圆锥曲线离心率专题.docx
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圆锥曲线离心率专题
圆锥曲线离心率专题训练
1.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P,使得PF1⊥PF2,则椭圆离心率的取值围是( )
A.
[,1)
B.
[,1)
C.
(0,]
D.
(0,]
2.二次曲线时,该曲线离心率e的围是( )
A.
B.
C.
D.
3.椭圆焦点在x轴上,A为该椭圆右顶点,P在椭圆上一点,∠OPA=90°,则该椭圆的离心率e的围是( )
A.
[,1)
B.
(,1)
C.
[,)
D.
(0,)
4.双曲线的离心率e∈(1,2),则k的取值围是( )
A.
(﹣∞,0)
B.
(﹣3,0)
C.
(﹣12,0)
D.
(﹣60,﹣12)
5.设F1,F2为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°,则椭圆的离心率的取值围是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知椭圆的接三角形有一个顶点在短轴的顶点处,其重心是椭圆的一个焦点,求该椭圆离心率e的取值围( )
A.
B.
C.
D.
7.已知椭圆x2+my2=1的离心率,则实数m的取值围是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2且它们在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,双曲线的离心率的取值围为(1,2),则该椭圆的离心率的取值围是( )
A.
(0,)
B.
(,)
C.
(,)
D.
(,1)
9.椭圆的接矩形的最大面积的取值围是[3b2,4b2],则该椭圆的离心率e的取值围是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD且AB=2,AD=1,DC=2x(x∈(0,1)).以A,B为焦点,且过点D的双曲线的离心率为e1;以C,D为焦点,且过点A的椭圆的离心率为e2,则e1+e2的取值围为( )
A.
[2,+∞)
B.
(,+∞)
C.
[,+∞)
D.
(,+∞)
11.已知双曲线的焦距为2c,离心率为e,若点(﹣1,0)与点(1,0)到直线的距离之和为S,且S,则离心率e的取值围是( )
A.
B.
C.
D.
12.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若存在点P为椭圆上一点,使得∠F1PF2=60°,则椭圆离心率e的取值围是( )
A.
B.
C.
D.
13.已知方程x3+2ax2+3bx+c=0(a,b,c∈R)的三个实根可分别作为一椭圆,一双曲线、一抛物线的离心率,则的取值围是( )
A.
B.
C.
D.
14.已知椭圆上到点A(0,b)距离最远的点是B(0,﹣b),则椭圆的离心率的取值围为( )
A.
B.
C.
D.
15.已知双曲线的中心在原点,焦点x轴上,它的一条渐近线与x轴的夹角为α,且,则双曲线的离心率的取值围是( )
A.
B.
C.
(1,2)
D.
16.已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2,点P在双曲线上,∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5:
1,则双曲线离心率的取值围是( )
A.
(1,]
B.
(1,)
C.
(2,]
D.
(,2]
17.椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=a,且a∈[,],则该椭圆离心率的取值围为( )
A.
[,1]
B.
[,]
C.
[,1)
D.
[,]
18.已知椭圆的左、右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值围为( )
A.
(0,)
B.
()
C.
(0,)
D.
(,1)
19.已知直线l:
y=kx+2(k为常数)过椭圆的上顶点B和左焦点F,且被圆x2+y2=4截得的弦长为L,若,则椭圆离心率e的取值围是( )
A.
B.
C.
D.
20.双曲线的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(﹣1,0)到直线l的距离之和.则双曲线的离心率e的取值围是( )
A.
B.
C.
D.
21.点A是抛物线C1:
y2=2px(p>0)与双曲线C2:
(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于( )
A.
B.
C.
D.
22.在椭圆上有一点M,F1,F2是椭圆的两个焦点,若,则椭圆离心率的围是( )
A.
B.
C.
D.
23.椭圆+y2=1上存在一点P,使得它对两个焦点F1,F2的角∠F1PF2=,则该椭圆的离心率的取值围是( )
A.
(0,]
B.
[,1)
C.
(0,]
D.
[,1)
24.椭圆(a>b>0)上存在点P到原点的距离等于该椭圆的焦距,则椭圆的离心率的取值围是( )
A.
(0,1)
B.
(0,
C.
D.
25.椭圆的左右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值围是( )
A.
B.
C.
D.
26.设A1、A2为椭圆的左右顶点,若在椭圆上存在异于A1、A2的点P,使得,其中O为坐标原点,则椭圆的离心率e的取值围是( )
A.
B.
C.
D.
27.已知点F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值围是( )
A.
(1,1+)
B.
(1,)
C.
(﹣1,1+)
D.
(1,2)
28.如图,已知A(﹣2,0),B(2,0),等腰梯形ABCD满足|AB|=﹣2|CD|,E为AC上一点,且.又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点.若,则双曲线离心率e的取值围为( )
A.
B.
C.
D.
29.已知椭圆(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且,则该椭圆离心率e的取值围为( )
A.
B.
C.
D.
30.已知P为椭圆(a>b>0)上一点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,若使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有4个,则椭圆离心率的取值围是( )
A.
(0,)
B.
(,1)
C.
(1,)
D.
(,+∞)
参考答案与试题解析
1.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P,使得PF1⊥PF2,则椭圆离心率的取值围是( )
A.
[,1)
B.
[,1)
C.
(0,]
D.
(0,]
解:
如图所示,
下面证明椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点.
设椭圆上任意一点P(x0,y0),则,可得.
∴|OP|2==+=≥b2,当且仅当x0=0时取等号.
∴椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点.
若椭圆上存在点P,使得PF1⊥PF2,则c≥b,∴c2≥b2=a2﹣c2,化为,解得.
又e<1,∴.
故选B.
2.二次曲线时,该曲线离心率e的围是( )
A.
B.
C.
D.
解:
∵m∈[﹣2,﹣1],
∴该曲线为双曲线,a=2,b2=﹣m,
∴c=
离心率e==
∵m∈[﹣2,﹣1],
∴∈[,],
∴e∈
故选C
3.椭圆焦点在x轴上,A为该椭圆右顶点,P在椭圆上一点,∠OPA=90°,则该椭圆的离心率e的围是( )
A.
[,1)
B.
(,1)
C.
[,)
D.
(0,)
解:
可设椭圆的标准方程为:
(a>b>0).
设P(x,y),∵∠OPA=90°,∴点P在以OA为直径的圆上.
该圆为:
,化为x2﹣ax+y2=0.
联立化为(b2﹣a2)x2+a3x﹣a2b2=0,
则,解得,
∵0<x<a,∴,
化为c2>b2=a2﹣c2,
∴,又1>e>0.
解得.
∴该椭圆的离心率e的围是.
故选:
C.
4.双曲线的离心率e∈(1,2),则k的取值围是( )
A.
(﹣∞,0)
B.
(﹣3,0)
C.
(﹣12,0)
D.
(﹣60,﹣12)
解:
∵双曲线的离心率e∈(1,2),
∴双曲线标准方程为:
﹣=1∴k<0,
∴1<e2<4,1<<4,﹣12<k<0,
故答案选C
5.设F1,F2为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°,则椭圆的离心率的取值围是( )
A.
B.
C.
D.
解:
F1(﹣c,0),F2(c,0),c>0,设P(x1,y1),
则|PF1|=a+ex1,|PF2|=a﹣ex1.
在△PF1F2中,由余弦定理得cos120°==,
解得x12=.
∵x12∈(0,a2],∴0≤<a2,即4c2﹣3a2≥0.且e2<1
∴e=≥.
故椭圆离心率的取围是e∈.
故选A.
6.已知椭圆的接三角形有一个顶点在短轴的顶点处,其重心是椭圆的一个焦点,求该椭圆离心率e的取值围( )
A.
B.
C.
D.
解:
不防设椭圆方程:
(a>b>0),
再不妨设:
B(0,b),三角形重心G(c,0),
延长BG至D,使|GD|=,
设D(x,y),则,,
由,得:
,
解得:
,.
而D是椭圆的接三角形一边AC的中点,
所以,D点必在椭圆部,
则.
把b2=a2﹣c2代入上式整理得:
.
即.
又因为椭圆离心率e∈(0,1),
所以,该椭圆离心率e的取值围是.
故选B.
7.已知椭圆x2+my2=1的离心率,则实数m的取值围是( )
A.
B.
C.
D.
解:
椭圆x2+my2=1化为标准方程为
①若1>,即m>1,,
∴,
∴,
∴
②若,即0<m<1,,
∴,
∴,
∴
∴实数m的取值围是
故选C.
8.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2且它们在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,双曲线的离心率的取值围为(1,2),则该椭圆的离心率的取值围是( )
A.
(0,)
B.
(,)
C.
(,)
D.
(,1)
解:
设椭圆的方程为+=1(a>b>0),其离心率为e1,双曲线的方程为﹣=1(m>0,n>0),|F1F2|=2c,
∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,
∴在椭圆中,|PF1|+|PF2|=2a,而|PF2|=|F1F2|=2c,
∴|PF1|=2a﹣2c;①
同理,在该双曲线中,|PF1|=2m+2c;②
由①②可得a=m+2c.
∵e2=∈(1,2),
∴<=<1,
又e1==,
∴==+2∈(,3),
∴<e1<.
故选C.
9.椭圆的接矩形的最大面积的取值围是[3b2,4b2],则该椭圆的离心率e的取值围是( )
A.
B.
C.
D.
解:
在第一象限取点(x,y),设x=acosθ,y=bsinθ,(0<θ<)
则椭圆的接矩形长为2acosθ,宽为2bsinθ,
接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab,
由已知得:
3b2≤2ab≤4b2,∴3b≤2a≤4b,
平方得:
9b2≤4a2≤16b2,
9(a2﹣c2)≤4a2≤16(a2﹣c2),
5a2≤9c2且12a2≥16c2,
∴≤≤
即e∈
故选B.
10.如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD且AB=2,AD=1,DC=2x(x∈(0,1)).以A,B为焦点,且过点D的双曲线的离心率为e1;以C,D为焦点,且过点A的椭圆的离心率为e2,则e1+e2的取值围为( )
A.
[2,+∞)
B.
(,+∞)
C.
[,+∞)
D.
(,+∞)
解:
BD==,
∴a1=,c1=1,a2=,c2=x,
∴e1=,e2=,e1e2=1
但e1+e2中不能取“=”,
∴e1+e2=+=+,
令t=﹣1∈(0,﹣1),则e1+e2=(t+),t∈(0,﹣1),
∴e1+e2∈(,+∞)
∴e1+e2的取值围为(,+∞).
故选B.
11.已知双曲线的焦距为2c,离心率为e,若点(﹣1,0)与点(1,0)到直线的距离之和为S,且S,则离心率e的取值围是( )
A.
B.
C.
D.
解:
直线l的方程为,即bx﹣ay﹣ab=0.
由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l的距离d1=,
同理得到点(﹣1,0)到直线l的距离.d2=,s=d1+d2==.
由S,即得•a≥2c2.
于是得4e4﹣25e2+25≤0.
解不等式,得.
由于e>1>0,
所以e的取值围是e∈.
故选A.
12.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若存在点P为椭圆上一点,使得∠F1PF2=60°,则椭圆离心率e的取值围是( )
A.
B.
C.
D.
解:
如图,当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时,P对两个焦点的角∠F1PF2渐渐增大,当且仅当P点位于短轴端点P0处时,
角∠F1PF2达到最大值.由此可得:
∵存在点P为椭圆上一点,使得∠F1PF2=60°,
∴△P0F1F2中,∠F1P0F2≥60°,可得Rt△P0OF2中,∠OP0F2≥30°,
所以P0O≤OF2,即bc,其中c=
∴a2﹣c2≤3c2,可得a2≤4c2,即≥
∵椭圆离心率e=,且a>c>0
∴
故选C
13.已知方程x3+2ax2+3bx+c=0(a,b,c∈R)的三个实根可分别作为一椭圆,一双曲线、一抛物线的离心率,则的取值围是( )
A.
B.
C.
D.
解:
设f(x)=x3+2ax2+3bx+c,由抛物线的离心率为1,可知f
(1)=1+2a+3b+c=0,故c=﹣1﹣2a﹣3b,
所以f(x)=(x﹣1)[x2+(2a+1)x+(2a+3b+1)]的另外两个根分别是一个椭圆一个双曲线的离心率,
故g(x)=x2+(2a+1)x+(2a+3b+1),有两个分别属于(0,1),(1,+∞)的零点,
故有g(0)>0,g
(1)<0,即2a+3b+1>0且4a+3b+3<0,
则a,b满足的可行域如图所示,
由于,则P(﹣1,)
而表示(a,b)到(0,0)的距离,
且(0,0)到P(﹣1,)的距离为d=
可确定的取值围是(,+∞).
故答案为:
A.
14.已知椭圆上到点A(0,b)距离最远的点是B(0,﹣b),则椭圆的离心率的取值围为( )
A.
B.
C.
D.
解:
设点P(x,y)是椭圆上的任意一点,
则,化为.
∴|PA|2=x2+(y﹣b)2===f(y),
∵椭圆上的点P到点A(0,b)距离最远的点是B(0,﹣b),
由二次函数的单调性可知:
f(y)在(﹣b,b)单调递减,
∴,
化为c2≤b2=a2﹣c2,即2c2≤a2,
∴.
又e>0.
∴离心率的取值围是.
故选:
C.
15.已知双曲线的中心在原点,焦点x轴上,它的一条渐近线与x轴的夹角为α,且,则双曲线的离心率的取值围是( )
A.
B.
C.
(1,2)
D.
解:
∵双曲线的焦点在x轴上,故其渐近线方程为y=x
则tanα=
∵,
∴1<tanα<,即1<<
∴1<=<3求得<<2
故选B.
16.已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2,点P在双曲线上,∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5:
1,则双曲线离心率的取值围是( )
A.
(1,]
B.
(1,)
C.
(2,]
D.
(,2]
解:
根据角平分线的性质可得=,再由双曲线的定义可得
5PF2﹣PF2=2a,PF2=,由于PF2=≥c﹣a,∴≥c,≤.
再由双曲线的离心率大于1可得,1<e≤,
故选A.
17.椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=a,且a∈[,],则该椭圆离心率的取值围为( )
A.
[,1]
B.
[,]
C.
[,1)
D.
[,]
解:
∵B和A关于原点对称
∴B也在椭圆上
设左焦点为F′
根据椭圆定义:
|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a…①
O是Rt△ABF的斜边中点,∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα…②
|BF|=2ccosα…③
②③代入①2csinα+2ccosα=2a
∴=
即e==
∵a∈[,],
∴≤α+π/4≤
∴≤sin(α+)≤1
∴≤e≤
故选B
18.已知椭圆的左、右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值围为( )
A.
(0,)
B.
()
C.
(0,)
D.
(,1)
解:
在△PF1F2中,由正弦定理得:
则由已知得:
,
即:
aPF1=cPF2
设点P(x0,y0)由焦点半径公式,
得:
PF1=a+ex0,PF2=a﹣ex0则a(a+ex0)=c(a﹣ex0)
解得:
x0==
由椭圆的几何性质知:
x0>﹣a则>﹣a,
整理得e2+2e﹣1>0,解得:
e<﹣﹣1或e>﹣1,又e∈(0,1),
故椭圆的离心率:
e∈(﹣1,1),
故选D.
19.已知直线l:
y=kx+2(k为常数)过椭圆的上顶点B和左焦点F,且被圆x2+y2=4截得的弦长为L,若,则椭圆离心率e的取值围是( )
A.
B.
C.
D.
解:
圆x2+y2=4的圆心到直线l:
y=kx+2的距离为d=
∵直线l:
y=kx+2被圆x2+y2=4截得的弦长为L,
∴由垂径定理,得2,
即,解之得d2≤
∴≤,解之得k2
∵直线l经过椭圆的上顶点B和左焦点F,
∴b=2且c==﹣,即a2=4+
因此,椭圆的离心率e满足e2===
∵k2,∴0<≤,可得e2∈(0,]
故选:
B
20.双曲线的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(﹣1,0)到直线l的距离之和.则双曲线的离心率e的取值围是( )
A.
B.
C.
D.
解:
直线l的方程为+=1,即bx+ay﹣ab=0.
由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l的距离,
同理得到点(﹣1,0)到直线l的距离.,.
由,得..
于是得5≥2e2,即4e4﹣25e2+25≤0.
解不等式,得≤e2≤5.
由于e>1>0,
所以e的取值围是.
故选D.
21.点A是抛物线C1:
y2=2px(p>0)与双曲线C2:
(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于( )
A.
B.
C.
D.
解:
取双曲线的其中一条渐近线:
y=x,
联立⇒;
故A(,).
∵点A到抛物线C1的准线的距离为p,
∴+=p;
∴=.
∴双曲线C2的离心率e===.
故选:
C.
22.在椭圆上有一点M,F1,F2是椭圆的两个焦点,若,则椭圆离心率的围是( )
A.
B.
C.
D.
解:
由椭圆定义可知:
|MF1|+|MF2|=2a,
所以…①,
在△MF1F2中,由余弦定理可知
…②
又,…③,
由①②③可得:
4c2=4a2﹣4b2﹣2|MF1|•|MF2|cosθ.
所以|MF1|•|MF2|cosθ=0.
所以c≥b,即c2≥b2=a2﹣c2,2c2≥a2,,
所以e∈.
故选B.
23.椭圆+y2=1上存在一点P对两个焦点F1,F2的角∠F1PF2=,则该椭圆的离心率的取值围是( )
A.
(0,]
B.
[,1)
C.
(0,]
D.
[
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