11 直角坐标系.docx

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11直角坐标系

第一章平面直角坐标系

1.1平面直角坐标系

【知识精华点击】

课标要求

1.理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；

2.在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；

3.掌握不同象限内的点、两坐标轴上的点、特殊位置的点的坐标特征，理解两点间的距离公式.

本节重点是直角坐标系的有关概念、根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标以及点的坐标特征.

难点：

点的坐标特征的运用.

教材详解

1.平面直角坐标系

平面直角坐标系的概念是建立在数轴基础上的，在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，通常两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，水平的数轴向右为正叫做x轴（横轴），铅直的数轴向上为正叫做y轴（纵轴）。

x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点，建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面.

说明：

（1）x轴、y轴的长度单位“1”可以相同，也可以不同，其单位长度应根据需要规定.

（2）由于x轴、y轴都是数轴，其上表示刻度的数后一律不带单位，如果两个坐标轴具有实际意义时，就在表示两轴的字母后面标注单位.

2.坐标平面的划分

坐标平面由两条坐标轴和四个象限构成，如图1.1-1，可以看成坐标平面的六个区域；x轴，y轴，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。

说明：

坐标轴上的点不属于任何一个象限.

图1.1-1图1.1-2

3.点的坐标

平面内的点的位置由它的坐标确定。

对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标.

（1）平面内点的坐标是有序实数对，即表示点的坐标的两个实数是有顺序的，横坐标在前，纵坐标在后，位置不能颠倒，如图1.1-2中P点的坐标只能写成（a，b），而不能写成（b，a）；坐标平面内的点与有序实数对一一对应，即对于坐标平面内的任意一点P都有惟一的有序实数对（a，b）与它对应；对于任意一对有序实数（a，b）在坐标平面内都能找到惟一的点P与它对应.

（2）根据坐标确定平面直角坐标系内的点：

先在x轴上找到与横坐标对应的点，然后过该点作x轴的垂线；再在y轴上找到与纵坐标对应的点，然后过该点作y轴的垂线。

两条垂线的交点就是所求的点；

（3）根据点确定坐标：

过点分别作x轴和y轴的垂线，对应到坐标轴上的数分别是它们的横坐标和纵坐标.

4.特殊位置的点的横、纵坐标的特征

（1）坐标轴上的点：

①点P的坐标为（a，0）

点P在x轴上；

②点P的坐标为（0，b）

点P在y轴上；

（2）各象限内的点（如图1.1-3）：

①点P

在第一象限

；

②点P（a，b）在第二象限

；

③点P（a，b）在第三象限

；

④点P（a，b）在第四象限

；

（3）两坐标轴夹角平分线上的点的坐标：

①第一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相同，即点P（a，b）在第一、三象限平分线上

a=b；

②第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数，即点P（a，b）在第二、四象限平分线上

a=-b或a+b=0；

5.连线平行于坐标轴的两点之间的坐标关系

（1）连线平行于x轴的两点的纵坐标相同；

（2）连线平行于y轴的两点的横坐标相同.

6.与点有关的距离

（1）点到两轴的距离：

点P（a，b）到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|；

（2）两点之间的距离：

①x轴上两点A（a,0）,B（b,0）之间的距离为AB=|a-b|；

②平行于x轴的直线上两点A（a,y）,B（b,y）之间的距离为AB=|a-b|；

③y轴上两点A（0,m）,B（0,n）之间的距离为AB=|m-n|；

y

图1.1-6

④平行于y轴上两点A（x,m）,B（x,n）之间的距离为AB=|m-n|；

（3）点到原点的距离：

点P（a，b）到原点的距离为

.

【名师优质讲堂】

例题精析

例1如图1.1-4，将一长方形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上，若AB＝4，BC＝3，则点B的坐标为，点C的坐标.

分析由图可知，点B在x轴上，故其纵坐标为0，由AB=4，得点B到y轴的距离为4，又因为点B在x轴的正半轴上，所以其横坐标为4，故点B的坐标为（4，0）；由AB=4，BC=3，得点C到y轴的距离为4，到x轴的距离为3，又点C在第一象限，故其坐标为（4，3）.

解分别填（4，0），（4，3）.

说明确定直角坐标系中点的坐标时，若点在某一象限内，则可由它所在象限内点的坐标特征确定其两坐标的符号，由它到两坐标轴的距离确定其两坐标的绝对值，从而确定其坐标；若点在某一坐标轴上，则可先由它到另一坐标轴的距离确定其该坐标（在横轴上是横坐标，在纵轴上是纵坐标）的绝对值，由它在该坐标轴上的位置确定该坐标的符号（在正半轴上为正，在负半轴上为负），再结合它的另一坐标为0的特征，写出坐标.

【变式1】如图1.1-5是小刚的一张脸，他对妹妹说“如果我用（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（　　）

A．（1，0）B．（-1，0）C．（-1，1）D．（1，-1）

解由“左眼”位置点的坐标为（0，2），“右眼”点的坐标为（2，2）可以确定平面直角坐标系中x轴与y轴的位置如图1.1-6所示，所以嘴的坐标是（1，0），故选A．

【变式2】已知点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标为_________.

解已知距离求坐标时，要注意点在不同的象限，因此有多解,设P（x,y）,点P到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，由已知得|y|=2，|x|=3，即x=±3，y=±2.所以x，y的值为：

故点P的坐标为（3，2）或（3，-2）或（-3，2）或（-3，-2）.

例2在图1.1-6的直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连结起来.

（1）（2，0）、（4，0）、（6，2）、（6，6）、（5，8）、（4，6）、（2，6）、（1，8）、（0，6）、（0，2）、（2，0）；

（2）（l，3）、（2，2）、（4，2）、（5，3）；

（3）（1，4）、（2，4）、（2，5）、（1，5）、（1，4）；

（4）（4，4）、（5，4）、（5，5）、（4，5）、（4，4）；

（5）（3，3）.

观察所得的图形，你觉得它像什么？

图1.1-6图1.1-7图1.1-8

分析先在平面直角坐标系中标出点的位置，再将各组内的点用线段依次连结起来.

解如图1.1-6，像猫脸.

说明作点M（a,b）时，先过x轴上表示数a的点作x轴的垂线，再过y轴上表示数b的点作y轴的垂线，两条垂线的交点即是M（a,b）点.

【变式1】在平面直角坐标系中，

（1）依次描出下列各点：

A（3，6），B（2，4），C（0，3），D（2，2），E（1，0）；

F（3，1），G（5，0），H（4，2），I（6，3），J（4，4）．

（2）将各点按A-B-C-D-E-F-G-H-I-J-A顺序依次连接起来：

你觉得它像什么？

答：

．

解

（1）依次描出各点并连线如图1.1-7所示：

（2）按顺序依次连接形状是个五角星．

【变式2】已知四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（0，0），B（3，6），C（6，8），D（8，0）.

（1）请建立适当的平面直角坐标系，并描出点A、点B、点C、点D．

（2）求四边形ABCD的面积．

解

（1）如图1.1-8所示．

（2）过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，则

S四边形ABCD=S△ABE+S梯形BEFC+S△CFD

=

×AE×BE+

（BE+CF）×EF+

×CF×FD

=

×3×6+

（6+8）×3+

×2×8=9+21+8=38.

故四边形ABCD的面积为38．

例3点C在x轴上方，y轴左侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴3个单位长度，则点C的坐标为（　　）

A.（2，3）B.（-2，-3）C.（-3，2）D.（3，-2）

分析∵点C在x轴上方，y轴左侧，∴点C的纵坐标y>0，横坐标x<0，即点C在第二象限；∵点距离x轴2个单位长度，距离y轴3个单位长度，所以|x|=3,x=-3，|y|=2,y=2,故点C的坐标为（-3，2）．

解选C．

说明已知点到两轴的距离和它所在象限时，先由距离得到其坐标的绝对值，再根据它所在的象限的坐标的符号，并由此去掉绝对值符号写出坐标.

【变式1】已知点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，则满足以上条件的点的P的个数为（）

A.5B.4C.3D.2

解显然，|x|=3，|y|=4，故x=±3,y=±4,因为在x轴的上方和下方，在y轴的左边和右边都有满足这样条件的点，所以满足以上条件的P点的坐标为（3,4）或（3,-4）或（-3,4）或（-3,-4），有4个，故选B.

【变式2】若点P（x,y）在第二象限，且

，

，则点P的坐标为（）

A.（－1，2）B.（3，－8）C.（2，－1）D.（－8，3）

解由

，

得，x=-1或3，y=2或-8.由点P（x,y）在第二象限，得x<0,y>0，故x=-1,y=2,故选A.

例4①如果点A（2m，3-n）在第二象限内，那么点B（m-1，n-4）在第几象限？

②如果点M（3m+1，4-m）在第四象限内，那么m的取值范围是怎样的？

分析①中先确定m,n的范围，再确定B的坐标的符号；②中根据M所在的象限内的点的坐标的符号特征直接列出关于m的不等式组.

解①根据点A在第二象限可知

，解得m＜0，n＜3，

∴m-1＜0，n-4＜0，∴点B在第三象限内，

②∵点M（3m+1，4-m）在第四象限，∴

，解得m＞4，

∴m的取值范围是m＞4．

说明求字母的取值范围时，一般先由点所在的象限的坐标的符号特征列出关于这个字母的不等式组，再解不等式组可得；反过来，确定点的位置时，一般先根据已知条件得出点的两个坐标的符号，再作出判断即可.

【变式1】在平面直角坐标系中，点（-1，m2+1）一定在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

解因为-1＜0，m2+1＞0，所以点（-1，m2+1）一定在第二象限的条件．故选B．

【变式2】平面直角坐标系内，点A（n，1-n）一定不在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

解因为

无解，因而点A的横坐标是负数，纵坐标是负数，不能同时成立，即点A一定不在第三象限．

【变式3】P（2a-1，2-a）在第一象限，且a是整数，求a的值．

解∵P（2a-1，2-a）在第一象限，∴2a-1＞0，2-a＞0，解得

＜a＜2，又∵a是整数，∴a=1．

例5如图1.1-9，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（-2，8），（-11，6），（-14，0），（0，0）．求这个四边形的面积.

图1.1-9图1.1-10

分析可把四边形分成两个直角三角形和一个直角梯形，然后根据点的坐标求出相关线段的长，再运用面积公式分别计算，并把面积相加即得.

解过点B，A分别作BF，AE垂直于x轴，

由已知得，CF=3，BF=6，故△BCF的面积是

×3×6；

EF=-2-（-11）=9，AE=8，BF=6，所以梯形ABFE的面积是

×（6+8）×9；

AE=8，OD=2，所以△ADE的面积是

×2×8.

所以四边形ABCD的面积

=

×3×6+

×（6+8）×9+

×2×8=80．

说明已知多边形的顶点坐标，求多边形面积的方法主要有两种：

（1）直接法．直接运用面积公式计算.如：

三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形等的面积公式；

（2）割补法．将多边形的面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差．

【变式1】如图1.1-10，已知四边形ABCD．

（1）写出点A，B，C，D的坐标；

（2）试求四边形ABCD的面积．（网格中每个小正方形的边长均为1）.

解

（1）A（-2，1），B（-3，-2），C（3，-2），D（1，2）；

（2）S四边形ABCD=3×3+2×

×1×3+

×2×4=16．

【变式2】

（1）在平面直角坐标系中画出下列各点：

A（-2，-1）、B（4，0）、C（3，2）、D（0，2）；

（2）顺次连接ABCD，计算四边形ABCD的面积．

解

（1）各点的位置如图1.1-11所示：

（2）如图所示，四边形ABCD的面积=6×3-3-3-1=11．

图1.1-11

为什么错

1.把坐标当距离导致错解

例6已知点A（2m+1，m+9）在第二象限内，且点A到x轴和y轴的距离相等，求点A的坐标．

错解由题意知2m+1=m+9，解得m=8，∴2m+1=m+9=17，∴A（17，17）．

分析错解把坐标当距离，误认为A到x轴和y轴的距离就是其纵、横坐标，导致所列方程错误.实际上，因为点A（2m+1，m+9）在第二象限内，所以2m+1<0,m+9>0,故点A到x轴的距离是|m+9|=m+9，到y轴的距离是|2m+1|=-（2m+1）.

正解由题意知-（2m+1）=m+9，解得m=-

，∴m+9=

，-（2m+1）=-

，

∴点A的坐标是（-

，

）．

2.考虑不周导致漏解

例7已知点P的坐标为（2-a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，求点P坐标．

错解由已知得，2-a=3a+6，解得a=-1，∴P点坐标为（3，3）.

分析错解没有分类讨论导致漏解，因为点P到两坐标轴的距离相等，所以应该有2-a=3a+6或（2-a）+（3a+6）=0.

正解∵点P的坐标为（2-a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，∴2-a=3a+6或（2-a）+（3a+6）=0，解得a=-1或a=-4，∴P点坐标为（3，3）或（6，-6）．

3.混淆点的坐标特征导致错误

例8

（1）如果点P（m，1-2m）在第四象限，那么m的取值范围是（　　）

A．0＜m＜

B．-

＜m＜0C．m＜0D．m＞

（2）已知点P（a-1，3a+6）在y轴上，求点P的坐标.

错解

（1）∵点p（m，1-2m）在第四象限，∴m＜0，1-2m＞0，解得m＜0，选C；

（2）∵点P在y轴上，∴3a+6=0，即a=-2，a-1=-3，∴点P坐标为（-3，0）.

分析错解

（1）混淆了二、四象限内的点的坐标的符号特征，错解

（2）混淆了两坐标轴上的点的坐标特征，导致错误.

正解

（1）∵点p（m，1-2m）在第四象限，∴m＞0，1-2m＜0，解得：

m＞

，故选D；

（2）∵点P在y轴上，∴a-1=0，即a=1，∴点P坐标为（0，9）.

探究平台

例9小明在研究苏教版《有趣的坐标系》后，得到启发，针对正六边形OABCDE，自己设计了一个坐标系如图，该坐标系以O为原点，直线OA为x轴，直线OE为y轴，以正六边形OABCDE的边长为一个单位长．坐标系中的任意一点P用有序实数对（a，b）来表示，我们称这个有序实数对（a，b）为点P的坐标．坐标系中点的坐标的确定方法如下：

（ⅰ）x轴上点M的坐标为（m，0），其中m为M点在x轴上表示的实数；

（ⅱ）y轴上点N的坐标为（0，n），其中n为N点在y轴上表示的实数；

（ⅲ）不在x、y轴上的点Q的坐标为（a，b），其中a为过点Q且与y轴平行的直线与x轴的交点在x轴上表示的实数，b为过点Q且与x轴平行的直线与y轴的交点在y轴上表示的实数．

则：

（1）分别写出点A、B、C的坐标；

（2）标出点M（2，3）的位置；

（3）若点K（x，y）为射线OD上任一点，求x与y所满足的关系式．

图1.1-12

分析

（1）根据定义不难求得A、B、C坐标分别为A（1，0），B（2，1），C（2，2）；

（2）过x轴上的2作与y轴平行的直线，过y轴上的3作与x轴平行的直线，两直线的交点即是M；（3）设射线OD上点K的横、纵坐标满足的关系式为y=kx，再由D（1，2），求出k值即可.

解

（1）由图1.1-12可知各点的坐标为：

A（1，0），B（2，1），C（2，2）；

（2）如图1.1-12所示；

（3）设射线OD上点K的横、纵坐标满足的关系式为y=kx；由图1.1-12知：

D（1，2），则k=2，即x与y所满足的关系式为：

y=2x．

说明本题是一道阅读题，认真阅读题目所给材料，理解题中对P点坐标的定义，并把这个新方法与我们学习的平面直角坐标系相比较，是解题的关键.

【变式】读一读，想一想，做一做：

国际象棋、中国象棋和围棋号称为世界三大棋种．国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多：

“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格，而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格．如图1.1-13甲是一个4×4的小方格棋盘，图中的“皇后Q”能控制图中虚线所经过的每一个小方格．

（1）在如图1.1-13乙的小方格棋盘中有一“皇后Q”，她所在的位置可用“（2，3）”来表示，请说明“皇后Q”所在的位置“（2，3）”的意义，并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后Q”所控制的四个位置．

（2）如图1.1-13丙也是一个4×4的小方格棋盘，请在这个棋盘中放入四个“皇后Q”，使这四个“皇后Q”之间互不受对方控制（在图丙中的某四个小方格中标出字母Q即可）.

图1.1-13

解

（1）“（2，3）”表示“皇后Q”处在第2列、第3行的位置，如图1.1-14

（1）：

不被控制的点为（1，1）；（3，1）；（4，2）；（4，4）；

（2）如图1.1-14

（2）所示.

（1）

（2）

图1.1-14

【智能分级演练】

知识达标

1.选择题

（1）在平面直角坐标系中，点P（-3，2）所在象限为（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

（2）有以下三个说法：

①坐标的思想是法国数学家笛卡儿首先建立的；②除了平面直角坐标系，我们也可以用方向和距离来确定物体的位置；③平面直角坐标系内的所有点都属于四个象限．其中错误的是（　　）

A．只有①B．只有②C．只有③D．①②③

（3）已知点A（2，3），则点A在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

（4）在平面直角坐标系中，点P（-3，4）到x轴的距离为（　　）

A．3B．-3C．4D．-4

（5）已知点P位于y轴右侧，距y轴3个单位长度，位于x轴上方，距离x轴4个单位长度，则点P坐标是（　　）

A．（-3，4）B．（3，4）C．（-4，3）D．（4，3）

（6）若点P在x轴的下方，y轴的左方，到每条坐标轴的距离都是3，则点P的坐标为（　　）

A．（3，3）B．（-3，3）C．（-3，-3）D．（3，-3）

（7）如果点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，P点坐标为（　　）

A．（0，2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，-4）

（8）如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（　　）

A．（2，3）B．（2，-3）C．（-2，3）D．（-2，-3）

第1（8）题图第1（9）题图

（9）如图，已知棋子“车”的坐标为（-2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为（　　）

A.（3，2）B.（3，1）C.（2，2）D.（-2，2）

（10）若点P（m，1-2m）的横坐标与纵坐标互为相反数，则点P一定在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

（11）在平面直角坐标系中，若点P（x-2，x）在第二象限，则x的取值范围为（　　）

A．0＜x＜2B．x＜2C．x＞0D．x＞2

（12）若点A（2，n）在x轴上，则点B（n-2，n+1）在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

（13）已知点M（3a-9，1-a）在第三象限，且它的坐标是整数，则a等于（　　）

A．1B．2C．3D．0

（14）当

＜m＜1时，点P（3m-2，m-1）在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

（15）以方程组

的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

（16）已知坐标平面内点A（m，n）在第四象限，那么点B（n，m）在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2.填空题

（1）如图，在平面直角坐标系中，点E的坐标是.

第2

（1）题图第2（3）题图

（2）在平面直角坐标系中，点（4，-3）所在象限是.

（3）如图，是象棋盘的一部分．若“帅”位于点（1，-2）上，“相”位于点（3，-2）上，则“炮”位于点（　　，）上．

（4）在平面直角坐标系中，若点P（m-3，m+1）在第二象限，则m的取值范围为（　　）

A．-1＜m＜3B．m＞3C．m＜-1D．m＞-1

（5）若a＞0，b＜-2，则点（a，b+2）在象限

（6）过点A（2，-3）且垂直于y轴的直线交y轴于点B，那么B的坐标为.

（7）在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，则x的值是.

（8）第二象限内的点P（x，y）满足|x|=9，y2=4，则点P的坐标是.

（9）若点A在第二象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点A的坐标为.

（10）已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤x+4，x，y为整数，写出一个符合上述条件的点P的坐标：

.

（11）在平面直角坐标系中，点A（2，m2+1）一定在第象限．

（12）若点P（a，b）在第四象限，则点Q（b，-a）在第象限．

（13）如图是益阳市行政区域图，图中益阳市区所在地用坐标表示为（1，0），安化县城所在地用坐标表示为（-3，-1），那么南县县城所在地用坐标表示为.

（14）如图，若点E坐标为（-2，1），点F坐标为（1，-1），则点G的坐标为.

第2（13）题图第2（14）题图

（15）已知a是整数，点A（2a+1，2+a）在第二象限，则a=.

（16）在长方形ABCD中，A（4，1），B（0，1），C（0，3），则点D的坐标为.

（17）点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，则P点坐标为.

（18）已知点P（x，y）在第四象限，且|x|=3，|y|=5，则点P的坐标是.

（19）在平面直角坐标系中，点M（t-3，5-t）在坐标轴上，则t=.

（20）已知点P（2a-8，2-a）是第三象限的整点（横、纵坐标均为整数），则P点的坐标是.

3.如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m，到达A1点，再向正北走6m到达A2点，再向正西走9m到达A3点，再向正南走12m，到达A4点，再向正东方向走15m到达A5点，按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，A6点的坐标是.

第2（16）题图第3题图

4.若点P（x，y）的坐标x，y满足xy=0，试判定点P在坐标平面上的位置．

5.点A在第一象限，当m为何值时，点A（m+2，3m-5）到x轴的距离是它到y轴距离的一半．

6.如果点A的坐标为（-a2-3，b2+2），那么点A在第几象限？

说说你的理由．

7.已知两点A（-3，m）