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计数原理与二项式定理

高中新课程数学选修2-3教学指导

5．1计数原理（约14节）

一、知识要求及变化

1．整体定位

为了更好的把握计数原理的要求，首先需要明确整体定位。

标准对计数原理这部分内容的整体定位如下：

“计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际提供了思想和工具。

在本摸块中，学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题。

”

为了更好的理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题：

（1）正确地使用基本计数原理是这一章教学中必须抓住的一个关键。

（Ⅰ）两个基本计数原理是计数原理的开头课，学习它所需的先行知识与学生已熟知的数学知识联系很少，通常教师们或者感觉很简单，一带而过；或者感觉难以开头。

中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以分类加法计数和分步乘法计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本计数原理，因此必须使学生学会正确地使用两个基本计数原理，学会正确地使用基本计数原理是这一章教学中必须抓住的一个关键。

所以课程标准中特别提出“能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理，解决一些简单的实际问题。

”

（

）正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件。

而原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，这就需要教师引导学生，帮助他们分析，找到分类和分步的具体要求——类类互斥，步步独立。

（

）分类加法计数原理，分步乘法计数原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时必须做到既不重复，又不遗漏，找到分步的方法有时是比较困难的，这就要着重进行训练。

2．课程标准的要求。

（1）分类加法计数原理、理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步分步乘法计数原理

通过实例，总结分类加法计数原乘法计数原理，解决一些简单的实际问题。

（2）排列与组合

通过实例，理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。

（3）二项式定理

能用计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

3．课程标准要求的具体化和深广分析。

（1）如何认识“通过实例，总结分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理，解决一些简单的实际问题。

”的含义。

可以从以下两个方面来把握标准的要求：

第一，通过具体问题情境和实际事例，让学生不断感悟和总结两个基本计数原理，仅仅由教材中的几个实例是不够的，教师必须补充与之匹配的事例充实教材，这样学生才能更深刻地领悟两个基本计数原理。

第二，在理解具体问题时，着重分析题意，领悟题眼，用分类或者分步或两者都用，分类要做到“不重不漏”，分步要做到步骤完整，善于归纳用计数原理解决计数问题的方法，这样有利于充分利用两个基本计数原理解题。

（2）如何认识“通过实例，理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。

”

第一，运用大量实例，理解排列的特殊性与组合的特殊性。

排列的特殊性在于排列中元素的“互异性”和“有序性”，例如“从全班60名同学中选出4名同学，分别担任班长、学习委员、文艺委员、体育委员，”这就是一个排列问题。

可以由学生思考为什么这个问题有元素的“互异性”和“有序性”的特点。

与排列比较，组合的特殊性在于它只有元素的“互异性”而不需要考虑顺序，例如，上述问题如果改为“从全班60名同学中选出4名代表参加一项活动，”那么它就要变成一个组合问题了。

本质上，“从n个不同元素中取出k个元素的组合”就是这几个不同元素组成的集合的一个k元子集。

第二，排列数公式、组合数公式的推导是两个计数原理的一个应用过程，只有理解了排列、组合的概念，并会用两个计数原理解决实际问题，才能把排列数公式、组合数公式推导出来。

第三，在教学中注意通过大量实例运用排列数公式、组合数公式解决，但是组合数的性质只作一般性的探究，至于应用不作重点要求，更不研究排列数的性质，在数学中必须引起注意。

（3）如何认识“能用计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

”

第一，在推导二项式定理（a+b）n=

时，我们应用了两个计数原理，而这种应用也是基于我们多项式乘法中的经验：

每一项都是an-rbr（r=0，1，…，n）的形式，而用了两个计数原理来得到an-rbr的步骤，就可以得出其同类项的个数为Crn个的结论。

第二，结合“杨辉三角”和从函数的角度来分析二项式系数的一些性质（①对称性②增减性与最大值③各二项式系数的和），在探究以上性质的过程中，实际上是二项式定理的应用，在教学中列举实例，将二项式系数的性质充分应用。

例如：

运用“在（a+b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，并且二项式系数之和为2n，”可以解决问题。

例一、求C111+C311+…+C1111=？

例二、求证：

C0n+C2n+C4n+…+Cnn=2n-1

例三、求证：

C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn=n2n-1

4教学要求

（1）标准与大纲要求的对比与说明：

内容

《标准》目标表达

《大纲》目标表达

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

通过实例，总结分类加法计数原理、分步乘法计数原理，能根据具体问题的特征选择分类加法计数原理与分步乘法计数原理，解决一些简单的实际问题。

掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。

排列与组合

通过实例，理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。

（1）理解排列的意义，掌握排列数计数公式，并能用它解决一些简单的应用问题。

（2）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。

二项式定理

能用计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。

在具体内容上,标准与大纲有明显区别：

①在标准中这部分内容是选修内容,而且是对理科的要求,大纲中这部分内容要求为必修内容,而且文理科都要求。

②大纲中要求的两个“理解”、四个“掌握”、四个“并能用”；在标准中分别变为“通过实例总结”、“通过实力理解”、“能根据”、“能利用”、“会用”，并能利用基本计算原理“解决”、“推导”、“证明”,说明两个基本计数原理是本章的灵魂,并串穿于始终。

③与大纲比较,标准降低要求,不要求掌握和应用“组合数的两个性质”。

④大纲中的“分类计数原理”、“分步计数原理”，在标准中分别改为“分类加法计数原理”、“分步乘法计数原理”。

（2）教学要求

①课时减少,要求并没有降低.

这部分内容课程标准中要求课时的14节,与原大纲比较少了4节。

新课程课时虽然少了,但突出了以下几点：

打好的基础,发展能力,注重联系,强调整体；改变学生学习方式,淡化了严格执行课程计划的提法。

②突出实例,由学生主动总结两个基本计数原理。

在这部内容中，要通过大量具体实例,来帮助学生总结出分类加法计数原理,分步乘法计数原理,并能分析具体问题的特征,选择两个计数原理解决一些简单的实际问题。

③注重数学思想方法,介绍我国古代数学成就,丰富学生的数学文化。

当我们面临一个复杂问题时,通过分类或分步将它分解成为一些简单的问题,先解决简单问题，然后再将它们整合起来得到整个问题的解决,达到以简驭繁的效果,这是一种重要而基本的思想方法。

两个计数原理就是这种思想的体现。

教学中,应引导学生根据计数原理分析、处理问题,而不应机械地套用公式,同时,在这部分教学中,应避免烦琐的技巧性过高的计数问题。

另外，可以在二项式定理中介绍我国古代数学成就“杨辉三角”，以丰富学生的数学文化。

④注重知识的应用,掌握解决问题的过程。

两个基本计数原理贯穿于这部内容的始终,这也是计数原理的一个应用。

排列与组合是学习二项式定理、概率的预备知识，同时也是进一步学习高等数学有关分支的必备知识。

二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则。

它是初中代数乘法公式

=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3的推广。

二项式定理在数学学习中经常用到，例如概率、微积分等有关内容的学习都要用到二项式定理，因此，二项式定理在实际运算和以后的学习中都是常用的基础知识。

另外注意，课程标准对组合数的两个性质不做要求，即如何证明性质1：

=

，性质2：

+

=

以及它们的应用都不作要求。

教材中二项式定理的应用——近似计算未作明确要求。

二、重点和难点

1.重、难点分析

（1）本章的重点是分类加法计数原理和分步乘法计数原理，排列和组合的意义，以及排列数、组合数计算公式，二项式定理。

（2）本章的主要难点是如何正确运用有关公式解决应用问题。

在解决问题时，由于对问题本身和有关公式的理解不够准确，常常发生重复和遗漏计算、用错公式的情况。

为了突破这一难点，教学中应强调一些容易混淆的概念之间的联系与区别，强调运用各个公式的前提条件，并对学生计算中出现的一些典型错误进行认真剖析。

2.重、难点教学案例

课堂教学片段案例

（一）

二项式定理

目的要求

1、掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式

2、会利用二项展开式及通项公式解有关问题

内容分析

1、本节课主要内容实际上是初中学习的多项式乘法的基础上研究一种特殊的多项式——二项式乘法的展开式。

这一小节与不少内容都有密切联系，特别是它在本章学习中起着承上启下的作用。

学习本小节的意义主要在于：

①二项式定理与概率论中的三大概率分布之一的二项分布有其内在联系，也是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识。

②由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可以得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识。

③基于二项展开式与多项式乘法的联系，本小节的学习又对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用。

④二项式定理是解决某些整除性等问题的一种方法。

2、本小节的前半段是在具体的例子基础上归纳出二项式定理，提出二项式定理是从学生熟悉的（a+b）2公式入手的，接着考虑（a+b）3的展开式，虽然它在初中并未作为公式提出，但运用整式的乘法则容易写出其展开式，再进一步研究（a+b）4的展开式，这是归纳得出二项式定理的关键一步。

3、二项式定理的推导和理解是本节课的重点。

用心体会一番下面给出的引出定理的思维过程将是很有益处的。

因为它对学生掌握知识内容、学习思想方法、了解创造的过程都极有利。

定理大致是按“设想”→“突破”→“论证”三个层次得到的。

第一层，设想，把（a+b）2、（a+b）3并列排在一起，从而刺激人们去探讨（a+b）的其他的情况，再进一步则产生了去探讨（a+b）n的情况的设想。

第二层，突破，突破是由于追究了（a+b）4展开式的各项系数的来源，才得以实现的。

为什么要从追究来源处解决？

那是因为直接观察（a+b）2、（a+b）3等的展开式，要想从中发现如二项式定理中所表现的系数规律是很困难的，造成困难的原因是其各项系数已是经过计算而得出的结果，这种被加工的结果掩盖了它们各自的来源，直接观察数字系数不行，于是转而追究系数的来源，经过努力，借助于组合的思想、组合的符号，终于找到了规律。

在找规律的时候，采取解剖（a+b）4这一典型的方法，这无疑是一次数学中的试验。

人们常有一种偏见，似乎一提试验就是物理、化学的事。

其实不然，数学中也有大量运用试验，只是有时运用得不自觉而已。

希望同学们在今后学习和解决数学问题时，能自觉运用这一方法。

我们在研究（a+b）4展开式的系数时，可以抓一项做为试验的典型，从中悟出道理，再以此为指导去认识其它知识。

通过解剖（a+b）4摸索出规律，实现了突破，即找到了

（a+b）n=

第三层，证明，上面的结论是分析了少数特例以后立即对任何一般而得到的。

也就是说，上述结论是用不完全归纳法得到的，因此，其正确性还有待于证明，因为我们的教科书对这个定理的证明不做要求，所以在此就不做更深层的研究。

4、二项展开式的通项。

研究通项这种找代表、抓典型的方法是值得学习的。

我们知道，二项展开式的第r+1项

具有代表性、典型性，所以称为通项。

叫通项公式。

学习时要注意抓住通项公式的结构特征。

课堂教学片段案例

（二）

排列应用问题

一、教学目标

1、理解排列的意义，掌握排列数的计数公式，并能灵活运用排列知识来解决排队、排数问题。

2、培养学生对数学概念的理解能力和对公式、原理的应用能力。

二、教学重点与难点

重点是排列应用问题

难点是排列应用问题

三、教学情况设计

（一）设计情境，复习回顾

1、分类计数原理和分步计数原理

2、排列、排列数的概念及排列数公式是什么？

3、解排列应用问题的注意点

（1）认真审题。

根据题意分析它属什么数学问题？

题目中的事件是什么？

有没有限制条件？

通过怎样的程序来完成这个事件？

用什么计算方法？

（2）弄清问题的限制条件。

注意研究问题，确定特定元素和特殊的位置。

考虑问题的原则是特殊元素、特殊位置优先，必要时可通过试验、画图、小数字简化等手段帮助思考。

（3）恰当分类，合理分步

4、解排列应用问题的基本思路和常用方法：

（1）基本思路

①直接法，即从条件出发，直接考虑符合条件的排列数。

②间接法，即先不考虑限制条件，求出所有排列数，然后再从中减去不符合条件的排列数。

（2）常用方法：

特殊元素、特殊位置分析法、排除法、对称分析法、捆绑法、插空法、构造法等等。

（二）典型例题分析

例1.

（1）现有5名男生、4名女生排成一行，则共有多少种不同的排法？

（2）男生、女生各自排在一起，则共有多少种不同的排法？

（3）女生排在一起，则共有多少种不同的排法？

（4）女生不相邻，则共有多少种不同的排法？

（5）男女相间排列，则共有多少种不同的排法？

（6）某甲在排头，则共有多少种不同的排法？

（7）某甲在排头，某乙在排尾，则共有多少种不同的排法？

（8）某甲不在排头，某乙不在排尾，则共有多少种不同的排法？

（9）某甲不在排头，也不在排尾，则共有多少种不同的排法？

（10）其中，甲、乙、丙三人顺序一定，则共有多少种不同的排法？

（11）其中男生顺序一定，女生顺序一定，则共有多少种不同的排法？

（12）排两排，前排4人，后排5人，则共有多少种不同的排法？

（13）排两排，前排4人，后排5人，甲在前排，乙、丙在后排，则共有多少种不同的排法？

（本题请学生先自己分析，然后与后面的结果进行查对，只要求列出算式）

例2.用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成多少没有重复数字的

（1）四位数？

（2）自然数？

（3）能被5整除的四位数？

（4）四位奇数？

（5）大于40000的自然数？

（6）大于4000的自然数？

（7）在3000与4000之间的偶数？

（8）3不在百位，5不在个位的五位数？

（9）偶数数字和奇数数字相间排列的五位数？

（10）偶数数字在偶数位上的五位数？

（11）所有四位数的个位数上数字之和？

（12）所有四位数之和？

（三）总结反思

1、本节学习的数学知识

2、本节学习的数学方法

（四）排难解惑

1、

（1）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整数？

（2）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13000大的正整数？

2、用0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复数字的

（1）五位数

（2）六位偶数

（3）能被25整除的四位数

（4）大于201345的自然数

3、某地开展赈灾福利彩票销售有奖活动，号码从000001到999999，购买时揭号兑奖，若规定从个位起，第一、三、五位是不同的奇数，第二、四、六位均为偶数（可以相同）时为中奖号码，求中奖面所占的百分比（精确到0.01%）

5．2统计案例

一，知识要求及变化

1，整体定位

课程标准对统计案例的整体定义如下：

学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。

为了更好的理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题：

（1）通过对典型案例的讨论，了解回归分析的基本思路、方法及其初步应用。

回归分析是对其有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。

教学中应该通过生活中详实事例理解回归分析的方法，其步骤为通过散点图，直观地了解两个变量的关系，然后，通过最小二乘法建立回归模型，最后通过分析残差，相关指数等，评价模型的好坏。

重点是了解回归分析的思想方法，对其理论基础不做要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。

（2）通过对典型案例的分析，了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用。

教学中应用实例分析总结得出独立性检验的意义，并且认真体会独立性检验的基本思路类似于反证法，会用类比的思想方法得出独立性检验的基本步骤。

重点是了解独立性检验的思想方法，对其理论基础不做要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。

另外，通过以上两种思想方法学习，让学生有真正对统计思维和确定思维差异的理解。

（3）回归分析和独立性检验两种思想方法的学习重在使用。

这部分内容是《必修3》统计内容的深化，反映了对已学知识的螺旋式上升的认识过程，也充分体现两种思想应用价值，在应用中不断提高对两种思想方法的认识。

2，课程标准的要求

通过典型案例，学习下列一些常用的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。

1通过对典型案例（如“患肺癌与吸烟有关吗”等）的探究。

了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。

2通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，了解回归的基本思想、方法及其初步应用。

3，课程标准要求的具体化和深广度分析。

（1）如何认识回归分析的基本思想。

在必修课程《数学3》的基础上，我们进一步研究两个变量的关系。

由实例，通过散点图直观地了解两个变量的关系，然后通过最小二乘法建立回归模型，最后通过分析残差，相关指数等，评价模型的好坏。

如果模型比较好地刻画了两个变量的关系，对自变量的某个值，就可以通过模型预测相应固变量的值。

例如：

在教学中解决如下三个问题，就能加深认识回归分析的思路：

①在两个变量的回归分析中做散点图的目的是什么？

②在回归分析中，分析残差能够帮助我们解决哪些问题？

③如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上，请回答下列问题：

a，解释变量和预报变量的关系是什么？

残差平方和是什么？

b，解释变量和预报变量之间的相关系数是多少？

例如：

收集本班某一学期的期中和期末数学考试成绩，二者之间可以用线性模型来描述吗？

如果可以，请问，期中成绩能够在多大程度上解释期末的成绩？

进一步地发现数据中的异常点，分析其形成的原因。

（2）如何认识独立性检验的基本思想

具体实例中，例如研制出一种新药，需要判断此药是否有效？

再比如有人怀疑吸烟的人更容易患肺癌，那么吸烟是否与患肺癌有关呢？

在对类似的问题作出推断时，我们不能仅凭主观意愿作出结论。

需要通过试验来收集数据，并依靠独立性检验的原理作出合理的推断。

教学中避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。

4教学要求

（1）标准与大纲要求的对比与说明：

内容

《标准》目标表达

《大纲》目标表达

回归分析的基本思想及其初步应用

通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，了解回归的基本思想、方法及其初步应用。

了解线性回归的方法和简单应用。

独立性检验的基本思想及其初步应用

通过对典型案例（如“患肺癌与吸烟有关吗”等）的探究。

了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。

在具体内容上,标准与大纲有明显区别：

1从知识要求上来看标准要求较大纲高一些，标准要求了解回归分析和独立性检验的两种基本思想，并强调通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”、“患肺癌与吸烟有关吗”等等）的探究，加深对两种基本思想的认识。

2大纲中只要求“了解线性回归的方法和简单应用”，并未提出加深对回归的基本思想的了解或认识，要求比较肤浅。

（2）教学要求

①这部分内容约4节课时。

②统计案例的教学中，应鼓励学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法和特点（如统计推断可能犯错误，估计结果的随机性），体会统计方法应用的广泛性，以丰富学生对数学文化价值的认识。

对于统计案例内容，只要求学生了解几种统计方法的基本思想及其初步应用，对于其理论基础不做要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。

应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合教学建摸的活动，选择一个案例，要求学生亲自实践。

③教学中，应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，有条件的学校还可运用一些常用的统计软件解决实际问题。

二、重点和难点

1.重、难点分析

（1）、在“正态分布”这一节中，根据新课标的要求：

要认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义，因此本节的教学重点是正态分布的意义和正态曲线的性质，难点是要结合指数函数的性质来理解这些性质。

突破难点的关键是把指数函数的性质与正态曲线图形结合起来，并配合多媒体手段以增强直观性。

（2）、在“统计案例”这一章中，教学重点是回归分析的基本思想和独立性检验的基本思想，难点是：

掌握建立回归模型的基本步骤和利用随机变量K2来确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度（类似于反证法）。

突破难点的关键是建立线性回归模型和列出2×2列联表求随机变量K2，并配合多媒体手段以增强其直观性。

2.重、难点教学案例

案例：

相关关系与回归分析的概念的教学片段

一、导入新课

教师提出问题,引发学生讨论.

问题1.我们知道,函数的两个变量x,y有着确定的关系,但是不是两个变量之间的关系都是确定的呢?

譬如,一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系,它们是否有必然而确定的关系呢?

问题2.在7块并排、形状大小相同的试验田上，进行施化肥量对水稻产量影响的试验,得到如表1所示的一组数据（单位:

kg）.

施化肥量x

15

20

25

30

35

40

45

水稻产量y

350

345

365

405

445

450

455

①你能据此找出x,y的关系式吗?

②如果施化肥量为38kg,其他情况不变,请预测水稻的产量.

二.讲授新课

教师打出字幕,介绍相关关系等概念,并举例说明.然后,组织学生进行分组讨论研讨、交流,对有疑难的地方进行适当的点拨和启发.

要解决上述问题,必须引进以下几个概念

（一）概念

相关关系——自变量取值一定时,因变量的取值带有一定的随机性,则这两个变量之间的关系就叫做相关关系.

例如,上述问题中,由于水稻产量不仅受到施肥量的影响,还要受到气候、浇水、除虫等不确定因素影响,也就是说,当施肥量一定时,水稻产量在取值上带有一定的随机性,因而这两者的关系便属于相关关系.它与函数关系不同,它是一种非确定关系.这就是问题1的答案.

问题:

相关关系与函数关系有什么相同和不同的地方?

答:

相同点是二者均是变量的关系;不同点是:

函数关系