高考数学 集合的概念与运算.docx
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高考数学集合的概念与运算
集合的概念与运算
[知识梳理]
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系有属于或不属于两种,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:
列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
2.集合间的基本关系
3.集合的基本运算
4.集合的运算性质
(1)并集的性质:
A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.
(2)交集的性质:
A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.
(3)补集的性质:
A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=∅;∁U(∁UA)=A;∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).
(4)若有限集A中有n个元素,则A的子集个数为2n个,非空子集个数为2n-1个,真子集有2n-1个,非空真子集的个数为2n-2个.
[诊断自测]
1.概念思辨
(1)直线y=x+3与y=-2x+6的交点组成的集合是{1,4}.( )
(2)若集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A,B,C表示同一个集合.( )
(3)设集合A={0,1},若B={x|x⊆A},则A⊆B.( )
(4)设集合A={x|ax=1},B={x|x2=1},若A⊆B,则a=1或-1.( )
答案
(1)×
(2)× (3)× (4)×
2.教材衍化
(1)(必修A1P12T5)若集合P={x|x≥5},Q={x|5≤x≤7},则P与Q的关系是( )
A.P=QB.PQC.PQD.P⊄Q
答案 C
解析 因为集合P={x|x≥5},Q={x|5≤x≤7},所以QP.故选C.
(2)(必修A1P12T2)已知A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},则A∩B=________.
答案 {(1,2)}
解析 A∩B={(x,y)|4x+y=6}∩{(x,y)|3x+2y=7}=={(1,2)}.
3.小题热身
(1)已知集合A={x|-3 A.(0,3)B.(-3,4)C.(0,4)D.(3,4) 答案 B 解析 集合B=(0,4),故A∪B=(-3,4).故选B. (2)若集合A=[2,3],B={x|x2-5x+6=0},则A∩B=( ) A.{2,3}B.∅C.(2,3)D.[2,3] 答案 A 解析 因为A={x|2≤x≤3},B={2,3},所以A∩B={2,3}.故选A. 题型1 集合的基本概念 (优质试题·四川高考)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( ) A.3B.4C.5D.6 本题用列举法. 答案 C 解析 A中包含的整数元素有-2,-1,0,1,2,共5个,所以A∩Z中的元素个数为5.故选C. (优质试题·豫北名校联考)设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P⊗Q={z|z=a÷b,a∈P,b∈Q},若P={-1,0,1},Q={-2,2},则集合P⊗Q中元素的个数是( ) A.2B.3C.4D.5 本题用分类讨论法,根据元素的互异性确定元素的个数. 答案 B 解析 当a=0时,无论b取何值,z=a÷b=0; 当a=-1,b=-2时,z=; 当a=-1,b=2时,z=-; 当a=1,b=-2时,z=-; 当a=1,b=2时,z=. 故P⊗Q=,该集合中共有3个元素.故选B. 方法技巧 解决集合概念问题的一般思路 1.研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合,然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的意义.常见的集合的意义如下表: 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合是否满足元素的互异性. 3.集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. 冲关针对训练 1.已知集合A={x|y=x2+1},B={y|y=x2+1},则下列关系正确的是( ) A.A∩B=∅B.A∩B=A C.A=BD.A∩B=B 答案 D 解析 A=R,B=[1,+∞),故A∩B=B.故选D. 2.已知a,b为两个不相等的实数,集合M={a2-4a,-1},N={b2-4b+1,-2},f: x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b等于( ) A.1B.2C.3D.4 答案 D 解析 因为集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,所以即因为a,b为两个不相等的实数,则a,b为方程x2-4x+2=0的两根,∴a+b=4.故选D. 题型2 集合间的基本关系 (优质试题·资阳模拟)含有三个实数的集合可表示为,也可表示为{a2,a+b,0},则a优质试题+b优质试题的值为( ) A.0B.±1C.-1D.1 利用集合相等分类讨论,根据元素的互异性求解. 答案 C 解析 三个实数的集合可表示为,也可表示为{a2,a+b,0},可得b=0,a2=1,因为集合含有三个实数,所以a=-1,∴a优质试题+b优质试题=-1.故选C. 已知集合A={x|x<-3或x>7},B={x|x<2m-1},若 B⊆A,则实数m的取值范围是________. 本题可用数形结合方法. 答案 (-∞,-1] 解析 由题意知2m-1≤-3,m≤-1,∴m的取值范围是(-∞,-1]. [条件探究1] 典例2中的B改为B={x|m+1≤x≤2m-1},其余不变,该如何求解? 解 当B=∅时,有m+1>2m-1,则m<2. 当B≠∅时,或 解得m>6.综上可知m的取值范围是(-∞,2)∪(6,+∞). [条件探究2] 典例2中的A改为A={x|-3≤x≤7},B改为B={x|m+1≤x≤2m-1},又该如何求解? 解 当B=∅时,满足B⊆A,此时有m+1>2m-1, 即m<2;当B≠∅,要使B⊆A,则有 解得2≤m≤4. 综上可知m的取值范围是(-∞,4]. 方法技巧 1.集合相等的问题求解思路 首先分析已知元素与另一个集合中的哪个元素相等,一般要分类讨论,列出方程(组)求解,最后要验证是否满足互异性.例如典例1. 2.已知两个集合间的关系求参数时的关键点及注意点 (1)关键点: 将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.例如条件探究1,2. (2)注意点: ①利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论;②注意区间端点的取舍.例如典例2. 提醒: 空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解. 冲关针对训练 1.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|- A.A∩B=∅B.A∪B=R C.B⊆AD.A⊆B 答案 B 解析 易得A={x|x>2或x<0},又B={x|- 2.(优质试题·河北校级期中)已知集合A={2,3},B={x|mx-6=0},若B⊆A,则实数m=( ) A.3B.2 C.2或3D.0或2或3 答案 D 解析 因为B⊆A,所以根据B是否为空集分以下两种情况: ①当B=∅时,mx-6=0无解,即m=0, ②当B≠∅时,mx-6=0的解为2或3,则m的值分别为3,2.故选D. 题型3 集合的基本运算 角度1 求交集 (优质试题·全国卷Ⅰ)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( ) A.B. C.D. 本题用数形结合法. 答案 D 解析 易知A=(1,3),B=,∴A∩B=.故选D. 角度2 求并集 (优质试题·浙江模拟)已知集合P={x|-1 {x|0 A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2) 本题用数形结合法. 答案 A 解析 ∵P={x|-1 ∴P∪Q={x|-1 角度3 交、并、补的综合运算 (优质试题·广东七校联考)已知全集U=R,集合A={x|x2-2x>0},B={x|y=lg(x-1)},则(∁UA)∩B=( ) A.{x|x>2或x<0}B.{x|1 C.{x|1 本题用转化法、数形结合法. 答案 C 解析 解不等式x2-2x>0,即x(x-2)>0,得x<0或x>2,故A={x|x<0或x>2}.集合B是函数y=lg(x-1)的定义域,由x-1>0,解得x>1,所以B={x|x>1}.易知∁UA={x|0≤x≤2},所以(∁UA)∩B={x|0≤x≤2}∩{x|x>1}={x|1 方法技巧 1.集合的基本运算的求解策略 (1)求解思路一般是先化简集合,再根据交、并、补的定义求解.例如角度1典例. (2)求解原则一般是先算括号里面的,再按运算顺序求解. (3)求解思想一般是注重数形结合思想的运用,利用数轴、Venn图等.例如角度2,3典例. 2.参数求解策略 一般来讲,若集合中的元素是离散的,则用Venn图表示,根据画出的Venn图得到关于参数的一个或多个方程,求出参数后要验证是否与集合元素的互异性矛盾;若集合中的元素是连续的,则用数轴表示,根据数轴得到关于参数的不等式,解之得到参数的范围,此时要注意端点的情况.见冲关针对训练2. 冲关针对训练 1.(优质试题·天津高考)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=( ) A.{2}B.{1,2,4} C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5} 答案 B 解析 A∪B={1,2,4,6}.又C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B. 2.(优质试题·合肥质检二)已知集合A=[1,+∞),B={x∈R,若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是( ) A.[1,+∞)B. C.D.(1,+∞) 答案 A 解析 因为A∩B≠∅,所以解得a≥1,故选A. 3.(优质试题·唐山二模)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥3},图中阴影部分所表示的集合为( ) A.{1,2}B.{4,5}C.{1,2,3}D.{3,4,5} 答案 A 解析 图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中,但不在集合B中, 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(∁UB)∩A,又A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥3}, ∵∁UB={x|x<3},∴(∁UB)∩A={1,2}, 则图中阴影部分表示的集合是{1,2}.故选A. 题型4 集合中的创新问题 已知数集A={a1,a2,…,an}(1≤a1 对任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj与两数中至少有一个属于A,则称集合A为“权集”,则( ) A.{1,3,4}为“权集”B.{1,2,3,6}为“权集” C.“权集”中元素可以有0D.“权集”中一定有元素1 本题用排除法. 答案 B 解析 由于3×4与均不属于数集{1,3,4},故A不正确;由于1
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