高中数学几类不同增长的函数模型.docx

高中数学几类不同增长的函数模型.docx

《高中数学几类不同增长的函数模型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学几类不同增长的函数模型.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高中数学几类不同增长的函数模型

3.2函数模型及其应用

3.2.1几类不同增长的函数模型

【知识提炼】

三种函数模型的性质

y=ax（a>1）

y=logx（a>1）

y=xn（n>0）

a

在（0,+∞）上

增函数

增函数

增函数

的增减性

_______

_______

图象的变化

随x增大逐渐近似

随x增大逐渐近

随n值而不同

趋势

与y轴平行

似与x轴平行

y=ax（a>1）

y=logx（a>1）

y=xn（n>0）

a

①y=ax（a>1）:

随着x的增大,y增长速度越来越快,会远

远大于y=xn（n>0）的增长速度,y=logax（a>1）的增长速度

增长速度

越来越慢

②存在一个x0,当x>x0时,有ax>xn>logax

【即时小测】

1.思考下列问题

（1）在区间（0,+∞）上,当a>1,n>0时,是否总有logax

提示:

不是,但总存在x0,使得当a>1,n>0,x>x0时,logax

（2）能否举例说明“指数爆炸”增长的含义?

提示:

如1个细胞分裂x次后的数量为y=2x,此为“指数增长”,其“增长量”是成倍增加的,从图象上看出,存在x0,当x>x0时,数量增加特别

快,足以体现“爆炸”的效果.

2.已知变量y=1+2x,当x减少1个单位时,y的变化情况是（）

A.y减少1个单位B.y增加1个单位

C.y减少2个单位D.y增加2个单位

【解析】选C.由y=1+2x可知,当x减少1个单位时,y相应减少2个单位.

3.某超市每月的利润的平均增长率为2%,若12月份的利润是当年1月份

利润的m倍,则m等于（）

A.（1.02）12B.（1.02）11C.（0.98）12D.（0.98）11

【解析】选B.设1月份的利润为a,则当年12月份的利润为a（1+2%）11,故

m=（1.02）11.

4.在函数y=3x,y=log3x,y=3x,y=x3中增长速度最快的是.

【解析】由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判

断出y=3x的增长速度最快.

答案:

y=3x

5.如图所示曲线反映的是函数模型的增长趋势.

【解析】由图象知,此函数的增长速度越来越慢,因此反映的是幂函数

模型或对数型函数模型的增长速度.

答案:

幂函数或对数型

【知识探究】

知识点几类函数模型的增长差异

观察图形,回答下列问题:

问题1:

函数t（x）,f（x）,g（x）,h（x）随着x的增大,函数值有什么共同的

变化趋势?

问题2:

函数t（x）,f（x）,g（x）,h（x）增长的速度有什么不同?

【总结提升】

1.四类不同增长的函数模型

（1）增长速度不变的函数模型是一次函数模型.

（2）增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型.

（3）增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型.

（4）增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.

2.几类函数模型的选择

（1）一次函数模型:

当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y

是x的一次函数,一次函数的图象为直线.

（2）二次函数模型:

二次函数是常用的重要模型,y是x或其他量的二次

函数,常用来求最大值或最小值问题,要注意定义域.

（3）指数函数模型、对数函数模型:

当问题中每期（或每年、每段等）的

增长率相同,则为指数函数模型或对数函数模型,一般与增长率、衰减

率、利息等现实生活联系紧密.

【知识拓展】求解数学应用题必须突破的三关

（1）阅读理解关:

一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读

审题,找出关键词、句,理解其意义.

（2）建模关:

即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题.

（3）数理关:

运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.

【题型探究】

类型一几类函数模型的增长差异

【典例】1.（2015·怀柔高一检测）四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:

x

1

5

10

15

20

25

30

y1

1

25

100

225

400

625

900

y

2

2

32

1024

32768

1.1×106

3.4×107

1.1×109

y3

2

10

20

30

40

50

60

y4

2

4.32

5.32

5.91

6.32

6.64

6.91

关于x呈指数函数变化的变量是.

2.函数f（x）=1.1x,g（x）=lnx+1,h（x）=的图象如图所示,试分别指出

各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异（以1,e,a,b,c,d为分

界点）.

【解题探究】1.典例1表格中四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化最快的

是哪一组?

提示:

由表中的数据可以看出y2随着x变化,数值增长的速度最快.

2.典例2中判断各曲线对应的函数的关键是什么?

1,e,a,b,c,d的含义

是什么?

提示:

关键是依据指数函数、对数函数、幂函数的增长速度,判断各曲

线对应的函数.1,e,a,b,c,d的含义是相应曲线交点的横坐标.

【解析】1.从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加

值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.从表格中可以看出,变量

y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,根据指数函数变化的特点,可知变量y2随着x变化呈指数函数变化.

答案:

y2

2.由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f（x）=1.1x,曲线C2对应的函数是h（x）=,曲线C3对应的函数是g（x）=lnx+1.

由题图知,当0h（x）>g（x）;当1g（x）>h（x）;当ef（x）>h（x）;当ah（x）>f（x）;当bg（x）>f（x）;当cf（x）>g（x）;当x>d时,f（x）>h（x）>g（x）.

【方法技巧】常见的函数模型及增长特点

（1）线性函数模型:

线性函数模型y=kx+b（k>0）的增长特点是直线上升,

其增长速度不变.

（2）指数函数模型:

能用指数型函数f（x）=abx+c（a,b,c为常数,a>0,b>1）表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.

（3）对数函数模型:

能用对数型函数f（x）=mlogax+n（m,n,a为常数,m>0,x>0,a>1）表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.

（4）幂函数模型:

能用幂型函数f（x）=axα+b（a,b,α为常数,a≠0,α≠1）表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型.

【变式训练】有一组数据如下表:

t

1.99

3.0

4.0

5.1

6.12

v

1.5

4.04

7.5

12

18.01

现准备用下列函数中的一个近似表示这些数据满足的规律,则其中最

接近的一个是（）

A.v=log2tB.v=t

C.v=D.v=2t-2

【解析】选C.取t=1.99≈2,代入A,得v=log22=1≠1.5,代入B,得v=

=-1≠1.5,代入C,得v==1.5,代入D,得v=2×2-2≠1.5.

经计算可知最接近的一个是选项C.

类型二指数函数、对数函数与幂函数模型的比较

【典例】（2015·赤峰高一检测）函数f（x）=2x和g（x）=x3的图象如图所

示.设两函数的图象交于点A（x1,y1）,

B（x2,y2）,且x1

（1）请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数.

（2）结合函数图象,判断f（6）,g（6）,f（2011）,

g（2011）的大小.

【解题探究】本例图中两图象分别过哪几个关键点?

增加的速

度怎样?

它们交点的横坐标x1,x2大约在什么范围内?

提示:

曲线C1过原点,曲线C2与y轴有交点,曲线C2增加的速度快.

又因为f

（1）>g

（1）,f

（2）

（2）,f（9）g（10）,所以

1

【解析】

（1）C1对应的函数为g（x）=x3,C2对应的函数为f（x）=2x.

（2）因为f

（1）>g

（1）,f

（2）

（2）,f（9）g（10）,所以

1x2.从图象上可以看出,当x1

时,f（x）x2时,f（x）>g（x）,所以

f（2011）>g（2011）.又因为g（2011）>g（6）,所以f（2011）>g（2011）>

g（6）>f（6）.

【延伸探究】

1.（改变条件）若将“函数f（x）=2x”改为“f（x）=3x”,又如何求解

（1）

呢?

【解析】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知

:

C1对应的函数为g（x）=x3,C2对应的函数为f（x）=3x.

2.（改变问法）本例条件不变,

（2）中结论若改为:

试结合图象,判断

f（8）,g（8）,f（2015）,g（2015）的大小.

【解析】因为f

（1）>g

（1）,f

（2）

（2）,f（9）g（10）,所以

1x2.从图象上可以看出,当x1

当x>x2时,f（x）>g（x）,所以f（2015）>g（2015）.又因为g（2015）>g（8）,所以f（2015）>g（2015）>g（8）>f（8）.

【方法技巧】由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法

根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是

观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数

是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.

【补偿训练】（2015·包头高一检测）函数f（x）=lgx,g（x）=0.3x-1的图

象如图所示:

（1）试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数.

（2）比较两函数的增长差异（以两图象交点为分界点,对f（x）,g（x）的大

小进行比较）.

【解析】

（1）曲线C1对应的函数为g（x）=0.3x-1,C2对应的函数为

f（x）=lgx.

（2）当0f（x）;当x1g（x）;当x>x2时,g（x）>f（x）;当x=x1或x=x2时,g（x）=f（x）.

【延伸探究】

1.（改变问法）本题条件不变,试根据图象确定x1与1,x2与10的大小关系.

【解析】根据C2对应的函数关系式为f（x）=lgx,结合图象与x的交点为

（1,0）可知,x1<1;由于f（10）=lg10=1,g（10）=0.3×10-1=2,g（10）>

f（10）,根据图象,可知x2<10.

2.（改变问法）本题条件不变,试根据图象比较f（1.5）,g（1.5）,

f（2015）,g（2015）的大小.

【解析】由于f（3）=lg3>0,g（3）=0.3×3-1<0,f（10）=lg10=1,

g（10）=0.3×10-1=2,

g（10）>f（10）,结合图象可知3g（x）,故

f（1.5）>g（1.5）;由于x2<10,故当x>10时,g（x）>f（x）,故

g（2015）>f（2015）,又因为f（2015）>f（1.5）,所以

g（2015）>f（2015）>f（1.5）>g（1.5）.

类型三函数模型的选择问题

【典例】1.（2015·临汾高一检测）某公司为了适应市场需求,对产品

结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若

要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系,则

可选用（）

A.一次函数B.二次函数

C.指数型函数D.对数型函数

2.（2015·邯郸高一检测）某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为

50元,其成本价为25元,因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出,为了净化环境,工厂设计两套方案对污水进行处理,并准备实施.

方案一:

工厂的污水先净化处理后再排出,每处理1立方米污水所用原料费2元,并且每月排污设备损耗费为30000元;

方案二:

工厂将污水排到污水处理厂统一处理,每处理1立方米污水需

付14元的排污费.问:

（1）工厂每月生产3000件产品时,你作为厂长,在不污染环境,又节约资

金的前提下应选择哪种方案?

通过计算加以说明.

（2）若工厂每月生产6000件产品,你作为厂长,又该如何决策呢?

【解题探究】1.典例1中由“初期利润增长迅速,后来增长越来越慢

”,联想到哪类函数的增长特性?

提示:

符合对数函数的增长特点.

2.典例2中要进行两种方案的选择,需对两种方案进行什么比较?

提示:

需分为每月生产3000件产品,每月生产6000件产品两种情况下分别计算出两种方案的利润,进行比较利润大小,作出选择.

【解析】1.选D.一次函数保持均匀的增长,不符合题意;二次函数在对

称轴的两侧有增也有降;而指数函数是爆炸式增长,不符合“增长越来

越慢”;因此,只有对数函数最符合题意,先快速增长,后来越来越慢.

2.设工厂每月生产x件产品时,依方案一的利润为y1,依方案二的利润为y2,由题意知

y1=（50-25）x-2×0.5x-30000=24x-30000,y2=（50-25）x-14×0.5x=18x.

（1）当x=3000时,y1=42000,y2=54000,因为y1

（2）当x=6000时,y1=114000,y2=108000,因为y1>y2,所以应选择方案一处理污水.

【方法技巧】解函数应用题的四个步骤

第一步:

阅读、理解题意,认真审题.

读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括

出来的数学实质.审题时要抓住题目中的关键量,善于联想、化归,实

现应用问题向数学问题的转化.

第二步:

引进数学符号,建立数学模型.

一般地,设自变量为x,函数为y,并用x表示各相关量,然后根据已知条

件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系

式,将实际问题转化为一个数学问题,实现问题的数学化,即所谓建立

数学模型.

第三步:

利用数学方法解答得到的常规数学问题（即数学模型）,求得结

果.

第四步:

再转译成具体问题作出解答.

【变式训练】（2015·抚顺高一检测）某文具店出售软皮本和铅笔,软

皮本每本2元,铅笔每枝0.5元,该店推出两种优惠办法:

（1）买一本软皮

本赠送一枝铅笔;

（2）按总价的92%付款.现要买软皮本4本,铅笔若干枝

（不少于4枝）,若购买铅笔数为x枝,支付款数为y元,试分别建立两种优

惠办法中y与x之间的函数关系式,并说明使用哪种优惠办法更合算?

【解题指南】根据题意列出两个一次函数关系式,办法

（1）的函数模型

增长得快,办法

（2）的函数模型增长得慢.

【解析】由优惠办法

（1）得到y与x的函数关系式为:

y=2×4+0.5（x-4）=0.5x+6（x≥4,且x∈N）.

由优惠办法

（2）得到y与x的函数关系式为:

y=（0.5x+2×4）×92%=0.46x+7.36（x≥4,且x∈N）.令0.5x+6=0.46x+7.36,解得x=34,且当4≤x<34时,0.5x+6<0.46x+7.36,当x>34时,0.5x+6>0.46x+7.36,即当购买铅笔数少于34枝（不少于4枝）时,用优惠办法

（1）合算;当购买铅笔数多于34枝时,用优惠办法

（2）合算;当购买铅笔数是34枝时,两种优惠办法支付的总钱数是相同的,即一样合算.

【补偿训练】有甲,乙两家健身中心,两家设备和服务都相当,但收费

方式不同.甲中心每小时5元;乙中心按月计费,一个月中30小时以内（

含30小时）90元,超过30小时的部分每小时2元.某人准备下个月从这两

家中选择一家进行健身活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小

时.

（1）设在甲中心健身活动x小时的收费为f（x）元,在乙中心健身活动x小

时的收费为g（x）元,试求f（x）和g（x）.

（2）问:

选择哪家比较合算?

为什么?

【解析】

（1）f（x）=5x,15≤x≤40,

（2）当5x=90时,x=18,

即当15≤x<18时,f（x）

当x=18时,f（x）=g（x）,

当18g（x）;

所以当15≤x<18时,选甲比较合算;当x=18时,两家一样合算;当18

易错案例几类函数模型的增长差异

【典例】（2015·白城高一检测）下列函数中随x的增大而增大且速度

最快的是（

）

A.y=exB.y=100lnx

C.y=x10D.y=100·2x

【失误案例】

【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗?

提示:

错误的根本原因在于影响指数型函数增长速度的量是指数函数

的底数,而非其系数,本题误认为100>,得出100·2x比ex增大

速度快的错误结论.

【自我矫正】选A.指数爆炸式形如指数函数.由于影响指数型函数增

长速度的量是指数函数的底数,因为e>2,所以ex比100·2x增大速

度快.

【防范措施】明确影响指数函数增长的因素

影响指数函数增长速度的量是指数函数的底数,而非其系数.如本

题y=ex与y=100·2x,底数e>2,因此系数对其影响可以忽略,故

y=ex的增长速度大于y=100·2x的增长速度.