设为线性空间的一个线性变换,其最小多项式,
且,则
(1)均为的不变子空间;
(2)。
六(20分)设为数域,,证明:
(1)是的子空间;
(2)的维数为。
七(20分)已知二次型的秩
为2,求:
(1)的值;
(2)正交替换化二次型为标准形。
八(20分)设向量,,,是
生成的空间。
已知的维数为2,,且,求:
(1)的值;
(2)的一个标准正交基,并求在此基下的坐标。
南京财经大学
2012年硕士研究生入学考试初试试题(A卷)
科目代码:
823科目名称:
高等代数满分:
150分
注意:
认真阅读答题纸上的注意事项;所有答案必须写在答题纸上,写在本试题纸或草稿纸上均无效;本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回!
一(15分)计算级行列式,其中,.
二(15分)证明:
多项式,的公因式为其最大公因式当且仅当为,的一个组合.
三(20分)设为阶矩阵,为维非零列向量,,证明:
(1)有个线性无关的解向量;
(2)的任一解均可表示为这个解向量的线性组合.
四(20分)若阶矩阵为半正定矩阵,为正定矩阵,证明存在数,使得.
五(20分)设,为线性空间的一个线性变换,对任
意,,定义,证明:
为不变子空间的充分必要条件是.
六(20分)设为数域,,且,
,,,
,证明:
.
七(20分)已知二次型,若二次型矩阵的特征值之和为1,特征值之积为,求:
(1),的值;
(2)化二次型为标准形的正交替换.
八(20分)已知均为三阶非零矩阵,,,
(1)证明:
的特征值有且仅有0和1;
(2)证明:
的属于特征值1的特征向量是的属于特征值0的特征向量();
(3)若,,分别是属于特征值1的特征向量,证明:
,,线性无关.
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- 南京 财经大学 考研 历年 高等 代数