Chapter5线性微分方程组.docx
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Chapter5线性微分方程组
第五章线性微分方程组
5.1存在唯一性定理
5.1.1记号和定义
考察形如
(5.1)
其中已知函数aij(t)(i,j,=1,2,…,n)和fi(t)(i=1,2,…,n)在区间a£t£b上是连续的,方程组关于x1,x2,…,xn及x1¢,x2¢,…,xn¢是线性的.
引进记号
则原方程(5.1)可写成形式x¢=A(t)x+f(t).
概念
一个矩阵(或向量)在区间a£t£b上称为连续的,如果它的每一个元都是区间a£t£b上的连续函数.
一个n´n矩阵B(t)或一个n维列向量u(t)
在区间a£t£b上称为可微的,如果它的每一个元都在区间a£t£b上可微,且
性质
(1)[A(t)+B(t)]¢=A¢(t)+B¢(t);
(2)[u(t)+v(t)]¢=u¢(t)+v¢(t);
(3)[A(t)B(t)]¢=A¢(t)B(t)+A(t)B¢(t);
(4)[A(t)u(t)]¢=A¢(t)u(t)+A(t)u¢(t).
类似地,矩阵B(t)或一个n维列向量u(t)在区间a£t£b上称为可积的,如果它的每一个元都在区间a£t£b上可积,且
定义1设A(t)是区间a£t£b上的连续n´n矩阵,f(t)是同一区间上的连续n维向量.方程组x¢=A(t)x+f(t)(5.4)在某区间£t£([,]Ì[a,b])的解就是向量u(t),它的导数u¢(t)在区间a£t£b上连续且满足u¢(t)=A(t)u(t)+f(t),£t£.
定义2初值问题x¢=A(t)x+f(t)x(t0)=(5.5)的解就是方程组(5.4)在包含t0的区间£t£上的解,使得u(t0)=.
例1 试列出下图中经过L1及L2电路的电流I1及I2应满足的微分方程.
例2验证向量
是初值问题
在区间-¥ 以下方法可将n阶线性微分方程的初值问题化为形如(5.5)的线性微分方程组的初值问题. 考虑n阶线性微分方程的初值问题 其中ai(t),i=1,2,…n,及f(t)都是a£t£b上的已知连续函数,t0Î[a,b],1,…,n是已知常数. 可通过以下变换 x1=x,x2=x¢,x3=x²,…,xn=x(n1) 将上述n阶线性微分方程的初值问题化为以下线性微分方程组的初值问题: 5.1.2存在唯一性定理 方程x¢=A(t)x+f(t)x(t0)=的解的存在唯一性定理. 定理1如果A(t)是n´n矩阵,f(t)是n维列向量,它们都在区间a£t£b上连续,则对于区间a£t£b上的任何数t0及任一n维常数列向量,方程组x¢=A(t)x+f(t)存在唯一解(t),定义于区间a£t£b上,且满足初值条件(t0)=. 5.2线性微分方程组的一般理论 讨论线性微分方程组x¢=A(t)x+f(t)(5.14) 5.2.1齐次线性微分方程组 设矩阵A(t)在区间a≤t≤b上连续 设u(t)和v(t)是(5.15)的齐次型方程的任意两个解,,是两个任意常数,根据向量函数的微分法则,有u(t)+v(t)也是其解. 定理2(叠加原理)如果u(t)和v(t)是齐次型方程的解,则它们的线性组合u(t)+v(t)也是该方程的解. 线性相关称定义在区间a≤t≤b上的向量函数x1(t),x2(t),…,xm(t)是线性相关的,如果存在不全为零的常数c1,c2,…,cm,使得等式c1x1(t)+c2x2(t)+…+cmxm(t)=0成立;否则称为线性无关的. 朗斯基行列式由n个向量函数x1(t),x2(t),…,xn(t)构成的行列式称为朗斯基行列式. 定理3如果向量函数x1(t),x2(t),…,xn(t)在区间a≤t≤b上线性相关,则它们的朗斯基行列式W(t)=0.(证) 定理4如果齐次型方程的解x1(t),x2(t),…,xn(t)线性无关,则它们的朗斯基行列式W(t)¹0.(证) 定理5齐次线性微分方程组一定存在n个线性无关的解x1(t),x2(t),…,xn(t).(证) 定理6如果x1(t),x2(t),…,xn(t)是齐次型方程的n个线性无关的解,则该方程的任一解x(t)均可表为这n个线性无关解的线性组合,即: x(t)=c1x1(t)+c2x2(t)+…+cnxn(t).(证) 推论1齐次型方程的线性无关解的最大个数等于n. 推论2如果已知齐次型方程的k个线性无关解,则该方程可以降低为含n-k个未知函数的线性微分方程组.如果已知n-1个线性无关解,则可得到齐次型方程的通解. 基本解组n个线性无关的解x1(t),x2(t),…,xn(t). 推论3如果x1(t),x2(t),…,xn(t)是n阶微分方程x(n)+a1(t)x(n1)+…+an(t)x=0(5.21)的n个线性无关解,其中a1(t),a2(t),…,an(t)是区间a≤t≤b上的连续函数,则(5.21)的任一解x(t)可表为这n个线性无关解的一个线性组合: x(t)=c1x1(t)+c2x2(t)+…+cnxn(t). 基解矩阵 解矩阵n´n矩阵的每一列都是齐次线性微分方程组x=A(t)x的解. 基解矩阵解矩阵的列线性无关. 定理1*齐次线性微分方程组x=A(t)x一定存在一个基解矩阵(t).如果Y(t)是方程的任意一个解,则有Y(t)=(t)c. 定理2*齐次线性微分方程组x=A(t)x的一个解矩阵(t)是基解矩阵的充要条件是|(t)|=0,a≤t≤b;且如果对某一t0有|(t0)|¹0,则|(t)|=0,a≤t≤b. 推论1*如果(t)是齐次线性微分方程组x=A(t)x的基解矩阵,C是非奇异n´n常数矩阵,则(t)C也是方程的基解矩阵. 推论2*如果(t),(t)都是方程组x=A(t)x的基解矩阵,则存在非奇异n´n常数矩阵C,使得(t)=(t)C. 5.2.2非齐次线性微分方程组 讨论非齐次线性微分方程组x¢=A(t)x+f(t)(5.14)的解的结构. 矩阵A(t)在区间a≤t≤b上连续,f(t)是区间a≤t≤b上的已知n维连续列向量. 性质1如果(t)是(5.14)的解,(t)是(5.14)对应的齐次型的解,则(t)+(t)是(4.14)的解. 性质2如果(t)和(t)是(5.14)的两个解,则(t)-(t)是对应齐次型方程的解. 定理7设(t)是对应齐次型方程的基解矩阵,(t)是(5.14)的某一解,则(5.14)的任一解(t)都可表为(t)=(t)c+(t),其中c是确定的常数列向量.(证) 定理8如果是对应齐次型方程的基解矩阵,则向量函数 是(5.14)的解,且满足初值条件(t0)=0. 定理8满足初始条件(t0)=的解(t)为: 例2试求以下初值问题的解. 推论3如果a1(t),a2(t),…,an(t),f(t)是区间a≤t≤b上的连续函数,x1(t),x2(t),…,xn(t)是区间a≤t≤b上齐次线性微分方程x(n)+a1(t)x(n1)+…+an(t)x=0的基本解组,则非齐次线性微分方程x(n)+a1(t)x(n1)+…+an(t)x=f(t)的满足初值条件(t0)=0,¢(t0)=0,…,(n1)(t0)=0的解由以下公式给出 其中W[x1(s),w2(s),…,wn(s)]是x1(s),w2(s),…,wn(s)的朗斯基行列式,Wk[x1(s),w2(s),…,wn(s)]是在W[x1(s),w2(s),…,wn(s)]中的第k列代以(0,0,…,0,1)T后得到的行列式,且(5.28)的任一解u(t)都具有形式u(t)=c1x1(t)+c2x2(t)+…+cnxn(t)+(t),其中c1,c2,…,cn是适当选取的常数. 例3试求方程x²+x=tant的一个解. 5.3常系数线性微分方程组 讨论常系数线性微分方程组x¢=Ax(5.33) 其中A为n´n常数矩阵. 5.3.1矩阵指数expA的定义和性质 设A是一个n´n常数矩阵,定义矩阵的指数expA为以下矩阵级数的和: 矩阵指数的性质 性质1如果矩阵A,B是可交换的,即AB=BA,则exp(A+B)=expAexpB.(证) 性质2对于任何矩阵A,(expA)1存在,且(expA)1=exp(-A).(证) 性质3如果T是非奇异矩阵,则exp(T1AT)=T1(expA)T.(证) 定理9矩阵(t)=expAt是(5.33)的基解矩阵,且(0)=E.(证) 例1如果A是以下形式的对角矩阵,试找出x¢=Ax的基解矩阵. 例2试求以下方程的基解矩阵. 5.3.2基解矩阵的计算公式 类似于第四章的方法,寻求方程x¢=Ax的形如(t)=etc,c¹0的解. 代入(5.33)可得etc=Aetc. 即c=Ac或(EA)c=0 上述方程有非零解的充要条件是det(EA)=0. 定义设A是一个n´n常数矩阵,使得关于u的线性代数方程组(EA)u=0具有非零解的常数称为A的一个特征值. 例3试求以下矩阵的特征值和对应的特征向量. 例4试求以下矩阵的特征值和对应的特征向量. 定理10如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量v1,v2,…,vn,它们对应的特征值分别为1,2,…,n,则矩阵 是常系数线性微分方程组x¢=Ax的一个基解矩阵.(证) 例5试求方程组x¢=Ax的一个基解矩阵,其中 . 例6试求例5的实基解矩阵(或计算expAt). 讨论当A是任意的n´n矩阵时,基解矩阵的计算方法. 有关线性代数的知识. 设系数矩阵A有特征值1,2,…,k,重数分别为n1,n2,…,nk, 则齐次线性微分方程组的满足初始条件解可表示为 依次令=ej,可分别求出n个线性无关解j(t),从而可得基解矩阵: 特别情形,如果矩阵A只有一个特征值,则 例7设A是例4的矩阵,试解初值问题x¢=Ax,(0)=,并求expAt. 例8设A是以下矩阵,试求expAt. 例9设方程组为 系数矩阵为 试求满足初值条件(0)=的解(t),并求expAt. 定理11给定常系数线性微分方程组x¢=Ax,则 (1)如果A的特征值的实部都是负的,则方程的任一解当t®¥时都趋于零; (2)如果A的特征值的实部都是非正的,且实部为零的特征值都是简单特征值,则方程的任一解当t®¥时都保持有界; (3)如果A的特征值至少有一个具有正实部,是方程至少有一个解当t®¥时趋于无穷.
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