高三数学《平面向量》教学设计.docx
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高三数学《平面向量》教学设计
平面向量
§5.1 平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量;其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等,不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律:
a+b=b+a.
(2)结合律:
(a+b)+c=a+(b+c).
减法
求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a-b=a+(-b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0
λ(μa)=(λμ)a;
(λ+μ)a=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量.( × )
(2)|a|与|b|是否相等与a,b的方向无关.( √ )
(3)已知两向量a,b,若|a|=1,|b|=1,则|a+b|=2.( × )
(4)△ABC中,D是BC中点,则=(+).( √ )
(5)向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.( × )
(6)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( √ )
1.设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.上述命题中,假命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
答案 D
解析 向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:
一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.
2.已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2+=0,则等于( )
A.2-B.-+2
C.-D.-+
答案 A
解析 由2+=0得2-2+-=0,
故=2-.
3.已知D为三角形ABC的边BC的中点,点P满足++=0,=λ,则实数λ的值为________.
答案 -2
解析 如图所示,由=λ,且++=0,则P是以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点,因此=-2,则λ=-2.
4.在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=____________.(用a,b表示)
答案 -a+b
解析 由=3得==(a+b),
=a+b,所以=-
=(a+b)-=-a+b.
题型一 平面向量的概念
例1 给出下列命题:
①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则“=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c;④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是________.
答案 ②③
解析 ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
②正确.∵=,∴||=||且∥,
又∵A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则∥且||=||,因此,=.故“=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件.
③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同;又b=c,
∴b,c的长度相等且方向相同,
∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故“|a|=|b|且a∥b”不是“a=b”的充要条件,而是必要不充分条件.
综上所述,正确命题的序号是②③.
思维升华
(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.
(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈.
(4)非零向量a与的关系:
是a方向上的单位向量.
下列命题中,正确的是________.(填序号)
①有向线段就是向量,向量就是有向线段;
②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;
③向量与向量共线,则A、B、C、D四点共线;
④如果a∥b,b∥c,那么a∥c;
⑤两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.
答案 ⑤
解析 ①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段,有向线段也不是向量;
②不正确,若a与b中有一个为零向量,零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反;
③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行;
④不正确,如果b=0,则a与c不一定平行;
⑤正确,向量既有大小,又有方向,不能比较大小;向量的模均为实数,可以比较大小.
题型二 平面向量的线性运算
例2
(1)如图,正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点,那么等于( )
A.-B.+
C.+D.-
(2)在△ABC中,=c,=b,若点D满足=2,则等于( )
A.b+cB.c-b
C.b-cD.b+c
答案
(1)D
(2)A
解析
(1)在△CEF中,有=+.
因为点E为DC的中点,所以=.
因为点F为BC的一个三等分点,所以=.
所以=+=+
=-,故选D.
(2)∵=2,
∴-==2=2(-),
∴3=2+,
∴=+=b+c.
思维升华
(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:
①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.
(1)如图,在正六边形ABCDEF中,++等于( )
A.0B.
C.D.
(2)(2013·江苏)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.
答案
(1)D
(2)
解析
(1)如图,∵在正六边形ABCDEF中,
=,=,
∴++=++=+=+=.
(2)由题意,得=+=+=+(-)=-+,则λ1=-,λ2=,
即λ1+λ2=.
题型三 共线定理的应用
例3 设两个非零向量a与b不共线,
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:
A、B、D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
(1)证明 ∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
∴=+=2a+8b+3(a-b)
=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.
∴、共线,又∵它们有公共点B,
∴A、B、D三点共线.
(2)解 ∵ka+b和a+kb共线,
∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),
即ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b.
∵a、b是两个不共线的非零向量,
∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=±1.
思维升华
(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立,若λ1a+λ2b=0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,否则向量a、b不共线.
如图,在△ABC中,点D是BC边上靠近B的三等分点,则等于( )
A.-B.+
C.+D.-
(2)已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-4+3=0,则等于( )
A.3B.4C.5D.6
答案
(1)C
(2)A
解析
(1)由平面向量的三角形法则,得=+.
又因为点D是BC边上靠近B的三等分点,
所以=+=+(-)
=+.
(2)-4+3=0⇒--3(-)=0⇒=3,所以=3.
方程思想在平面向量的线性运算中的应用
典例:
(12分)如图所示,在△ABO中,=,=,AD与BC相交于点M,设=a,=b.试用a和b表示向量.
思维点拨
(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领,要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去.
(2)既然能用a、b表示,那我们不妨设出=ma+nb.
(3)利用向量共线建立方程,用方程的思想求解.
规范解答
解 设=ma+nb,
则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb.
=-=-=-a+b.[3分]
又∵A、M、D三点共线,∴与共线.
∴存在实数t,使得=t,
即(m-1)a+nb=t.[5分]
∴(m-1)a+nb=-ta+tb.
∴消去t得,m-1=-2n,
即m+2n=1.① [7分]
又∵=-=ma+nb-a=a+nb,
=-=b-a=-a+b.
又∵C、M、B三点共线,
∴与共线.[10分]
∴存在实数t1,使得=t1,
∴a+nb=t1,
∴
消去t1得,4m+n=1.②
由①②得m=,n=,∴=a+b.[12分]
温馨提醒
(1)本题考查了向量的线性运算,知识要点清楚,但解题过程复杂,有一定的难度.
(2)易错点是,找不到问题的切入口,想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心,向量是一个几何量,是有“形”的量,因此在解决向量有关问题时,多数习题要结合图形进行分析、判断、求解,这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题易忽视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这个几何特征.(4)方程思想是解决本题的关键,要注意体会.
方法与技巧
1.向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则,做题时,要注意三角形法则与平行四边形法则的要素.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”;向量减法的三角形法则要素是“起点重合,指向被减向量”;平行四边形法则要素是“起点重合”.
2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
3.对于三点共线有以下结论:
对于平面上的任一点O,,不共线,满足=x+y(x,y∈R),则P,A,B共线⇔x+y=1.
失误与防范
1.解决向量的概念问题要注意两点:
一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
2.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所求向量的相反向量,导致错误.
A组 专项基础训练
(时间:
45分钟)
1.下列说法正确的个数是( )
①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量;
②零向量没有方向;
③向量的模一定是正数;
④非零向量的单位向量是唯一的.
A.0B.1C.2D.3
答案 A
解析 ①错误,只有速度和位移是向量;②错误,零向量是有方向的,它的方向是任意的;③错误,|0|=0;④显然错误.
2.已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b等于( )
A.(5,7)B.(5,9)
C.(3,7)
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