中考数学必考几何模型角平分线四大模型.docx
- 文档编号:10518436
- 上传时间:2023-02-17
- 格式:DOCX
- 页数:11
- 大小:182.50KB
中考数学必考几何模型角平分线四大模型.docx
《中考数学必考几何模型角平分线四大模型.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学必考几何模型角平分线四大模型.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
中考数学必考几何模型角平分线四大模型
角平分线四大模型
模型1角平分线的点向两边作垂线
如图,P是∠MON的平分线上一点,过点P作PA⊥OM于点A,
模型分析利用角平分线的性质:
角平分线上的点到角两边的距离相等,构造模型,为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件,进而可以快速找到解题的突破口
模型实例
(1)如图①,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=6,BD=4,那么点D到直线AB的距离是
解答:
如图,过点D作DE⊥AB于点E,∵AD平分∠CAB,∴CD=DE.
∵CB=6,BD=4,∴DE=CD=2,即点D到直线AB的距离是2.
2)如图②,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
AP平分∠BAC
证明:
如图,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,
∵∠1=∠2,∴PD=PE,∵∠3=∠4,∴PE=PF,∴PD=PF
又∵PD⊥AB,PF⊥AC,∴AP平分∠BAC(角平分线的判定)
练习
1、如图,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC,
求证:
∠BAD+∠BCD=180°
证明:
作DE⊥BC于E,作DF⊥BA的延长线于F,∴∠F=∠DEC=90°,∵BD平分∠ABC,∴DF=DE,又∵AD=DC,∴△DFA≌DEC,∴∠FAD=∠C∵∠FAD+∠BAD=180°,∴∠BAD+∠BCD=180°
2.如图,△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P,若∠BPC=40°,则∠CAP=.
解答:
如图所示,作PN⊥BD于N,作PF⊥BA,交BA延长线于F,作PM⊥AC于M∵BP、CP分别是∠CBA和∠DCA的角平分线,∴∠ABP=∠CBP,∠DCP=∠ACP,PF=PN=PM,∵∠BAC=∠ACD-∠ABC,∠BPC=∠PCD-∠PBC(外角性质)∴∠BAC=2∠PCD-2∠PBC=2(∠PCD-∠PBC)=2∠BPC=80°
∴∠CAF=180°-∠BAC=100°,∵PF=PM
∴AP是∠FAC的角平分线,∴∠CAP=∠PAF=50°
模型2截取构造对称全等
如图,P是∠MON的平分线上的一点,点A是射线OM上任意一点,在ON上截取OB=OA,连接
PB,则△OPB≌△OPA
模型分析利用角平分线图形的对称性,在铁的两边构造对称全等三角形,可以得到对应边,对应角相等,利用对称性把一些线段或角进行转移,这是经常使用的一种解题技巧
模型实例
(1)如图①所示,在△ABC中,AD是△BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由
解题:
PB+PC>AB+AC
证明:
在BA的延长线上取点E,使AE=AB,连接PE,∵AD平分∠CAE
∴∠CAD=∠EAD,在△AEP与△ACP中,∵AE=AB,∠CAD=∠EAD,
AP=AP,∴△AEP≌△ACP(SAS),∴PE=PC
∵在△PBE中:
PB+PE>BE,BE=AB+AE=AB+AC,∴PB+PC>AB+AC
(2)如图②所示,AD是△ABC的内角平分线,其它条件不变,试比较PC-PB与AC-AB的大
小,并说明理由
解答:
AC-AB>PC-PB
证明:
在△ABC中,在AC上取一点E,使AE=AB,∴AC-AE=AB-AC=BE∵AD平分∠BAC,∴∠EAP=∠BAP,在△AEP和△ACP中
∴△AEP≌△ABP(SAS),∴PE=PB,∵在△CPE中
CE>CP-PE,∴AC-AB>PC-PB
练习
1.已知,在△ABC中,∠A=2∠B,CD是∠ACB的平分线,AC=16,AD=8,求线段BC的长
解:
如图在BC边上截取CE=AC,连结DE,在△ACD和△ECD中
ACEC
ACDECD
CDCD
∴△ACD≌△ECD(SAS)
∴AD=DE,∠A=∠1,∵∠A=2∠B,∴∠1=2∠B,
∵∠1=∠B+∠EDB,∴∠B=∠EDB,
∴EBB=ED,∴EB=DA=8,BC=EC+BE=AC+DA=16+8=24
2.在△ABC中,AB=AC,∠A=108°,BD平分∠ABC,求证:
BC=AB+CD
∴△ABD≌△EBD(SAS),∴∠DEB=∠A=108°,∴∠DEC=180°-108°=72
1
∵AB=AC,∴∠C=∠ABC=2(180°-108°)=36°,∴∠EDC=72°,
∴∠DEC=∠EDC,∴CE=CD,∴BE+CE=AB+CD,∴BC=AB+CD
3.如图所示,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°,BD是∠ABC的平分线,延长BD至E,使DE
证明:
在CB上取点F,使得BF=AB,连结DF,∵BD平分∠ABC,BD=BD∴△ABD≌△FBD,∴DF=AD=DE,∠ADB=∠FDB,∴BD平分∠ABC∴∠ABD=20°,则∠ADB=180°-20°-100°=60°=∠CDE
∠CDF=180°-∠ADB-∠FDB=60°,∴∠CDF=∠CDE,在△CDE和△CDF中
DEDF
CDFCDE
CDCD
∴△CDE≌CDF,∴CE=CF,∴BC=BF+FC=AB+CE
模型3角平分线+垂线构造等腰三角形
如图,P是∠MON的平分线上一点,AP丄OP于P点,延长AP交ON于点.B,则△AOB是等腰三角形.
模型分析
构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合一”,也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.
模型实例
如图.己知等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,C£丄BD.垂足为E.求证:
BD=2C£.
解答:
如图,延长CE、BA交于点F,∵CE丄BD于E,∠BAC=90°,∴∠BAD=∠CED.
∴∠ABD=∠ACF.又∵AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,∴△ABD≌△ACF.∴BD=CF.∵BD平分∠ABC,∴∠CBE=∠FBE.又BE=BE,∴△BCE≌△BFE.
∴CE=EF.∴BD=2CE.
练习
证明:
延长AD交BC于F,∵AD⊥BE,∴∠ADB=∠BDF=90°,∵∠ABD=∠FBD,
∴∠2=∠BFD.∵∠BFD=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C.
2.如图.在△ABC中.∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线,BE丄AD于点E.
1
求证:
BE12(ACAB).
(2)证明:
延长BE交AC于点F.∵AD为∠BAC的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.∵AE=AE,∴∠BAE=∠FAE,则△AEB≌△AEF,∴AB=AF,BE=EF,∠2=∠3.∴AC-AB=AC-AF=FC.∵∠ABC=3∠C,∴∠2+∠1=∠3+∠1=∠1+∠C+∠1=3∠C.∴2∠1=2∠C
11
即∠1=∠C∴BF=FO=2BE.∴BEFCACAB
22
模型4角平分线+平行线
模型分析
有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线.构造等腰三角形.为证明结论提供更多的
条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.
模型实例
解答下列问题:
(1)如图①.△ABC中,EF∥BC,点D在EF上,BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB.写出线段EF与BE、
CF有什么数量关系?
(2)如图②,BD平分∠ABC,CD平分外角∠ACG.DE//BC交AB于点E,交AC于点F,线段EF与BE、CF有什么数量关系?
并说明理由.
(3)如图③,BD、CD为外角∠CBM、∠BCN的平分线,DE//BC交AB延长线于点E.交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么数关系?
解答:
(1)∵EF//BC,∴∠EDB=∠DBC.∴BD平分∠EBC,∴∠EBD=∠DBC=EDB.∴EB=ED.同理:
DF=FC.∴EF=ED+DF=BE+CF.
(2)图②中有EF=BE=CF,BD平分∠BAC,∴∠ABD=∠DBC.又DE//BC、∴∠EDB=∠DBC.
∴DE=EB.同理可证:
CF=DF∴EF=DE-DF=BE-CF.
(3)EF=BE+CF.
练习
1.如图.在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC交AB于M点.交AC于N点.若BM+CN=9,则线段MN的长为.
解答:
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,∴MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB.∵MN//BC,∴∠EBC=∠MEB,∠NEC=∠ECB.∴∠MBE-∠MEB,∠NEO=∠ECN.∴BM=ME,EN=CN.
∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN.∵BM+CN=9,∴MN=9.
2.如图.在△ABC中,AD平分∠BAC.点E、F分別在BD,AD上,EF∥AB.且DE=CD,求证:
EF=AC.
证明:
如图,过点C作CM∥AB交AD的延长线于点M,∵AB∥EF,∴CM∥EF.∴∠3=∠4.
∵DE=CD,∠5=∠6,∴△DEF≌△DCM.∴EF=CM.∵AB//CM,∴∠2=∠4.∵∠1=∠2,
∴∠1=∠4.∴CM=AC.∴EF=AC3.如图.梯形ABCD中,AD∥BC,点E在CD上,且AE平分∠BAD.BE平分∠ABC.求证:
AD=AB-BC.
∵AE平分∠BAD∴BE=EF.
F.∵AD∥BC,∴∠2=∠F.∵∠1=∠2,∴∠1=∠F.∴AB=AF.
∵∠DEF=∠CEB,∴△DEF≌△CEB.∴DF=BC.∴AD=AF-DF=AB-BC.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 中考 数学 必考 几何 模型 平分线 四大