第一章132第1课时 奇偶性的概念.docx
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第一章132第1课时奇偶性的概念
1.3.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
学习目标
1.理解函数奇偶性的定义;2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法;3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.
知识点一 函数奇偶性的几何特征
思考 下列函数图象中,关于y轴对称的有哪些?
关于原点对称的呢?
答案 ①②关于y轴对称,③④关于原点对称.
一般地,图象关于y轴对称的函数称为偶函数,图象关于原点对称的函数称为奇函数.
知识点二 函数奇偶性的定义
思考1 为什么不直接用图象关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性?
答案 因为很多函数图象我们不知道,即使画出来,细微之处是否对称也难以精确判断.
思考2 利用点对称来刻画图象对称有什么好处?
答案 好处有两点:
(1)等价:
只要所有点均关于y轴(原点)对称,则图象关于y轴(原点)对称,反之亦然.
(2)可操作:
要判断点是否关于y轴(原点)对称,只要代入解析式验证即可,不知道函数图象也能操作.
函数奇偶性的概念:
(1)偶函数:
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x,f(x))关于y轴的对称点(-x,f(x))也在f(x)图象上.
(2)奇函数:
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x,f(x))关于原点的对称点(-x,-f(x))也在f(x)图象上.
知识点三 奇(偶)函数的定义域特征
思考 如果一个函数f(x)的定义域是(-1,1],那这个函数f(x)还具有奇偶性吗?
答案 由函数奇偶性定义,对于定义域内任一元素x,其相反数-x必须也在定义域内,才能进一步判断f(-x)
与f(x)的关系.而本问题中,1∈(-1,1],-1∉(-1,1],f(-1)无定义,自然也谈不上是否与f
(1)相等了.所以该函数既非奇函数,也非偶函数.
一般地,判断函数奇偶性要注意定义域优先原则,即首先要看定义域是否关于原点对称.
类型一 如何证明函数的奇偶性
例1
(1)证明f(x)=
既非奇函数又非偶函数;
(2)证明f(x)=(x+1)(x-1)是偶函数;
(3)证明f(x)=
+
既是奇函数又是偶函数;
(4)证明f(x)=
是奇函数;
(5)已知f(x)的定义域为R,证明g(x)=f(-x)+f(x)是偶函数.
证明
(1)因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1},∴对于定义域内的-1,其相反数1不在定义域内,故f(x)=
既非奇函数又非偶函数.
(2)函数的定义域为R,因函数f(x)=(x+1)(x-1)=x2-1,又因f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),所以函数为偶函数.
(3)定义域为{-1,1},因为对定义域内的每一个x,都有f(x)=0,所以f(-x)=f(x),故函数f(x)=
+
为偶函数.又f(-x)=-f(x),故函数f(x)=
+
为奇函数.即该函数既是奇函数又是偶函数.
(4)定义域为{x|x≠0}.
若x<0,则-x>0,∴f(-x)=1,f(x)=-1,
∴f(-x)=-f(x);
若x>0,则-x<0,∴f(-x)=-1,f(x)=1,
∴f(-x)=-f(x);
即对任意x≠0,都有f(-x)=-f(x).
∴f(x)为奇函数.
(5)∵f(x)的定义域为R,
∴g(x)=f(-x)+f(x)的定义域也为R.
对于任意x∈R,都有g(-x)=f[-(-x)]+f(-x)=f(-x)+f(x)=g(x),
∴g(x)是偶函数.
反思与感悟 利用定义法判断函数是不是偶函数时,首先应看函数定义域是否关于原点对称,即对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量.
跟踪训练1
(1)证明f(x)=(x-2)
既非奇函数又非偶函数;
(2)证明f(x)=x|x|是奇函数;
(3)证明f(x)=
+
(a≥0)既是奇函数又是偶函数;
(4)证明f(x)=
是奇函数.
证明
(1)由
≥0,得定义域为[-2,2),关于原点不对称,故f(x)为非奇非偶函数.
(2)函数的定义域为R,因f(-x)=(-x)|-x|=-x|x|=-f(x),所以函数为奇函数.
(3)定义域为{-
,
},因为对定义域内的每一个x,都有f(x)=0,所以f(-x)=f(x),故函数f(x)=
+
为偶函数.又f(-x)=-f(x),故函数f(x)=
+
为奇函数.即该函数既是奇函数又是偶函数.
(4)定义域为{x|x≠0}.
若x<0,则-x>0,
∴f(-x)=x2,f(x)=-x2,
∴f(-x)=-f(x);
若x>0,则-x<0,
∴f(-x)=-(-x)2=-x2,f(x)=x2,
∴f(-x)=-f(x);
即对任意x≠0,都有f(-x)=-f(x).
∴f(x)为奇函数.
类型二 如何判断函数的奇偶性
例2
(1)f(x),g(x)是定义在R上的奇函数,试判断y=f(x)+g(x),y=f(x)g(x),y=f[g(x)]的奇偶性;
(2)判断f(x)=x3+3x的奇偶性;
(3)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是奇函数,求实数b,d的值.
解
(1)∵f(x),g(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)],y=f(x)+g(x)是奇函数.
f(-x)g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)g(x),y=f(x)g(x)是偶函数.
f[g(-x)]=f[-g(x)]=-f[g(x)],y=f[g(x)]是奇函数.
(2)∵y=x3,y=3x都是奇函数,由
(1)知f(x)=x3+3x是奇函数.
(3)由
(1)知当b=d=0时,f(x)=ax3+bx2+cx+d是奇函数.
反思与感悟 判断函数单调性要比证明灵活得多,可以借助图象,也可借助已知奇偶性的函数,在此基础上判断其和、差、积、商复合的奇偶性.
跟踪训练2
(1)f(x),g(x)定义在R上,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,试判断y=f(x)g(x),y=f[g(x)]的奇偶性;
(2)判断f(x)=
的奇偶性;
(3)已知f(x),g(x)均为奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值5(ab≠0),求F(x)在(-∞,0)上的最小值.
解
(1)∵f(x),g(x)定义在R上,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
∴f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),y=f(x)g(x)是奇函数.
f[g(-x)]=f[g(x)],y=f[g(x)]是偶函数.
(2)∵y=x2+1是偶函数,y=x是奇函数,由
(1)知f(x)=
是奇函数.
(3)∵f(x),g(x)均为奇函数,
∴y=af(x)+bg(x)是奇函数.
设x<0,则-x>0.
由F(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值5(ab≠0),
∴F(-x)=af(-x)+bg(-x)+2≤5,
∴af(-x)+bg(-x)≤3,
∴af(x)+bg(x)≥-3,
∴af(x)+bg(x)+2≥-3+2=-1.
即F(x)在(-∞,0)上的最小值为-1.
类型三 奇(偶)函数图象的对称性的应用
例3 定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示.
(1)画出f(x)的图象;
(2)解不等式xf(x)>0.
解
(1)先描出(1,1),(2,0)关于原点的对称点(-1,-1),(-2,0),连线可得f(x)的图象如下图,
(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知,xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(0,2).
反思与感悟 鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称,可以用这一特性去画图、求值,求解析式,研究单调性.
跟踪训练3 已知f(x)=
在[0,1]上单调递增,在[1,+∞)上递减.试画出f(x)的图象,并指出其单调区间.
解 显然当x>0时,f(x)>0.
又y=x2+1为偶函数,y=x为奇函数,
∴f(x)=
为奇函数,其图象关于原点对称.
由此得f(x)=
的图象如下.
由图可知f(x)=
的增区间是[-1,1],减区间是(-∞,-1],[1,+∞).
1.函数f(x)=0(x∈R)是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
答案 D
2.函数f(x)=
的奇偶性是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
答案 A
3.函数f(x)=x(-1 A.奇函数B.偶函数 C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数 答案 C 4.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g (1)=2,f (1)+g(-1)=4,则g (1)等于( ) A.4B.3C.2D.1 答案 B 5.下列说法错误的个数是( ) ①图象关于原点对称的函数是奇函数; ②图象关于y轴对称的函数是偶函数; ③奇函数的图象一定过原点; ④偶函数的图象一定与y轴相交; ⑤既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R). A.4B.3C.2D.0 答案 B 1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数;如果都有f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数. 2.两个性质: 函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称;函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称. 3.证明一个函数是奇函数,必须对f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x).而证明一个函数不是奇函数,只要能举出一个反例就可以了. 一、选择题 1.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A.y=-x2+5(x∈R) B.y=-x C.y=x3(x∈R) D.y=- (x∈R,x≠0) 答案 C 解析 函数y=-x2+5(x∈R)既有增区间又有减区间;y=-x是减函数;y=- (x∈R,x≠0)不是定义域内的增函数;只有y=x3(x∈R)满足条件. 2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f (1)等于( ) A.-3B.-1C.1D.3 答案 A 解析 ∵f(x)是奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x, ∴f (1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3. 3.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( ) A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数 答案 A 解析 由f(x)是偶函数,可得f(-x)=f(x), 由g(x)是奇函数可得g(-x)=-g(x), 故|g(x)|为偶函数,∴f(x)+|g(x)|为偶函数. 4.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( ) A.- B. C. D.- 答案 B 解析 依题意b=0,且2a=-(a-1), ∴a= ,则a+b= . 5.f(x)是定义在R上的奇函数,下列结论中,不正确的是( ) A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=-2f(x) C.f(x)·f(-x)≤0 D. =-1 答案 D 解析 ∵f(-x)=-f(x),A、B显然正确, 因为f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0,故C正确. 当x=0时,由题意知f(0)=0,故D错误. 6.给出函数f(x)=|x3+1|+|x3-1|,则下列坐标表示的点一定在函数y=f(x)的图象上的是( ) A.(a,-f(a))B.(a,f(-a)) C.(-a,-f(a))D.(-a,-f(-a)) 答案 B 解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(-a)=f(a), ∴(a,f(-a))一定在y=f(x)的图象上,∴选B. 二、填空题 7.已知函数y=f(x)为偶函数,其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是________. 答案 0 解析 由于偶函数的图象关于y轴对称,所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称,因此,四个交点中,有两个在x轴的负半轴上,另两个在x轴的正半轴上,所以四个实根的和为0. 8.偶函数f(x)的定义域为[t-4,t],则t=________. 答案 2 解析 因为偶函数的定义域关于原点对称,所以(t-4)+t=0,即t=2. 9.已知函数f(x)= ,若f(a)= ,则f(-a)=____. 答案 解析 根据题意,f(x)= =1+ ,而h(x)= 是奇函数,故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-[1+h(a)]=2-f(a)=2- = . 10.函数f(x)= 为________(填“奇函数”或“偶函数”). 答案 奇函数 解析 定义域关于原点对称,且 f(-x)= = =-f(x), 所以f(x)是奇函数. 三、解答题 11.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+x5; (2)f(x)=|x+1|+|x-1|; (3)f(x)= . 解 (1)函数的定义域为R.∵f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x),∴f(x)是奇函数. (2)f(x)的定义域是R.∵f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),∴f(x)是偶函数. (3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数. 12.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,求实数a的值. 解 ∵函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数, ∴f(-x)=f(x), 即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|, ∴|-x+a|=|x+a|,即|x-a|=|x+a|, ∴a=0. 13.已知函数f(x)= 是奇函数. (1)求实数m的值; (2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围. 解 (1)因为f(x)为奇函数, 所以f(-1)=-f (1),即1-m=-(-1+2), 解得m=2. 经检验m=2时函数f(x)是奇函数. 所以m=2. (2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增, 结合f(x)的图象知 所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].
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