高中数学新人教版必修2教案第4章 411 圆的标准方程 含答案.docx
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高中数学新人教版必修2教案第4章411圆的标准方程含答案
4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征.(重点)
2.能根据所给条件求圆的标准方程.(重点、难点)
3.掌握点与圆的位置关系.(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 圆的标准方程
阅读教材P118~P119第1行的内容,完成下列问题.
1.以C(a,b)为圆心,r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
2.以原点为圆心,r为半径的圆的标准方程为x2+y2=r2.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)圆心位置和圆的半径确定,圆就惟一确定.( )
(2)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆.( )
(3)圆(x+2)2+(y+3)2=9的圆心坐标是(2,3),半径是9.( )
【解析】
(1)正确.确定圆的几何要素就是圆心和半径.
(2)错误.当m=0时,不表示圆.
(3)错误.圆(x+2)2+(y+3)2=9的圆心为(-2,-3),半径为3.
【答案】
(1)√
(2)× (3)×
教材整理2 点与圆的位置关系
阅读教材P119“例1”及“探究”部分,完成下列问题.
设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r,则点与圆的位置关系对应如下:
位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d与r的大小关系
d>r
d=r
d<r
已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)( )
A.是圆心 B.在圆上
C.在圆内D.在圆外
【解析】 圆心M(2,3),半径r=2,∵|PM|==<r,∴点P在圆内.
【答案】 C
[小组合作型]
直接法求圆的标准方程
(1)圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( )
A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1
(2)已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是( )
A.(x-2)2+(y+3)2=13
B.(x+2)2+(y-3)2=13
C.(x-2)2+(y+3)2=52
D.(x+2)2+(y-3)2=52
【精彩点拨】
(1)设出圆心坐标,利用两点间的距离公式求圆心坐标,再写出圆的标准方程.
(2)根据中点坐标公式求出直径两端点坐标,进而求出圆的半径,再写出圆的标准方程.
【自主解答】
(1)设圆心坐标为(0,b),
则由题意知=1,解得b=2.
故圆的方程为x2+(y-2)2=1.
(2)设此直径两端点分别为(a,0),(0,b),由于圆心坐标为(2,-3),所以a=4,b=-6,所以圆的半径r==,从而所求圆的方程是(x-2)2+(y+3)2=13.
【答案】
(1)A
(2)A
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,因此用直接法求圆的标准方程时,一般先从确定圆的两个要素入手,即首先求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程.
[再练一题]
1.以点A(-5,4)为圆心,且与x轴相切的圆的方程是( )
A.(x+5)2+(y-4)2=25
B.(x-5)2+(y+4)2=16
C.(x+5)2+(y-4)2=16
D.(x-5)2+(y+4)2=25
【解析】 因该圆与x轴相切,则圆的半径r等于圆心纵坐标的绝对值,所以圆的方程为(x+5)2+(y-4)2=16.
【答案】 C
待定系数法求圆的标准方程
求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程.
【精彩点拨】 解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径,再写方程,也可以设出方程用待定系数法求解,也可以利用几何性质求出圆心和半径.
【自主解答】 法一:
设点C为圆心,
∵点C在直线:
x-2y-3=0上,
∴可设点C的坐标为(2a+3,a).
又∵该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|.
∴=
,
解得a=-2.
∴圆心坐标为C(-1,-2),半径r=.
故所求圆的标准方程为
(x+1)2+(y+2)2=10.
法二:
设所求圆的标准方程为
(x-a)2+(y-b)2=r2,
由条件知
解得
故所求圆的标准方程为
(x+1)2+(y+2)2=10.
法三:
线段AB的中点为(0,-4),kAB==,
所以弦AB的垂直平分线的斜率k=-2,
所以线段AB的垂直平分线的方程为:
y+4=-2x,
即y=-2x-4.
故圆心是直线y=-2x-4与直线x-2y-3=0的交点,由得
即圆心为(-1,-2),圆的半径为
r==,
所以所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
1.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
设方程((x-a)2+(y-b)2=r2)→列方程组(由已知条件,建立关于a、b、r的方程组)→解方程组(解方程组,求出a、b、r)→得方程(将a、b、r代入所设方程,得所求圆的标准方程).
2.注意利用圆的有关几何性质,可使问题计算简单.
[再练一题]
2.求圆心在x轴上,且过点A(5,2)和B(3,-2)的圆的标准方程.
【解】 法一 设圆的方程为
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
则解得
所以所求圆的方程为(x-4)2+y2=5.
法二 因为圆过A(5,2),B(3,-2)两点,
所以圆心一定在线段AB的中垂线上.
AB中垂线的方程为y=-(x-4),
令y=0,得x=4.即圆心坐标为C(4,0),
所以r=|CA|==.
所以所求圆的方程为(x-4)2+y2=5.
[探究共研型]
与圆有关的最值问题
探究1 若P(x,y)为圆C(x+1)2+y2=上任意一点,请求出P(x,y)到原点的距离的最大值和最小值.
【提示】 原点到圆心C(-1,0)的距离d=1,圆的半径为,故圆上的点到坐标原点的最大距离为1+=,最小距离为1-=.
探究2 若P(x,y)是圆C(x-3)2+y2=4上任意一点,请求出P(x,y)到直线x-y+1=0的距离的最大值和最小值.
【提示】 P(x,y)是圆C上的任意一点,而圆C的半径为2,圆心C(3,0),圆心C到直线x-y+1=0的距离d==2,所以点P到直线x-y+1=0的距离的最大值为2+2,最小值为2-2.
已知x,y满足x2+(y+4)2=4,求的最大值与最小值.
【精彩点拨】 x,y满足x2+(y+4)2=4,即点P(x,y)是圆上的点.而表示点(x,y)与点(-1,-1)的距离.故此题可以转化为求圆x2+(y+4)2=4上的点与点(-1,-1)的距离的最值问题.
【自主解答】 因为点P(x,y)是圆x2+(y+4)2=4上的任意一点,圆心C(0,-4),半径r=2,
因此表示点A(-1,-1)与该圆上点的距离.
因为|AC|2=(-1)2+(-1+4)2>4,所以点A(-1,-1)在圆外.如图所示.
而|AC|==,
所以的最大值为|AC|+r=+2,最小值为|AC|-r=-2.
1.本题将最值转化为线段长度问题,从而使问题得以顺利解决.充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用.
2.涉及与圆有关的最值,可借助图形性质,利用数形结合求解.一般地:
①k=的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;③形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为两点间的距离的平方的最值问题等.
[再练一题]
3.已知圆C:
(x-3)2+(y-4)2=1,点A(0,-1),B(0,1),设P是圆C上的动点,令d=|PA|2+|PB|2,求d的最大值及最小值.
图411
【解】 设P(x,y),
则d=|PA|2+|PB|2=2(x2+y2)+2.
∵|CO|2=32+42=25,∴(5-1)2≤x2+y2≤(5+1)2.
即16≤x2+y2≤36.∴d的最小值为2×16+2=34,最大值为2×36+2=74.
1.点P(m,5)与圆x2+y2=24的位置关系是( )
A.在圆外 B.在圆内
C.在圆上D.不确定
【解析】 ∵m2+25>24,
∴点P在圆外.
【答案】 A
2.以点为圆心,半径为的圆的方程为( )
A.2+(y+1)2=
B.2+(y+1)2=
C.2+(y-1)2=
D.2+(y-1)2=
【解析】 由圆的几何要素知A正确.
【答案】 A
3.经过圆C:
(x+1)2+(y-2)2=4的圆心且斜率为1的直线方程为________.
【解析】 圆C的圆心为(-1,2),又所求直线的斜率为1,故由点斜式得y-2=x+1,即x-y+3=0.
【答案】 x-y+3=0
4.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为________.
【解析】 由题意知圆C的圆心为(0,1),半径为1,所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.
【答案】 x2+(y-1)2=1
5.已知圆C的半径为,圆心在直线x-y-2=0上,且过点(-2,1),求圆C的标准方程.
【解】 ∵圆心在直线x-y-2=0上,r=,∴设圆心为(t,t-2)(t为参数).
∴圆C的标准方程为(x-t)2+(y-t+2)2=17.
∵圆C过点(-2,1),
∴(-2-t)2+(1-t+2)2=17.
解得t=2或t=-1.
∴圆心C的坐标是(2,0)或(-1,-3).
∴所求圆C的标准方程是(x-2)2+y2=17或(x+1)2+(y+3)2=17.()
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