高考数学突破三角函数与解三角形问题中的套路专题04解三角形.docx
- 文档编号:1052312
- 上传时间:2022-10-16
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:490.29KB
高考数学突破三角函数与解三角形问题中的套路专题04解三角形.docx
《高考数学突破三角函数与解三角形问题中的套路专题04解三角形.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学突破三角函数与解三角形问题中的套路专题04解三角形.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高考数学突破三角函数与解三角形问题中的套路专题04解三角形
专题04解三角形
知识必备
一、正弦定理
1.正弦定理
在中,若角A,B,C对应的三边分别是a,b,c,则各边和它所对角的正弦的比相等,即.正弦定理对任意三角形都成立.
2.常见变形
(1)
(2)
(3)
(4)正弦定理的推广:
,其中为的外接圆的半径.
3.解决的问题
(1)已知两角和任意一边,求其他的边和角;
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角.
4.在中,已知,和时,三角形解的情况
二、余弦定理
1.余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即
2.余弦定理的推论
从余弦定理,可以得到它的推论:
.
3.解决的问题
(1)已知三边,求三个角;
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角.
4.利用余弦定理解三角形的步骤
三、三角形的面积
1.三角形的面积公式
设的三边为a,b,c,对应的三个角分别为A,B,C,其面积为S.
(1)(h为BC边上的高);
(2);
(3)(为三角形的内切圆半径).
2.三角形的高的公式
hA=bsinC=csinB,hB=csinA=asinC,hC=asinB=bsinA.
核心考点
考点一直接利用正、余弦定理解三角形
【例1】(正弦定理)设的角所对的边分别是,若则
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】由正弦定理得.
故选B.
【例2】(余弦定理)已知分别是的三个内角所对的边,且则
A.2B.1
C.D.
【答案】B
【例3】(正、余弦定理的综合)在中,,,分别为内角,,的对边,若,,则
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】因为,所以由正弦定理得,又因为,所以,令,所以由余弦定理得,选D.
备考指南
1.利用正、余弦定理求边和角的方法:
(1)根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形,并在图形中标出相关的位置.
(2)选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
(3)在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用.
2.常见结论:
(1)三角形的内角和定理:
在中,,其变式有:
,等.
(2)三角形中的三角函数关系:
;;
;.
考点二三角形解的个数或形状的判断
【例4】(三角形个数的判断)在中,分别是内角所对的边,若a=2,b=,A=45°,则满足条件的三角形有
A.1个B.2个
C.0个D.无法确定
【答案】B
【解析】∵,∴,∴满足条件的三角形有2个,故选B.
备考指南
判断三角形解的个数的两种方法
1.代数法:
根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断.
2.几何图形法:
根据条件画出图形,通过图形直观判断解的个数.
【例5】(三角形形状的判断)在中,分别是内角所对的边,若,则的形状为
A.等腰三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.锐角三角形
【答案】B
备考指南
利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路:
1.“角化边”:
利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.
2.“边化角”:
利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角间的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用这个结论.
提醒:
在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免造成漏解.
考点三三角形的面积与周长问题
【例6】(直接求面积)在中,则的面积等于
A.B.
C.D.3
【答案】C
【解析】在中,所以的面积等于
,故选C.
【例7】(三角形周长问题)在中,角,,的对边分别为,,,已知,,.
(1)求的值;
(2)求的周长.
【解析】
(1)因为在中,,所以,
又,,
所以由正弦定理可得得,
所以,
因为,
所以.
(2)由余弦定理知,
所以,即,解得或(舍去),
所以的周长为.
备考指南
1.求三角形面积的方法
①若三角形中已知一个角(角的大小,或该角的正、余弦值),结合题意求夹这个角的两边或该两边之积,套公式求解.
②若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦值,套公式求面积,总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.
2.三角形中,已知面积求边、角的方法
三角形面积公式中含有两边及其夹角,故根据题目的特点,若求角,就寻求夹这个角的两边的关系,利用面积公式列方程求解;若求边,就寻求与该边(或两边)有关联的角,利用面积公式列方程求解.
考点四三角形中的范围或最值问题
【例8】(范围问题)已知是的内角所对的边,,则角的取值范围是.
【答案】(0,]
【例9】(最值问题)中,角所对的边分别为,
.
(1)求的大小;
(2)若的面积为,求的最小值.
【解析】
(1)∵,
∴,即,
∴,
由正弦定理得,,
由余弦定理得,,
∵,
∴.
(2)由
(1)知,==,
∴=2,
∴=≥==2,当且仅当时取等号,
∴(舍)或,
∴=.
备考指南
求最值或范围时,注意公式的选择.
1.求取值范围时,用正弦定理转化为解三角函数值域.
2.求最大或最小值时,用余弦定理和均值不等式.注意均值不等式只能求一端的最值,有时由两边之和大于第三边求另一个.
能力突破
1.已知的三个内角所对的边分别是,若,则角的大小为
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】由正弦定理得,化简得,故.
【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用,考查利用正弦定理进行边角互化的方法.由于题目所给已知条件一边是角的形式,另一边是边的形式,由此我们考虑将两边同时化为边或者同时转化为角的形式,考虑到正弦定理,故将角转化为边,然后利用余弦定理将式子转化为余弦值,由此求得的大小.
2.已知中,角的对边分别为,若,则
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】由已知可得,,由余弦定理可得.
所以.
3.在中,角,,的对边分别为,,,若,,,则的面积为
A.B.
C.D.
【答案】A
4.在中,角所对的边分别为.若.
(1)求角的大小;
(2)若的面积为,且,求的值.
【解析】
(1)由题意知,
因为,所以,
所以,
则.
因为,所以.
(2)因为,所以.
由余弦定理得,则,
所以,解得.
5.如图所示,在四边形中,,且,,.
(1)求的面积;
(2)若,求的长.
【解析】
(1)因为,,
所以,
又,
所以,
所以.
(2)由余弦定理可得,
因为,
所以,解得.
高考通关
1.(2017山东理)在中,角A,B,C的对边分别为,,.若为锐角三角形,且满足,则下列等式成立的是
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】由题意知,
所以,选A.
【名师点睛】本题较为容易,关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有A,B,C的式子,再用正弦定理将角转化为边,得到.解答三角形中的问题时,三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件,不容忽视.
2.(2018新课标Ⅱ理)在中,,,,则
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】因为所以,选A.
【名师点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理,结合已知条件,灵活转化为边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.
3.(2018新课标Ⅲ理)的内角的对边分别为,,,若的面积为,则
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】由题可知,所以,由余弦定理,得,因为,所以,故选C.
4.(2017新课标Ⅰ理)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知的面积为.
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求的周长.
【解析】
(1)由题设得,即.
由正弦定理得.
故.
(2)由题设及
(1)得,即.
所以,
故.
由题设得,即.
由余弦定理得,即,得.
故的周长为.
【名师点睛】在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使用面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角,再有另外一个条件,求面积或周长的值”,这类问题的通法思路是:
全部转化为角的关系,建立函数关系式,如,从而求出范围,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.
5.(2017新课标Ⅱ理)的内角的对边分别为,已知.
(1)求;
(2)若,的面积为,求.
【解析】
(1)由题设及,可得,故.
上式两边平方,整理得,解得(舍去),.
【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点,命题大多放在解答题的第一题,主要利用三角形的内角和定理,正、余弦定理,三角形的面积公式等知识进行求解.解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”,另外要注意三者之间的关系,这样的题目小而活,备受命题者的青睐.
你都掌握了吗?
有哪些问题?
整理一下!
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠,读出了它坦荡豪放的胸怀;读太阳,读出了它普照万物的无私;读春雨,读出了它润物无声的柔情。
读大海,读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰,读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂;幸福是“春种一粒粟,秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下,悠然见南山”的闲适;幸福是“奇闻共欣赏,疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献;幸福是“夜来风雨声,花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉,笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死,留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩:
从秋叶的飘零中,我们读出了季节的变换;从归雁的行列中,我读出了集体的力量;从冰雪的消融中,我们读出了春天的脚步;从穿石的滴水中,我们读出了坚持的可贵;从蜂蜜的浓香中,我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子,如果害怕埋没,那它永远不能发芽。
鲜花,如果害怕凋谢,那它永远不能开放。
矿石,如果害怕焚烧(熔炉),那它永远不能成钢(炼成金子)。
蜡烛,如果害怕熄灭(燃烧),那它永远不能发光。
航船,如果害怕风浪,那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花,当你孤芳自赏时,天地便小了。
井底的蛙,当你自我欢唱时,视野便窄了。
笼中的鸟,当你安于供养时,自由便没了。
山中的石!
当你背靠群峰时,意志就坚了。
水中的萍!
当你随波逐流后,根基就没了。
空中的鸟!
当你展翅蓝天中,宇宙就大了。
空中的雁!
当你离开队伍时,危险就大了。
地下的煤!
你燃烧自己后,贡献就大了
6、朋友是什么?
朋友是快乐日子里的一把吉它,尽情地为你弹奏生活的愉悦;朋友是忧伤日子里的一股春风,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考 数学 突破 三角函数 三角形 问题 中的 套路 专题 04