计算部分上无答案.docx
- 文档编号:10519844
- 上传时间:2023-02-17
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:43.34KB
计算部分上无答案.docx
《计算部分上无答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《计算部分上无答案.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
计算部分上无答案
第一章速算与巧算
在我们日常生活和学习中,时刻离不开数字计算。
在数学中,更离不开计算了。
可以说,计算是数学的地基,计算是数学的大门。
怎样计算的又正确又迅速,在方法上既合理又灵活呢?
学习速算巧算是很有必要的。
一、加法中的巧算
1、利用补数巧算
<1>.什么叫“补数”?
两个数相加,若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…,就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。
如:
1+9=10,3+7=10,
2+8=10,4+6=10,
5+5=10。
又如:
11+89=100,33+67=100,
22+78=100,44+56=100,
55+45=100。
…
在上面算式中,1叫的“补数”;89叫11的“补数”,11也叫89的“补数”,也就是说两个数互为“补数”
对于一个较大的数,如何能很快地算出它的“补数”来呢?
一般来说,可以这样“凑”数:
从高位凑起,使各位数字相加得9,到最后个位数字相加得10。
如:
87655123454680253198
8736212638…
下面讲利用“补数”巧算加法,通常称为“凑整法”。
<2>.互补数先加。
例1巧算下面各题:
(1)36+87+64
(2)99+136+101
(3)1361+972+639+28
例2巧算下列各题:
(1)188+873
(2)548+996(3)9898+203
2、利用技巧巧算
✧加法交换律两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变。
一般的,有a+b=b+a
✧加法结合律三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,再同第一个数相加,它们的和不变。
一般的,有a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)。
这里应注意:
如果推广到多个数相加,任意交换加数的位置,它们的和不变;或者先把其中的几个数结合成一组相加,再把所得的和同其余的数相加,它们的和不变。
把加法的交换律和结合律结合起来使用,先把加在一起是整十、整百、整千、…的加数加起来,然后再与其他数相加,可进行巧算。
例1巧算下列各题:
(1)32+81+23+19+68
(2)(24+37+15)+(16+45+13)
高斯求和
1+2+3+4+…+99+100的和是多少?
这是德国大数学家高斯(Gauss,1777~1855)读小学时,他的教师在一次课上为全班同学出的一道题。
老师刚把题目说完,小高斯已迅速、准确地说出了答案5050。
其他同学大为震惊,他做加法的速度怎么这样快!
原来是算法问题,其他同学是按题目给出的数的顺序逐个做加法,而高斯是这样算的:
它运用加法交换律和结合律,把1,2,3,4,…,99,100这一串数按正反两个顺序排成两行,即
1,2,3,4,…,99,100
100,99,98,97,…,2,1
分别将上下对应的两个数相加,它们的和是相等的,都是101,于是原式的和就等于
(100+1)×100÷2=5050
高斯求和的方法给后人以很多启示,其主要方面是用一次乘法取代多次加法,为了施行乘法,要配置一些数,随之增加的运算应是十分简单的,比如此题中的除以2。
这样一来运算过程大大缩短了,速度也就快了。
按照高斯的想法可以考虑12+22+32+42+…+992+1002的和。
先将任意一个k2改写成k+k+…+k,那么原式就是下面这样一个三角
阵中各数的和。
1
22
333
4444
9999……9999
100100……100100
三角阵共100行,第k行由k个k组成。
接下来为这个三角阵配上两个三角阵,它们分别由原三角阵整体旋转得到,即
100100
9910010099
9999
44
3443
2349910010099432
123499100100994321
如果不考虑三角阵每个位置上的数,这三个三角阵的结构是完全一样的。
把这三个三角阵对应位置的数相加,可见,每个位置上三个数的和都相等,它们的值都是201。
而三角阵中共有1+2+3+4+…+99+100个数的位置,于是三个三角阵的所有数的和等于
(2×100+1)×(1+2+3+4+…+99+100)=201×5050
每个三角阵的所有数的和是201×5050÷3=338350,
即12+22+32+42+…+992+1002=338350。
一般地,对于任意自然数n,有
12+22+32+42+(n-1)2+n2=
这个结果的产生同高斯求1+2+3+4+…+99+100的和的方法一模一样。
一个是配一行顺序相反的数,即将原数列头转到尾,另一个是配两个三角阵,将原三角阵旋转120º,再旋转120º,也就把原三角阵的“第一个”顶转到“最后一个”顶。
其结果是每一对应位置上的数的和都相等,也就把很多次加法运算换作很少次的乘法运算。
效果是明显的。
(a)(b)
据以上讨论,可知,1+2+3+4+…+99+100的和也可以通过算三角阵的位置的个数得到。
因此,从中得到一种想法,能不能通过一些容易计算点数的点阵来计算出一些数串的和呢?
在探索中,一些结论得出了。
为计算1+3+5+7+…+(2n-1),构造一个n×n的方阵,这个方阵中的点的个数为n2,再换一个角度观察方阵,如上图(a),方阵中的点被分成n个“╝”部分,它们当中的点数分别为1,3,5,7,…,2n-1个,于是
1+3+5+7+…+(2n-1)=n2
同样道理可以计算2+4+6+8+…+2n,只须构造方阵如上图(b),立刻得到
2+4+6+8+…+2n=n(n+1)
构造点阵来计算和式的好处是直观、快速,而且能够建立一些和式之间的关系。
如果设Tn为n行三角阵的点的个数,Sn表示n行方阵的点的人数,则下述关系可从构图中发现
Tn-1+Tn=Sn=n2
4Tn+1=Sn+Sn+1=2n2+2n+1
8Tn+1=S2n+1
德国有一位世界著名的数学家叫高斯(公元1777年—1855年)。
他上小学的时候,老师出了一个题目,1+2+…+99+100=?
小高斯看了看,又想了想,很快说出结果是5050。
同学们,你们知道他是怎么算出来的吗?
原来小高斯在认真审题的基础上,根据题目的特点,发现了这样的关系:
1+100=101,2+99=101,…,50+51=101。
一共有多少个101呢?
100个数,每两个数是一对,共有50个101。
所以
1+2+3+…+98+99+100
=
=101×50
即(100+1)×(100÷2)=101×50=5050
像高斯的老师所出的题目那样,按一定次序排列的一列数叫做数列。
数列中的数称为项,第一个数叫第一项,又叫首项;第二个数叫第二项;……,最后一个数叫末项。
如果一个数列从第二项开始,第一项与它前一项的差都相等,就称这个数列为等差数列。
后项与前项的差叫做这个数列的公差。
如:
1,2,3,4,…是等差数列,公差为1;
2,4,6,8,…是等差数列,公差为2;
5,10,15,20,…是等差数列,公差为5。
由高斯的巧算可知:
1+2+3+…+98+99+100
=(1+100)×(100÷2)
即(1+100)×(100÷2),可得出这样的公式:
总和=(首项+末项)×项数÷2
这样,由于高斯发现了巧算的方法,所以他最先得出了正确的答案。
因此,同学们要想算得正确、迅速,方法合理、灵活,不仅要掌握数与运算的定律、性质,而且要善于观察,认真审题,注意发现题目的特点。
例计算下列各题:
(1)2+4+6+…+96+98+100;
(2)2+5+8+…+23+26+29。
习题:
(1)3+4+5+…+99+100
(2)4+8+12+…+32+36
(3)65+63+61+…+5+3+1
(4)求下列数据的平均数:
199,202,195,201,196,201
磁铁定理
人们称495是三位数中一个怪数,说它像磁铁:
任意一个数字不全相同的三位数,按照一定的减来减去,最多不超过6次运算,都会被它“吸引”过去——变成495!
信不信由你,它真的这么怪。
给定一个三位数,例如784。
把这个数中的各位数字(7、8、4),按照从大到小的顺序重新排列,得到874。
显然,它是用7、8、4组成的所有三位数中最大的一个数。
同样,可以排成最小的:
478。
“最大数”和“最小数”相减,有
874
-478
396
继续对差数396作同样运算,又有
963
-369
594
再对所得的结果作同样的运算,于是
954
-459
495
至此,如果按照上面的规律继续算下去,结果总是495——出现了一个不变的常数495。
这是自然数王国的又一件怪事!
其他多位数中是不是也有这样的怪数呢?
除了495外,四位数中也有类似的怪数6174。
请看下面的例子:
87308532
-0378-2358
83526174
人们将6174称为“磁铁数”。
把这个事实称为“磁铁数定理”。
二、减法中的巧算
1、利用补数巧算
<1>把几个互为“补数”的减数先加起来,再从被减数中减去。
例1
(1)300—73—27
(2)1000—90—80—20—10
例2
(1)4723—(723+189)
(2)2356—159—256
例3
(1)506—397
(2)323—189
(3)467+997(4)987—178—222—390
2、利用技巧巧算
〈1〉减法的性质
✧一个数减去几个数的和,等于从这个数里依次减去和中的每个加数。
一般的,有a-(b+c+d)=a-b-c-d
反之,一个数连续减去几个数,等于从这个数里减去这几个数的和。
一般的,有a-b-c-d=a-(b+c+d)
✧一个数减去两个数的差,等于从这个数中减去差里的被减数(在能减的情况下),再加上差里的减数;或者先加上差里的减数,再减去差里的被减数。
一般的,有(a+b+c)-d=(a-d)+b+c
=a+(b-d)+c
=a+b+(c-d)
为了帮助同学们记忆,我们可以简要地概括如下:
第一,在边减或加、减混合运算中,如果算式中没有括号,计算时可以带着符号“搬家”。
一般的,有a-b-c=a-c-b
a-b+c=a+c-b
第二,在加、减混合运算中,如果括号的前面是“-”号,那么,去掉括号时,括号内的减号变加号,加号变减号;如果括号的前面是“+”号,那么,去掉括号时,括号内的符号不变,一般把这种做法叫做同级运算去括号的性质。
一般的,有a-(b+c)=a-b-c
a-(b-c)=a-b+c
a+(b+c)=a+b+c
a+(b-c)=a+b-c
例1巧算下列各题:
(1)5283+1396-283
(2)4325-1347-325
(3)4328-(328+497)(4)8495-(495-287)
(5)1825+(175+348)(6)576+(432-176)
(7)1242-396(8)1243+998
例2计算4000-5-10-15-…-95-100
例3计算:
83+82+78+79+80+81+78+79+77+84。
练习
1.巧算下列各题:
(1)42+71+24+29+58
(2)43+(38+45)+(55+62+57)
(3)698+784+158
(4)3993+2996+7994+135
(5)4356+1287-356
(6)526-73-27-26
(7)4253-(253-158)
(8)1457-(185+457)
(9)389-497+234
(10)698-154+269+787
(11)729+154+271
(12)7999+785+215
(13)8376+2538+7462+1624
(14)997+95+548
(15)5000-2-4-6-…-98-100
(16)103+99+103+96+105+102+98+98+101+102
3.用简便方法计算下列各题:
(1)516-56-44-16
(2)8216-6734+2734
(3)5723-(723-189)(4)2356-(356+187)
(5)723-800+277(6)576+(257-176)
(7)756+478-156(8)526-189-126
三加减法混合式中的巧算
同学们,你们一定希望自己在计算时算得又正确又迅速,方法上既合理又灵活,那么怎样才能做到这些呢?
首先,要熟练地掌握计算法则和运算顺序,其次,要了解题目的特点,选用合理、灵活的计算方法。
下面我们将重点学习巧算的方法。
1.去括号和添括号的法则
在只有加减运算的算式里,如果括号前面是“+”号,则不论去掉括号或添上括号,括号号里面的运算符号都不变;如果括号前面是“—”号,则不论去掉括号或添上括号,括号里面的运算符号都要改变,“+”变“—”,“—”变“+”,即:
a+(b+c+d)=a+b+c+d
a-(b+c+d)=a-b-c-d
a-(b-c)=a-b+c
例1
(1)100+(10+20+30)
(2)100—(10+20+30)
(3)100—(30—10)
例2计算下面各题:
(1)100+10+20+30
(2)100—10—20—30
(3)100—30+10
例3计算325+46—125+54
例4计算9+2—9+3
例5计算78+76+83+82+77+80+79+85
练习
一、直接写出计算结果:
(1)1000-547
(2)100000-85426
(3)11111111110000000000-1111111111
(4)78053000000-78053
二、用简便方法求和:
(1)536+(541+464)+459
(2)588+264+148
(3)8996+3458+7546
(4)567+558+562+555+563
三、用简便方法求差:
(1)1870-280-520
(2)4995-(995-480)
(3)4250-294+94(4)1272-995
四、用简便方法计算下列各题:
(1)478-128+122-72
(2)464-545+99+345
(3)537-(543-163)-57
(4)947+(372-447)-572
五、巧算下列各题:
(1)996+599-402
(2)7443+2485+567+245
(3)2000-1347-253+1593
(4)3675-(11+13+15+17+19)
(5)958-596(6)1543+498
为数学而献身
古代,女数学家真是凤毛麟角。
正如有人评说:
“她们比女皇还少”。
西罗马帝国的海帕西娅(约370—415)是数学史上最早出现的女数学家。
小海帕西娅天资聪颖,勤奋好学,在10岁的时候,她就知道利用相似三角形对应边成比例的原理去测量金字塔的高度。
在大约20岁的时候,海帕西娅辞别亲人到希腊雅典求学。
没去之前,她的名声已传到雅典,到达雅典之后,许多名流学者纷纷登门拜访,和她讨论问题,雅典的学者们都称她为“大数学家”。
海帕西娅从雅典学成回乡后,教授数学和哲学。
由于她学识渊博,循循善诱县城擅长辩论,当时被人誉为“圣人”。
公元391年,昏聩的罗马皇帝下令禁止一切异教,不准学习数学等自然科学。
残酷的专制像磨盘一样压在人们的头顶,使一些人退缩了。
然而海帕西娅去继续研究数学。
宣传科学知识。
公元415年3月,一天,在海帕西娅坐着马车到研究院讲课的途中,一群宗教狂徒跟踪而至。
他们揪她打她,朝她吼道:
“你不放弃数学,我们就打死你!
”海帕西娅摇摇头。
暴徒们又给她一顿拳打脚踢,并在街头燃起一堆大火,威胁她,说:
“你要数学,还是要命?
”“数学!
”海帕西娅崭钉截铁地说。
暴徒们残忍地把她投入了熊熊大火。
海帕西娅为了心爱的数学而献出了宝贵的生命。
第四章乘除法巧算
在进行加法、减法、连加、连减或加减混合运算时,可利用加法的运算定律或连减及加减混合运算的性质进行简便运算。
而乘、除法更有着一些巧妙的简便的运算方法,下面就让我们来学习有关的运算定律及运算性质。
1、乘法的巧算
乘法的运算律
乘法交换律:
两个数相乘,交换两个数的位置,其积不变。
即
a×b=b×a
其中,a,b为任意数。
例如,35×120=120×35=4200
乘法结合律:
三个数相乘,可以先把前两个数相乘后,再与后一个数相乘,或先把后两个数相乘后,再与前一个数相乘,积不变。
即
a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)
注意:
(1)这两个运算律中数的个数可以推广到更多个情形。
即多个数连乘中,可以任意交换其中各数的位置,积不变;多个数连乘中,可以任意先把几个数结合起来相乘后,再与其它数相乘,积不变。
(2)这两个运算律常一起并用。
例如,并用的结果有
a×b×c=b×(a×c)
例1计算下列各题:
(1)17×4×25;
(2)125×19×8;
(3)125×72;(4)25×125×16。
例2计算下列各题:
(1)125×(40+8);
(2)(100-4)×25;
(3)2004×25;(4)125×792。
例3
(1)243×4
(2)3216×4
例46×5,16×5,116×5。
例5222×11,2456×11
例624×1598×15
例7从10到20之间的两位数相乘(十几×十几)
例8
(1)62×68
(2)81×89
例9
(1)72×32
(2)68×48
例10
(1)43×25×4
(2)125×(9×8)
例11
(1)9×37+9×63
(2)102×43
(3)65×99+65(4)125×798
练习速算与巧算下面各题:
(1)321×4
(2)1862×4(3)3696÷4
(4)488÷4(5)14×5(6)114×5
(7)3728×11(8)1295×11(9)19×17
(10)16×18(11)15×14(12)18×13
(13)12×19(14)72×15(15)36×15
(16)78×72(17)84×86(18)65×65
(19)73×77(20)29×21(21)72×32
(22)62×42(23)19×99(24)53×53
(25)31×71(26)78+46+154
(27)85+41+15+59(28)235+49+65+24+11
(29)1200-298(30)503+398
(31)301×28(32)72+66+75+63+69
(33)1999+1998+1997+1996-1995-1994-1993-1992+1991+1990+1989+1988-1987-1986-1985-1984+…+7+6+5+4-3-2-1
2、除法的巧算
1.除法的运算律和性质
(1)商不变性质:
被除数和除数乘(或除)以同一个非零数,其商不变。
即:
a÷b=(a×n)÷(b×n)(n≠0)
=(a÷m)÷(b÷m)(m≠0)
例1计算:
①425÷25;②3640÷70。
例2
(1)464÷4
(2)856÷4
例3计算下列各题:
(1)(182+325)÷13;
(2)(2046-1059-735)÷3;
(3)775÷25;(4)2275÷13÷5。
3、乘、除法混合巧算
✧乘、除法混合运算的性质
(1)在乘、除混合运算中,被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。
例如,
a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a
(2)在乘、除混合运算中,去掉或添加括号的规则及去括号情形:
括号前是“×”时,去括号后,括号内的乘、除符号不变。
即
a×(b×c)=a×b×c,
a×(b÷c)=a×b÷c。
括号前是“÷”时,去括号后,括号内的“×”变为“÷”“÷”变化“×”。
即
a÷(b×c)=a÷b÷c
a÷(b÷c)=a÷b×c
✧添加括号情形:
加括号时,括号前是“×”时,原符号不变;括号前是“÷”时,原符号“×”变为“÷”,“÷”变为“×”。
即
a×b×c=a×(b×c)
a×b÷c=a×(b÷c)
a÷b÷c=a÷(b×c)
a÷b×c=a÷(b÷c)
(3)两个数之积除以两个数之积,可以分别相除后再相乘。
即
(a×b)÷(c×d)
=(a÷c)×(b÷d)
=(a÷d)×(b÷c)
上面的三个性质都可以推广到多个数的情形。
例计算下列各题:
(1)136×5÷8
(2)4032÷(8×9)
(3)125×(16÷10)(4)2560÷(10÷4)
(5)2460÷5÷2(6)527×15÷5
(7)(54×24)÷(9×4)
练习
1.简算下列各题:
(1)125×25×50×2×8×4
(2)568×123-45×568-568×53
(3)(10000-1000-100-10)÷10
(4)(20+22+24+26+28+30)÷5
2.巧算下列各题:
(1)25÷4+75÷4
(2)8÷7+9÷7+11÷7
(3)17÷8+19÷8+20÷8
(4)(12+24+36+48)÷6
(5)21÷9+22÷9+23÷9+24÷9
3.简算下列各题:
(1)45000÷(25×90)
(2)56000÷(14000÷16)
(3)2550÷17÷25
(4)37500÷4÷25
4.下面各题怎么简便就怎么算:
(1)125×56
(2)25×64×125
(3)9600÷25÷4(4)2222×728÷182
(5)401×467(6)1200÷25
5.在下列各题的计算中请自觉运用简便方法:
(1)24÷3×4×(73+52)×(42-17)
(2)25+(73-48)+200÷8×98
(3)(46+56)×(172÷4)+14
6.速算下列各题:
(1)97×96
(2)95×93(3)98×97
(4)99×92(5)88×89(6)95×85
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 计算 部分 答案